Contenuti teorici di Geometria e algebra lineare

DIMOSTRAZIONE

Implicazione ← : Sia p(t) = (t - k)q(t) allora p(k) = (k - k)q(t) = 0 q(t) = 0

Implicazione → : Se divido p(t) per (t - k) ottengo che p(t) = (t - k)q(t) + r(t) con q e r quoziente e resto. Per definizione il resto deve avere grado minore di (t - k) che ha grado 1. Allora il resto è un reale (grado 0). p(t) = (t - k)q(t) + r, se p(k) = 0 = 0 q(t) + r si ha che r = 0 cioè p(t) = (t - k)q(t).

∈ ∈Sia k K una radice di p(t) K[t]. La molteplicità di k come radice di p(t), indicata con ak, e il massimo ∈intero b ≥ 1 tale che p(t) = (t - k)^b s(t) per qualche s(t) K[t]. Una radice di molteplicità 1 è detta semplice, una di molteplicità 2 è detta doppia.

Si chiama disuguaglianza triangolare la disuguaglianza per cui: |x + y| ≤ |x| + |y|, questa è dimostrabile supponendo in modo non limitativo che x ≤ y distinguendone i vari casi di segno. Inoltre ne mostreremo ulteriore dimostrazione per mezzo del prodotto.

Capitolo 2 - Numeri Complessi

2.1 Introduzione e prime definizioni

Vorremmo costruire un nuovo campo C contenente R in modo che qualche elemento di C soddisfi l'equazione x^2+1=0.

Aggiungiamo a R un "simbolo" i ed estendiamo la moltiplicazione in modo che i · i = i^2 = -1.

Se C deve essere un campo e contenere R ed i, dovrà contenere tutti i "numeri" della forma a + bi al variare di a, b R.

Proviamo quindi a definire C = {a + b · i, a, b R}. In questo modo possiamo identificare R con il sottoinsieme {a + 0 · i, a R} C. Sull'insieme C è naturale definire le operazioni di somma e prodotto in modo che coincidano con i risultati delle naturali manipolazioni algebriche.

La scrittura a + bi di un numero complesso z C si dice la forma algebrica di z.

I numeri della forma bi, b R, sono detti immaginari puri.

2FILIPPO TABANI a.a. 2020-2021 CdL

Ingegneria Aerospaziale

Definiamo ora un'importante applicazione detta coniugio: C → C, z = a + bi → z = a - bi. È il numero z detto il coniugato di z. Osserviamo che se z = a + bi C allora zz = a^2 + b^2 è sempre un numero reale non negativo, ed è nullo se e solo se z = 0. Quindi possiamo definire il modulo di z C come |z| = √zz. Se z = a + bi ≠ 0, l'equazione seguente fornisce la seguente formula per l'inverso di z: z^-1 = 1/z = z/ a^2 + b^2 = z/|z|^2.

2.2 Proprietà dei numeri complessi

La rappresentazione cartesiana dei numeri complessi identifica C con R2 (il piano cartesiano) in modo da avere sull'asse delle ascisse i numeri reali e sulle ordinate gli immaginari puri. In tal modo ogni numero in C è identificato da un punto nel piano. Il modulo è identificato con la distanza del punto dall'origine per mezzo del Teorema di Pitagora ed il coniugio è identificato dalla

riflessione lungo l'asse x.∈ ∈ ∈Dato z = a + bi C, a R è parte reale di z, mentre b R ne e la parte immaginaria. A volte si scrive a = Re(z)e b = Im(z).Teorema fondamentale dell'algebra: data un'equazione polinomiale a coefficienti complessi∈ ∈a0 + a1x + · · · + anx^n = 0, a0, . . . , an C, con an ≠ 0, esiste almeno un numero complesso z0 C che lasoddisfa.

2.3 Rappresentazione polareOltre alle coordinate rettangolari, nel piano possiamo utilizzare coordinate polari (ρ, θ), legate allecoordinate rettangolari dalle trasformazioni:x = ρ cos(θ)y = ρ sin(θ) ∈Questo ci permette di scrivere, per ogni z C, z = a + bi = ρ cos(θ) + ρ sin(θ)i = ρ(cos(θ) + sin(θ)i),dove ρ = |z|.L'angolo θ, indicato spesso con Arg(z), è detto argomento del numero complesso z. è chiaramente bendefinito solo a meno di multipli interi di 2π,

oppure se pensato appartenente ad un intervallo di ampiezza 2π (chiuso a sinistra ma non a destra o viceversa). A questo scopo noi utilizzeremo l'intervallo [0, 2π).

2.4 Estrazione di radici complesse

Argomento trattato per esercizio

2.5 Rappresentazione esponenziale

La funzione esponenziale exp: R → R, x → e^x si può estendere ad una funzione ∈exp: C → C nel seguente modo: exp(a + bi) = e^a (cos(b) + sin(b)i), a + bi C.∈

Chiaramente, se a = a + 0i C, exp(a) = e^a (cos(0) + sin(0)i) = e^a, quindi abbiamo effettivamente definito un'estensione della funzione esponenziale.⊂ ∈

Notiamo inoltre che exp(C) C \ {0}, perché e^a > 0 per ogni a R. Da adesso in poi useremo anche la notazione e^z per indicare exp(z). ∈

L'immagine dell'applicazione exp: C → C è C \ {0}. Infatti, ogni z C \ {0} ha una rappresentazione polare del tipo z = ρ(cos(θ) + sin(θ)i) con ρ ≠ 0. Inoltre,

exp(θi) = e^θi = cos(θ) + sin(θ)i per ogni θ R.∈

Quindi z = ρe^θi = e^(ln(ρ)+θi) Im(exp).

Capitolo 3 – Sistemi di equazioni lineari ed algoritmo di Gauss

3.1 Tricotomia fondamentale∈

Sia K {Q, R, C}. Supponiamo di voler trovare le soluzioni in K di una singola equazione di primo grado∈ ∈nell’incognita x: ax = b, a, b K. Notiamo che, al variare dei coefficienti a, b K si possono presentare iseguenti tre casi:

1. a ≠ 0: in questo caso l’equazione ammette un’unica soluzione data da x = b/a, ottenuta semplicementemoltiplicando ambo i membri per 1/a; 3FILIPPO TABANI a.a. 2020-2021 CdL Ingegneria Aerospaziale∈
2. a = 0, b ≠ 0: poiché per ogni k K abbiamo 0 · k = 0, l’equazione si riduce all’uguaglianza 0 · x = b, chenon e verificata da alcun valore di x. Quindi l’equazione non ammette soluzioni;
3. a = b = 0: l’equazione si riduce a 0 · x = 0,

che è soddisfatta da qualunque valore di x. Quindi l'equazione ammette infinite soluzioni. Come verificheremo, la tricotomia appena osservata (cioè l'esistenza di una, nessuna o infinite soluzioni) è un fatto generale, valido per un qualunque sistema di equazioni lineari con un numero arbitrario di equazioni ed un numero arbitrario di incognite. La chiameremo tricotomia fondamentale dei sistemi lineari.

3.2 Operazioni elementari

Dato un qualsiasi sistema lineare a coefficienti in K con m equazioni ed n incognite, si de soluzione S del sistema una n-pla di elementi in K che sostituiti nelle m equazioni queste siano simultaneamente soddisfatte. Il metodo della sostituzione è spesso inefficiente e non consente di stabilire fatti generali come la tricotomia fondamentale. Useremo l'algoritmo di Gauss per sistemi complessi e per definire la validità generale della tricotomia fondamentale.

Tale algoritmo sfrutta alcuni fatti che vediamo di seguito:

Sistemi di equazioni lineari che ammettono le stesse soluzioni si dicono equivalenti. Sommando ad un'equazione di un sistema lineare un qualunque multiplo di un'altra equazione si ottiene un sistema lineare equivalente. Un altro modo per ottenere da un sistema lineare un sistema equivalente consiste nel moltiplicare ambo i membri di una qualunque equazione per un numero k diverso da zero. Scambiare tra loro due equazioni di un sistema lineare non cambia l'insieme delle soluzioni. Riassumendo, per trasformare un sistema lineare in un sistema equivalente abbiamo a nostra disposizione tre operazioni, dette operazioni elementari o mosse di Gauss:

1. moltiplicare ambo i membri di una qualunque equazione per una costante diversa da zero;
2. scambiare tra loro due equazioni;
3. sommare ad un'equazione un qualunque multiplo di un'altra equazione;

Le tabelle di numeri contenenti i coefficienti di un sistema lineare sono dette matrici. Una matrice con m righe ed n colonne è detta matrice m x n.

colonne e detta matrice m × n.
L'algoritmo di eliminazione di Gauss ridurre un sistema con l'algoritmo di Gauss quindi significa ottenerne uno equivalente per mezzo di mosse di riga di Gauss applicate alla matrice di un sistema.
L'algoritmo di eliminazione di Gauss è una procedura tramite la quale si può trasformare qualunque matrice m × n a coefficienti in K non nulla (cioè con qualche elemento diverso da zero) in una matrice m × n a gradini ovvero in righe il cui primo elemento diverso da zero p_i, i = 1, . . . , r, si trova in una colonna successiva a quella nel quale si trovava per la riga precedente. I numeri p_i, i = 1, . . . , r, sono tutti diversi da zero e sono detti pivot.
La matrice A' a gradini ottenuta dalla matrice A tramite questo algoritmo ha r ≤ min(m, n) pivot. Il numero r = r(A) è detto rango di A. Vedremo più avanti che esso non dipende dalla successione di operazioni fatte per costruire la matrice.

matrice A' a partire da A. Nel caso in cui A sia la matrice nulla, definiamo r(A) = 0.

Un sistema con matrice a gradini è impossibile se e solo se c'è un pivot nell'ultima colonna. Infatti, se c'è un pivot nell'ultima colonna è ovvio che il sistema non ha soluzioni, mentre se nessun pivot è nell'ultima colonna, possiamo sempre trovare delle soluzioni, risolvendo le equazioni rispetto alle incognite che hanno i pivot come coefficienti, e considerando le altre come "variabili libere".

Possiamo sempre scrivere la matrice M di un sistema nella forma M = (A|B), dove B è la colonna dei termini noti. La matrice A è a volte detta matrice incompleta del sistema, e la matrice M matrice completa.

Chiaramente, la forma a gradini di M = (A|B) avrà un pivot nell'ultima colonna se e solo se r(A) ≠ r(M).

Quando vale l'uguaglianza, le variabili libere di una matrice a gradini ottenuta applicando

l’algoritmo di eliminazione sono n − r, dove n è il numero di incognite. In questo caso diciamo che il sistema ha ∞n−r soluzioni. Notiamo che quando n − r > 0 il sistema ammette infinite soluzioni, mentre quando n − r = 0, ovvero quando il rango della matrice del sistema è uguale al numero di incognite, non ci sono variabili libere e dunque il sistema ha un’unica soluzione. Questo mostra, in particolare, che la tricotomia fondamentale vale per qualunque sistema lineare. Dunque, supponendo che il rango di una matrice sia indipendente dalla successione di operazioni che la trasformano in una matrice a gradini, abbiamo dimostrato il Teorema di Rouchè-Capelli il cui enunciato dice: Un sistema lineare con matrice M = (A|B) ha soluzioni se e solo se r(A) = r(M). Quando esistono, le soluzioni sono ∞n−r, dove n è il numero di incognite e r= r(A)=r(M). Inoltre, esiste un’unica

soluzion