Comunicazioni elettriche

Teoria della probabilità

Differenza tra causalità e casualità

Causalità (deterministico): entro un certo errore e se i parametri rilevanti sono in certi intervalli.
Casualità (probabilistico): con un alto grado di certezza se il numero degli eventi è grande a sufficienza.

Prove di Bernoulli

Dato un insieme di n elementi, allora il numero totale di sottoinsiemi, ciascuno dei quali è composto da k elementi, è pari a ≤ ≤.

Correzione dell'errore della valutazione approssimata

Correzione dell'errore della valutazione approssimata di P {k k k}: utilizzo di un'approssimazione più accurata, allargando i limiti di integrazione di 0.5 per parte.

Punti casuali di Poisson

Se abbiamo n punti nell'intervallo (-T/2, T/2) e t₂ – t₁ = t_a, densità di punti per unità di lunghezza.

Variabili aleatorie

Variabile aleatoria: è una regola che associa un numero x(k), solitamente reale, ad ogni possibile uscita k di un esperimento. {X ≤ x} rappresenta il sottoinsieme di S contenente le uscite k tali che x(k) ≤ x.

Condizioni necessarie e sufficienti

Funzione di distribuzione: + proprietà.
Funzione di densità: + proprietà.
Media: valore atteso. Operatore lineare.
Varianza: è un indice di quanto la v.a. x sia concentrata attorno al suo valor medio (indice di variabilità).

Teorema di esistenza

Possiamo costruire una v.a. x con rispettiva distribuzione e densità, se le loro proprietà sono rispettate.

Binomiale

Densità binomiale:
Distribuzione binomiale:
Approssimazione valida per npq >> 1:

Poisson (v.a. x di tipo discreto)

Se n è grande e p è piccolo, la distribuzione di Poisson può essere usata per approssimare la Binomiale a = np (utilità: il calcolo della binomiale è molto più complesso).

Poisson (v.a. x continua)

Tchebycheff: la probabilità che la v.a. x sia fuori da un arbitrio intervallo è trascurabile se il rapporto è abbastanza piccolo. Importanza: la disuguaglianza di Tchebycheff vale per ogni densità della v.a. x e può quindi essere usata anche se la densità di x non è nota.

Funzioni di una variabile aleatoria

Proprietà:
Determinazione della distribuzione di y = g(x):
Caso 1 (g(x) continua generale):
Caso 2 (g(x) costante in un intervallo (x₀, x₁)):
Caso 3 (g(x) funzione a gradini, ovvero costante a tratti):
Caso 4 (g(x) discontinua in ):

Determinazione della densità di y = g(x)

Teorema fondamentale: ( ) ( ∕ )

Densità condizionata

Sostituisci i termini con.
Problema inverso:
Da F (x) ad una distribuzione uniforme: x
Da una distribuzione uniforme a F (y): y
Da F (x) a F (y): x y

Due variabili aleatorie

Per definire le relazioni fra due v.a. è necessario determinare le loro statistiche congiunte, ovvero la probabilità che il punto (x, y) sia in una specificata regione del piano x, y. (, ) = { ≤ , ≤ }
V.a. congiuntamente gaussiane:
Simmetria circolare:

Funzioni di due variabili aleatorie

z = g(x, y)

Statistiche congiunte

Contengono l'informazione completa dei legami fra due v.a.
Covarianza e correlazione: forniscono informazioni più sintetiche di tali legami.
Distribuzioni condizionate:

Linea di regressione

Nell'equazione della media condizionata nel caso in cui U = {x = x}, il primo integrale è il baricentro della striscia verticale. Il luogo di tali punti, al variare di x da -∞ a ∞ + la funzione, detta linea di regressione.

Stima di v.a.

Minimo errore quadratico medio (MS):
Stima MS non lineare:
Stima MS lineare:
Se x e y sono congiuntamente gaussiane:

Teorema del limite centrale

Date n v.a. indipendenti: La convoluzione di un grande numero di funzioni positive tende ad una funzione gaussiana.

Processo aleatorio

Processo aleatorio: un processo aleatorio x(t) è una regola per assegnare ad ogni k una funzione x(t, k). Quindi un p.a. è una famiglia di funzioni del tempo (o di altra variabile indipendente) che dipendono dal parametro k o, in modo equivalente, una funzione di t e k. Uguaglianza: due processi aleatori sono uguali se

Distribuzioni e densità del primo ordine

Distribuzioni e densità del secondo ordine:
Media: valore atteso della v.a. x(t).
Autocorrelazione del p.a. x(t): valore atteso del prodotto x(t₁)x(t₂).
Autocovarianza del p.a. x(t): è la covarianza delle v.a. x(t₁) e x(t₂).

Processo sinusoidale

È descritto da una sinusoide a frequenza fissata. Fra le varie realizzazioni, variano l'ampiezza e la fase, che vengono modellate mediante opportune v.a.

Processo di Poisson

Processo telegrafico casuale:
a v.a, indipendente da x(t), che assume valori +1 e -1 con uguale probabilità.

Rumore bianco

P.a. le cui v.a., presi due istanti di tempo diversi, sono scorrelate: Se i valori sono anche indipendenti allora il p.s. si dice rumore strettamente bianco.

Processo gaussiano

P.a. le cui v.a. sono congiuntamente gaussiane per ogni istante di tempo.

Processi stazionari

Hanno statistiche invarianti rispetto alla traslazione nel tempo.

Processi ergodici

Contenuto relativo ai processi ergodici.