Contenuti teorici di Geometria e algebra lineare

Filippo Tabani a.a. 2020-2021 CdL Ingegneria Aerospaziale

Contenuti teorici di geometria e algebra lineare

Da dispense Lisca ed appunti del corso Berarducci

Capitolo 1 – Nozioni preliminari

1.1 Insiemi

Un insieme S è una collezione di "oggetti". Tali oggetti sono detti elementi di S. La collezione senza alcun elemento è il cosiddetto insieme vuoto, usualmente indicato con il simbolo ∅.

Un insieme S si definisce di solito in uno dei seguenti modi:

• Descrivendone esplicitamente gli elementi di S
• Utilizzando un altro insieme già noto U, a volte detto "universo", per caratterizzare gli elementi di S come quegli elementi di U con certe proprietà.

Un insieme T si dice sottoinsieme di un insieme S se ogni elemento di T è anche elemento di S.

Dati due insiemi S e T, possiamo definire altri insiemi nei seguenti modi:

• Intersezione: S ∩ T = {s ∈ S | s ∈ T} = {t ∈ T | t ∈ S}
• Unione: S ∪ T = {x | x ∈ S oppure x ∈ T}
• Differenza: S \ T = {s ∈ S | s ∉ T}

Dati due insiemi A e B, il loro prodotto cartesiano è l’insieme A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Dato S ⊂ U, l’insieme S’ = U \ S è detto il complementare di S in U.

1.2 Induzione matematica

Principio di induzione: Se valgono i seguenti fatti:

• E(1) è vera (base dell’induzione)
• ∀n ∈ N, E(n) vera ⇒ E(n + 1) vera (passo induttivo)

Allora E(n) è vera per ogni n ∈ N.

1.3 Applicazioni

Un’applicazione o funzione f da un insieme S detto dominio ad un insieme T detto codominio è una regola che associa ad ogni s ∈ S un unico elemento t ∈ T, detto immagine di s, di solito indicato con f(s). L’insieme f(S) = {f(s) | s ∈ S} ⊂ T è detto immagine di f.

Un’applicazione f: S → T è detta iniettiva se f(s₁) = f(s₂) implica s₁ = s₂, ovvero se le immagini tramite f di elementi distinti sono sempre distinte.

Un’applicazione f: S → T è detta suriettiva se f(S) = T. In altre parole, f: S → T è suriettiva se l’immagine di f coincide con T, ovvero se dato un qualunque t ∈ T esiste s ∈ S tale che f(s) = t.

Date due applicazioni f: S → T e g: T → U, la composizione di g con f, di solito indicata con g ◦ f, è l’applicazione da S ad U definita da g ◦ f(s) = g(f(s)) per ogni s ∈ S.

Un’applicazione f: S → T è detta biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Osserviamo che se f: S → T è biiettiva allora esiste un’applicazione g: T → S tale che g ◦ f = id_S e f ◦ g = id_T. Infatti, poiché f è suriettiva, per ogni t ∈ T esiste un elemento s_t ∈ S tale che f(s_t) = t, e poiché f è iniettiva s_t è unico. Possiamo quindi definire g(t) = s_t. Allora per costruzione valgono f ◦ g(t) = t per ogni t ∈ T e g ◦ f(s) = s per ogni s ∈ S, quindi g ◦ f = id_S e f ◦ g = id_T.

L’applicazione g descritta sopra è l’inversa dell’applicazione biiettiva f, e si denota f −1.

1.4 Esempi di strutture algebriche

Sappiamo dall’aritmetica elementare che l’insieme dei numeri interi Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} è dotato di due operazioni: l’addizione e la moltiplicazione. L’addizione, o somma, tra numeri interi soddisfa le seguenti proprietà (GA):

• a + (b + c) = (a + b) + c per ogni a, b, c
• a + b = b + a per ogni a, b
• a + 0 = a per ogni a
• a + (−a) = 0 per ogni a

Un insieme dotato di un’operazione "+" ed un elemento "0" aventi le proprietà (GA) si dice gruppo abeliano o gruppo commutativo.

La moltiplicazione, o prodotto, tra numeri interi soddisfa le proprietà (AU):

• a · (b · c) = (a · b) · c per ogni a, b, c
• a · (b + c) = a · b + a · c per ogni a, b, c & (a + b) · c = a · c + b · c per ogni a, b, c
• 1 · a = a, (−1) · a = −a per ogni a

Sappiamo inoltre che vale la proprietà (AC): a · b = b · a per ogni a, b.

Un insieme R dotato di operazioni "+" e "·" e provvisto di elementi "0" e "1" soddisfacenti le proprietà (GA) e (AU) si dice anello unitario. Se inoltre vale anche la (AC) allora R si dice anello commutativo unitario.

Dunque l’insieme Z è un anello commutativo unitario rispetto alle operazioni di somma e prodotto e, come tutti gli anelli unitari, anche un gruppo Abeliano rispetto alla sola operazione di somma. L’insieme dei numeri interi è contenuto nell’insieme dei numeri razionali Q := {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0} e, come sappiamo (o possiamo facilmente verificare), le operazioni di somma e di prodotto tra numeri interi si estendono all’insieme Q conservando le proprietà (GA), (AU) e (AC). Quindi anche l’insieme dei numeri razionali è un anello commutativo unitario.

Vale inoltre il seguente fatto (Ca): ∀q ∈ Q \ {0} esiste q' ∈ Q \ {0} tale che q · q' = 1. Infatti, se q = a/b ≠ 0, basta scegliere q' := b/a.

Un anello commutativo unitario K per cui valga la (Ca) una volta sostituito K al posto di Q si dice campo. Dunque Q è un campo, e lo stesso è vero per l’insieme R dei numeri reali.

1.5 Polinomi

Dato un campo K (ad esempio Q o R), un esempio di anello commutativo unitario è l’insieme dei polinomi a coefficienti in K: K[t] = {a₀ + a₁t + · · · + a_n tⁿ | a₀, ..., a_n ∈ K, n ≥ 0}.

L’anello K[t] non è un campo perché non soddisfa la (Ca).

Teorema di Ruffini: Sia p(t) ∈ K[t] un polinomio di grado n ≥ 1 e k ∈ K. Allora p(k) = 0 se e solo se p(t) = (t − k)q(t), con q(t) ∈ K[t] di grado n − 1.

Dimostrazione

Implicazione ←: Sia p(t) = (t − k)q(t) allora p(k) = (k-k)q(t) = 0 q(t) = 0.

Implicazione →: Se divido p(t) per (t-k) ottengo che p(t) = (t-k)q(t) + r(t) con q e r quoziente e resto. Per definizione il resto deve avere grado minore di (t-k) che ha grado 1. Allora il resto è un reale (grado 0). p(t) = (t-k)q(t) + r, se p(k) = 0 = 0 q(t) +r si ha che r = 0 cioè p(t) = (t-k)q(t).

Sia k ∈ K una radice di p(t) ∈ K[t]. La molteplicità di k come radice di p(t), indicata con a_k, è il massimo intero b ≥ 1 tale che p(t) = (t − k)^b s(t) per qualche s(t) ∈ K[t]. Una radice di molteplicità 1 è detta semplice, una di molteplicità 2 è detta doppia.

Si chiama disuguaglianza triangolare la disuguaglianza per cui: |x+y|≤ |x| + |y|, questa è dimostrabile supponendo in modo non limitativo che x ≤ y distinguendone i vari casi di segno. Inoltre ne mostreremo ulteriore dimostrazione per mezzo del prodotto scalare e della norma negli spazi euclidei.

Capitolo 2 – Numeri complessi

2.1 Introduzione e prime definizioni

Vorremmo costruire un nuovo campo C contenente R in modo che qualche elemento di C soddisfi l’equazione x²+1=0. Aggiungiamo a R un “simbolo” i ed estendiamo la moltiplicazione in modo che i · i = i² = −1.

Se C deve essere un campo e contenere R ed i, dovrà contenere tutti i “numeri” della forma a + bi al variare di a, b ∈ R. Proviamo quindi a definire C = {a + b · i, a, b ∈ R}, In questo modo possiamo identificare R con il sottoinsieme {a + 0 · i, a ∈ R} ⊂ C. Sull’insieme C è naturale definire le operazioni di somma e prodotto in modo che coincidano con i risultati delle naturali manipolazioni algebriche.

La scrittura a + bi di un numero complesso z ∈ C si dice la forma algebrica di z. I numeri della forma bi, b ∈ R, sono detti immaginari puri.

2.2 Proprietà dei numeri complessi

La rappresentazione cartesiana dei numeri complessi identifica C con R² (il piano cartesiano) in modo da avere sull’asse delle ascisse i numeri reali e sulle ordinate gli immaginari puri. In tali modo ogni numero in C è identificato da un punto nel piano. Il modulo è identificato con la distanza del punto dall’origine per mezzo del Teorema di Pitagora ed il coniugio è identificato dalla riflessione lungo l’asse x.

Dato z = a + bi ∈ C, a ∈ R è parte reale di z, mentre b ∈ R ne è la parte immaginaria. A volte si scrive a = Re(z) e b = Im(z).

Teorema fondamentale dell’algebra: data un’equazione polinomiale a coefficienti complessi a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ = 0, a₀, ..., a_n ∈ C, con a_n ≠ 0, esiste almeno un numero complesso z₀ ∈ C che la soddisfa.

2.3 Rappresentazione polare

Oltre alle coordinate rettangolari, nel piano possiamo utilizzare coordinate polari (ρ, θ), legate alle coordinate rettangolari dalle trasformazioni:

x = ρ cos(θ)

y = ρ sin(θ)

Questo ci permette di scrivere, per ogni z ∈ C, z = a + bi = ρ cos(θ) + ρ sin(θ)i = ρ(cos(θ) + sin(θ)i), dove ρ = |z|.

L’angolo θ, indicato spesso con Arg(z), è detto argomento del numero complesso z. È chiaramente ben definito solo a meno di multipli interi di 2π, oppure se pensato appartenente ad un intervallo di ampiezza 2π (chiuso a sinistra ma non a destra o viceversa). A questo scopo noi utilizzeremo l’intervallo [0, 2π).

2.4 Estrazione di radici complesse

Argomento trattato per esercizio.

2.5 Rappresentazione esponenziale

La funzione esponenziale exp: R → R, x → e^x si può estendere ad una funzione exp: C → C nel seguente modo: exp(a + bi) = e^a (cos(b) + sin(b)i), a + bi ∈ C.

Chiaramente, se a = a + 0i ∈ C, exp(a) = e^a (cos(0) + sin(0)i) = e^a, quindi abbiamo effettivamente definito un’estensione della funzione esponenziale.

Notiamo inoltre che exp(C) ⊂ C \ {0}, perché e^a > 0 per ogni a ∈ R. Da adesso in poi useremo anche la notazione e^z per indicare exp(z).

L’immagine dell’applicazione exp: C → C è C \ {0}. Infatti, ogni z ∈ C \ {0} ha una rappresentazione polare del tipo z = ρ(cos(θ) + sin(θ)i) con ρ ≠ 0. Inoltre, exp(θi) = e^θi = cos(θ) + sin(θ)i per ogni θ ∈ R. Quindi z = ρe^θi = e^(ln(ρ)+θi) Im(exp).

Capitolo 3 – Sistemi di equazioni lineari ed algoritmo di Gauss

3.1 Tricotomia fondamentale

Sia K ∈ {Q, R, C}. Supponiamo di voler trovare le soluzioni in K di una singola equazione di primo grado nell’incognita x: ax = b, a, b ∈ K. Notiamo che, al variare dei coefficienti a, b ∈ K si possono presentare i seguenti tre casi:

• a ≠ 0: in questo caso l’equazione ammette un’unica soluzione data da x = b/a, ottenuta semplicemente moltiplicando ambo i membri per 1/a;
• a = 0, b ≠ 0: poiché per ogni k ∈ K abbiamo 0 · k = 0, l’equazione si riduce all’uguaglianza 0 · x = b, che non è verificata da alcun valore di x. Quindi l’equazione non ammette soluzioni;
• a = b = 0: l’equazione si riduce a 0 · x = 0, che è soddisfatta da qualunque valore di x. Quindi l’equazione ammette infinite soluzioni.

Come verificheremo, la tricotomia appena osservata (cioè l’esistenza di una, nessuna o infinite soluzioni) è un fatto generale, valido per un qualunque sistema di equazioni lineari con un numero arbitrario di equazioni ed un numero arbitrario di incognite. La chiameremo tricotomia fondamentale dei sistemi lineari.

3.2 Operazioni elementari

Dato un qualsiasi sistema lineare a coefficienti in K con m equazioni ed n incognite, si de soluzione S del sistema una n-pla di elementi in K che sostituiti nelle m equazioni queste siano simultaneamente soddisfatte. Il metodo della sostituzione è spesso inefficiente e non consente di stabilire fatti generali come la tricotomia fondamentale. Useremo l’algoritmo di Gauss per sistemi complessi e per definire la validità generale della tricotomia fondamentale.

Tale algoritmo sfrutta alcuni fatti che vediamo di seguito:

• Due sistemi di equazioni lineari che ammettono le stesse soluzioni si dicono equivalenti.
• Sommando ad un’equazione di un sistema lineare un qualunque multiplo di un’altra equazione si ottiene un sistema lineare equivalente.
• Un altro modo per ottenere da un sistema lineare un sistema equivalente consiste nel moltiplicare ambo i membri di una qualunque equazione per un numero k ∈ K diverso da zero.
• Scambiare tra loro due equazioni di un sistema lineare non cambia l’insieme delle soluzioni.

Riassumendo, per trasformare un sistema lineare in un sistema equivalente abbiamo a nostra disposizione tre operazioni, dette operazioni elementari o mosse di Gauss:

• Moltiplicare ambo i membri di una qualunque equazione per una costante diversa da zero;
• Scambiare tra loro due equazioni;
• Sommare ad un’equazione un qualunque multiplo di un’altra equazione;

Le tabelle di numeri contenenti i coefficienti di un sistema lineare sono dette matrici. Una matrice con m righe ed n colonne è detta matrice m × n.

3.3 L’algoritmo di eliminazione di Gauss

Ridurre un sistema con l’algoritmo di Gauss quindi significa ottenerne uno equivalente per mezzo di mosse di riga di Gauss applicate alla matrice di un sistema.

L’algoritmo di eliminazione di Gauss è una procedura tramite la quale si può trasformare qualunque matrice m × n a coefficienti in K non nulla (cioè con qualche elemento diverso da zero) in una matrice m × n a gradini ovvero in righe il cui primo elemento diverso da zero p_i, i=1, ..., r, si trova in una colonna successiva a quella nel quale si trovava per la riga precedente. I numeri p_i, i = 1, ..., r sono tutti diversi da zero e sono detti pivot.

La matrice A’ a gradini ottenuta dalla matrice A tramite questo algoritmo ha r ≤ min(m, n) pivot. Il numero r = r(A) è detto rango di A. Vedremo più avanti che esso non dipende dalla successione di operazioni fatte per costruire la matrice A’ a partire da A. Nel caso in cui A sia la matrice nulla, definiamo r(A) = 0.

Un sistema con matrice a gradini è impossibile se e solo se c’è un pivot nell’ultima colonna. Infatti, se c’è un pivot nell’ultima colonna è ovvio che il sistema non ha soluzioni, mentre se nessun pivot è nell’ultima colonna, possiamo sempre trovare delle soluzioni, risolvendo le equazioni rispetto alle incognite che hanno i pivot come coefficienti, e considerando le altre come “variabili libere”.

Possiamo sempre scrivere la matrice M di un sistema nella forma M = (A|B), dove B è la colonna dei termini noti. La matrice A è a volte detta matrice incompleta del sistema, e la matrice M matrice completa. Chiaramente, la forma a gradini di M = (A|B) avrà un pivot nell’ultima colonna se e solo se r(A) ≠ r(M).

Quando vale l’uguaglianza, le variabili libere di una matrice a gradini ottenuta applicando l’algoritmo di eliminazione sono n − r, dove n è il numero di incognite. In questo caso diciamo che il sistema ha ∞n−r soluzioni. Notiamo che quando n − r > 0 il sistema ammette infinite soluzioni, mentre quando n − r = 0, ovvero quando il rango della matrice del sistema è uguale al numero di incognite, non ci sono variabili libere e dunque il sistema ha un’unica soluzione. Questo mostra, in particolare, che la tricotomia fondamentale vale per qualunque sistema lineare. Dunque, supponendo che il rango di una matrice sia indipendente dalla successione di operazioni che la trasformano in una matrice a gradini, abbiamo dimostrato il Teorema di Rouché-Capelli il cui enunciato dice:

Un sistema lineare con matrice M = (A|B) ha soluzioni se e solo se r(A) = r(M). Quando esistono, le soluzioni sono ∞n−r, dove n è il numero di incognite e r= r(A)=r(M). Inoltre, esiste un’unica soluzione se e solo se n=r.

Capitolo 4 – Spazi vettoriali

4.1 La struttura di spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale sul campo K è un gruppo Abeliano (V, +) dotato di un’applicazione “prodotto per scalari” ·: K × V → V tale che:

• k · (v + w) = k · z + kw per ogni k ∈ K, v, w ∈ V,
• (h + k) · v = h · v + k · v per ogni h, k ∈ K, v ∈ V,
• h · (k · v) = (hk) · v per ogni h, k ∈ K, v ∈ V,
• 1 · v = v per ogni v ∈ V.

Se V è uno spazio vettoriale su K e 0_K ∈ K è l’elemento neutro di K rispetto alla somma, allora per ogni v ∈ V si ha 0_Kv = (0_K + 0_K) v = 0_Kv + 0_Kv = 0_V.

Osserviamo che, dato uno spazio vettoriale V su K ed n vettori v₁, ..., v ∈ V, il modo più generale per creare un altro vettore con le operazioni a nostra disposizione è formare una combinazione lineare k₁v₁ + · · · + k_nv_n ∈ V, k_i ∈ K, i = 1, ..., n.

4.2 Sottospazi vettoriali

Sia V uno spazio vettoriale su K ∈ {Q, R, C}. Un sottoinsieme non vuoto W ⊂ V si dice sottospazio vettoriale (o più brevemente sottospazio) se è chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalari su V.