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Comunicazioni Numeriche
Numeri Complessi
z = a + jb
z = cejφ
c = √(a2 + b2)
φ = arctg(b⁄a)
a = c cos φ
b = c sin φ
z = a + jb = c cos φ + jc sin φ = c[cos φ + j sin φ] = cejφ
Re{z} = a = 1⁄2(z + z*)
z = z + z*⁄2 = a
z = a + jb
z* = a - jb
Im{z} = b⁄i = 1⁄2(z - z*)
=> 2jb⁄2 = b
ejπ = -1
Operazioni Algebriche
Somma/Differenza
za = a1 + jb1
zb = a2 + jb2
z1 = za + zb
z2 = za - zb
z1 = (a1, a2) + j(b1, b2)
Prodotto
z1z2 = (a1, b1) - (a2, b2)
(C1ejφ,) (C2ejφ,)
C1C2ej(φ1 + φ2) = Cejφ
(a1 + b1, b2 + j(a1, b2))
C2ej2φ = C2
Rapporto
z1⁄z2 = C1⁄C2ej(φ1 - φ2)
z(t) = a(t) + jb(t) = c(t)ejφ(t)
z(1, φ2) = c(t)ejφ(t)
d⁄dt [z(t)] = da(t)⁄dt + j db(t)⁄dt
Segnali
Rappresentazioni matematiche di grandezze fisiche con artifatti.
Tipologia di segnali
- Deterministico → rappresentabile con una funzione analitica
- Aleatorio → Segnale di cui non conosco l'andamento, come il rumore, e determino il generatore tensioni con senso diff di potenziale. Vengono descritti statisticamente con medie etc...
Dimensione di un segnali
u(x): Rn → Rm
- m=n=1 dimensione 1 tipo elettrocardiogramma
- m=2, n=1 audio stereo → uscita L+R
- m=1, n=2 immagine b/w → ingresso due coordinate
- m=3, n=2 immagine a colori → uscita RGB
- m=3, n=3 Video a colori → u(x1, x2, t)
- t → RGB
Tipologie di segnale in base alla natura delle var. dipend. & indipend.
- Deterministic e monodimensionale
- Var Indip.
- Segnali a tempo continuo
- x(t), y(t), z(t)
- t può assumere tutti i valori reali contenuti in un intervallo
- Segnali a tempo discreto
- x(m), y(m), z(m)
- m può assumere solo valori discreti
- Var Dipend.
- Segnali ampiezza continua
- L'ampiezza può assumere tutti i valori reali all'interno di un intervallo
- Segnali ampiezza discreta
- L'ampiezza può assumere solo valori discreti
@ Esponenziale bilatera
x(t) = ejΛt
Px(t) = 2
Ex = ∫−∞∞ x2 dt = 2 ∫−∞∞ dt = 2 − 1 = 1
⌀ = ⌀0
Xm = ⌀
xm = ⌀
Pxm = ⌀
OSSERVO CHE
Px = ⌀
Xm = ⌀
Scrivo x(t) = xm ∙ x'(t) con xm segnale a valor medio nulla
x'(t) = x(t) − xm
xm = limT→∞ 1/T ∫-T/2T/2 x(t) − xm dt
= limT→∞ 1/T ∫-T/2T/2 Δx(t) − limT→∞ 1/T ∫-T/2T/2 km dt
= xm − xm = xm limT→∞ 1/T dt = xm − xm = ⌀
CONTINUO AD OSSERVARE CHE
=> Pxsub> limT→∞ 1/T ∫[x'(t)]2 dt = ⌀
= limT→∞ 1/T ∫ xm ∙ x(t)2 dt
= limT→∞ 1/T ∫ (xm ∙ x'(t)) [xm ∙ x'(t)2] dt
= limT→∞ 1/T ∫ xm2 dt = limT→∞ 1/T ∫ x(t)2 dt
+ limT→∞ f ∫ 2 Re {xm X'mX'(t)} dt
| x2 |
2 Re { lim ∫ xm Pm dt } x'(t) dt = 0
Px =xm2 + limT→∞ 1/T ∫ (x'(t))2 dt = 0
Px = xm + Py = (xm
Pxsub> ⌀/p> xm = ⌀/p> Quindi se la Pot media e uguale a ⌀ e anche il valore medio e uguale a ⌀ x(t) = A cos (2πf0t + φ) + B sin (w0t + π/4) x(t) ⬚ y(t) ⬚ z(t) ⬚⬚(t) = A cos (πf0t ⬚)⬚(t) = B sin (⬚t ⬚ π/4) Ym Ym = ∫⬚ A cos (2πf0t + ⬚) ⬚ ⬚ 2 ∫⬚⬚ divide in due integrale ⬚ = A ⬚ ∫ ej 2π (⬚+n⬚)f⬚e dt = ⬚An⬚ jπf0t= A ⬚ ∫ e-j 2π (k⬚Esercizio 1. Somma di sinusoidi
zm⬚n = t n (y)Ym2 = B ej ⬚3 m = 1 ⬚ 4 = B e⬚2 m =
⬚z1 >⬚4⬚·3
Δ ⬚ π2
Esercizio ⬚ Piccolo
di⬚⬚⬚su⬚⬚⬚⬚⬚⬚⬚ 공부원의
Y(fp) = 1⁄2 X(fp - fo) * X(fp + fo)
y(t) = x(t) Y(f) 1/2
questa modulazione serve ad esempio per portare segnali ad una centrale e ua di trasmissione
Y(fp) = x(t) cos(2πfot) e-j2πfpt dt = ∫-∞∞ x(t) cos(2πfot)
=1⁄2 x(t) e-j2π(fp-fo)t + X(fp - fo) + x(t) e-j2π(fp+fo)t
Modulazioni con seno
ys(t) = x(t) sin(2πfot) Y(f) = j⁄2 X(fp - fo) - X(fp+fo)
Dimostrazione uguale alla precedente
Modulazione con exp complesso
ye(t) = x(t) ej2πfot
oscillatore complesso
DIM
Y(f) = x(t) ej2πfot e-j2πfpt dt = ∫-∞∞ x(t) ej2πtfo dt = x(fp-fo)
Dualita tra ticato e modulazione con exp complesso
x(t-tc) ↔ X(f) e-j2πft0
x(t) ej2πf0t ↔ X(f-f0)
Modulazioni con sinusoide (GENERICA FASE)
ys(t) = x(t) cos(2πf0t + φ)
Y(f) = ejφ⁄2 X(fp-fo) + e-jφ⁄2 X(fp+f0)
DIM
y(fp) = x(t) cos(2πf0t + φ) e-j2πfpt dt = ∫x(t)(t) cos(2πf0t + φ) e-j2πfpt dt =
= ejφ⁄2 μ(t) e-j2π(fp-fo)t dt + e-jφ⁄2 μ(t) e-j2π(fp+fo)t dt = ejφ⁄2 X(fp-fo) + e-jφX(fp+fo)
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
