Teoria dei segnali - comunicazioni elettriche

DEFINIZIONE DI UN SEGNALE

Un segnale è un'ogni della fisica che varia nel tempo, ed è proprio la variazione nel tempo che porta l'informazione. Il modo più conveniente per studiare, elaborare un segnale è quello di schematizzare il segnale stesso come una funzione matematica di una o più variabili.

CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI

Segnali a tempo continuo

Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali. La variabile indipendente può assumere con continuità tutti i valori compresi entro un certo intervallo, eventualmente illimitato.

Segnali a tempo discreto/campionati

Il dominio della funzione è l'insieme (discreto) dei numeri interi. Questi segnali vengono chiamati, in matematica successioni, ma nella teoria dei segnali vengono chiamati sequenze. n(t): IN -> R (C)

Segnali ad ampiezza continua

Possono assumere con continuità tutti i valori reali di un intervallo (eventualmente illimitato).

Segnali ad ampiezza discreta

Hanno come codominio un insieme numerabile, eventual-mente illimitato.

Segnali analogici/continui

Sono i segnali a tempo continuo e ad ampiezza continua.

x(t): R -> R

o x(t): R -> C

Segnali numerici/digitali

Sono i segnali a tempo discreto e ad ampiezza discreta.

x(t): IN -> N

Questi segnali hanno grandi vantaggi, perché al contrario dei segnali analogici hanno valori finiti.

Segnali periodici

Nel caso di segnali a tempo continuo, diremo che un segnale è periodico se:

∃ T: x(t) = x(t+T) T ∈ ℝ

Cioè significa che il "segnale si ripete uguale a se stesso dopo un periodo di tempo T.

Segnali aperiodici

Un segnale è aperiodico se:

∀ T: x(t) ≠ x(t+T) T ∈ ℝ

Tutti i segnali che abbiamo visto finora sono segnali determinati o deterministici, cioè quando il segnale è noto attraverso un grafico, o attraverso una ben definita espressione matematica. In moltissimi casi, invece, non è possibile conoscere con esattezza a priori il valore assunto da un segnale in un certo istante, e questi segnali sono chiamati segnali aleatori, per i quali è necessario ricorrere a tecniche basate sulla teoria della probabilità e dei processi aleatori.

Proprietà elementari dei segnali determinati

Supponiamo di avere una certa resistenza R alla quale applichiamo una certa tensione V(t), e che viene attraversata da una certa corrente i(t). Allora sappiamo che per effetto Joule la potenza dissipata è uguale a: v²(t)/R oppura i²(t)R ⇒ ponendo R=1 la potenza istantanea di un segnale è legata al quadrato del segnale stesso.

Potenza istantanea

P = x²(t)

Dalla potenza posso ricavare l'energia:

Energia (potenza dissipata)

E_s = ∫_T x²(t) dt

SERIE DI FOURIER

Faremo un parallelo tra l'algebra lineare e la teoria dei segnali. Dato uno spazio vettoriale V si può introdurre il concetto di base, quando all'interno dello spazio è definito il prodotto scalare:

_i V_i*

Quindi, se lo spazio vettoriale sarà reale, il prodotto scalare restituirà un valore reale, se lo spazio vettoriale sarà complesso, il prodotto scalare restituirà un valore complesso.

Un altro modo per definire il prodotto scalare è:

∑_i=1 V_i W_i*

Allora, si può definire la norma di ν come segue:

❚ν❚ = <ν, ν>

Quindi, è possibile individuare una base ortonormale dello spazio:

z_i,..., z_m dove le componenti di z_i sono vettori

<z_i, z_j> = 1 X i=j

<z_i, z_j> = 0 X i≠j

} ORTONORMALI

Se ho la base:

∀ν ∈V ⇒ν ≈ ∑_i=1ⁿ V_ie_i

dove V_i = <ν, e_i>

Questa scomposizione non soltanto esiste, ma è unica.

Utilizzando la definizione di norma e applicandola a ν

ν = ∑_i=1ⁿ V_iz_i

❚ν❚² = ∑_i=1❚V_is²❚ ⇒ Th. di Pitagora

SERIE DI FOURIER IN SOLI COSENI

Ponendo

C₀ = A₀ ||C_m||2 = A_m, ∠C_m = ρ_m con ρ₀ = 0

x(t) = A₀ + Σ_{m = 1}^+∞ A_m cos(2πmt/T + ρ_n)

ATT: Vale solo per segnali reali

A_m = spettro di ampiezza

ρ_m = spettro di fase

• ||C_m|| = λ_m = f frequenza che si muove su un cerchio di raggio ||C_m|| alla velocità di 2πm/T

Se facessimo la somma dei due fasori, otterremmo qualcosa che si muove sull'asse reale, quindi un coseno. Le frequenze negative (anche se in realtà non esistono) servono perché accoppiate con quelle positive formano un coseno puro (reale).

Tutto questo vale esclusivamente per segnali reali; in quanto i segnali complessi non godono della simmetria hermitiana, quindi si andrebbe a finire nel campo immaginario.

Un altro modo per scrivere la serie di Fourier è:

x(t) = A₀ + Σ_m=1^+∞ A_m cos ρ_m cos 2πmt/T + Σ_m=1^+∞ A_m ρ_m sen 2πmt/T

ponendo A_m cos ρ_m = a_m, A_m sen = b_m, con a₀=0 e b₀=0

x(t) Σ Σ_m=0^∞ a_m cos 2πmt/T + b_m 2πmt/T

SERIE DI FOURIER IN SENI E COSENI

Quindi si avrà un certo segnale troncato

n_Δ^P(t) e con

n_Δ(t) si definisce il segnale che prende la parte diversa da 0 e la ripete nel tempo.

Quindi posso applicare le serie di Fourier a n_Δ^P(t)

n_Δ^P(t) = ∑_m C_m e^j2πfmt

C_m = 1/Δ ∫_-Δ/2^Δ/2 n_Δ^P(t) e^-j2πfmt dt

Se mando Δ→∞?

n_Δ^P(t) → n(t) puntualmente.

Con il passaggio al limite come cambieranno le due relazioni delle serie di Fourier?

Prima di tutto finchè Δ è finito si ha che:

f_m = m/Δ

Per Δ→∞ le spaziature tra le righe dello spettro si avvicineranno sempre di più fino a diventare continue.

Le sommatorie diventerà un integrale:

x(t) = ∫_ℝ X(β) e^j2πβt df

C_m cioè m non saranno più interi ma reali.

Mentre C_m = 1/Δ ∫_-Δ/2^Δ/2 n_Δ^P(t) e^-j2πfmt dt diventerà:

X(β) = ∫_ℝ x(t) e^-j2πβt dt

Dimostrazione

X(β) = ∫_ℝ x(t) * e^{-2πβ jt} dt = ∫_ℝ ( ^{x(t) + x(-t)}/₂ + ^{x(t) - x(-t)}/₂ ) * e^{-2πβ jt} dt =

= ∫_ℝ ^{x(t) + x(-t)}/₂ * e^{-2πβ jt} dt + ∫_ℝ ^{x(t) - x(-t)}/₂ * e^{-2πβ jt} dt =

= ∫_ℝ ^{x(t) + x(-t)}/₂ * cos(2πβ t) - j ∫_ℝ sen(2πβ t) * ^{x(t) - x(-t)}/₂ =

= ∫_ℝ ^{x(t) + x(-t)}/₂ * cos(2πβ t) dt - j ∫_ℝ sen(2πβ t) * ^{x(t) - x(-t)}/₂ dt

Parte Pari Reale Parte Dispari Immaginaria

(7)

L'operatore trasformata di Fourier è lineare

x₁(t) ⇔ X₁(β)

x₂(t) ⇔ X₂(β)

⇒ x₁(t) + x₂(t) ⇔ X₁(β) + X₂(β)

Questa proprietà non vale nè per lo spettro di ampiezza

nè per lo spettro di fase!

|X₁(β)| + |X₂(β)| |e^jφ₁(β) * e^jφ₂(β)| ⇒ φ₁ + φ₂

NO!!!

Esempio:

∫ ξ |e^-a|t|| a > 0

e^-a|t| = u(t) e ^{- a t} + u(-t) e^-at

= ¹/_{a + j2πβ} + ¹/_{a - j2πβ} = ^{a - j2πβ + a + j2πβ}/_{a² + 4π² β²} = ^2a/_{a² + 4π² β²}