Comportamento dei materiali

Comportamento materiale

Legame costitutivo

Il discorso relativo alla deformazione e alla tensione vale per tutti i corpi deformabili. Poiché corpi con stessa geometria ma differente materia corrisponderanno a diversi effetti, un materiale può avere un comportamento viscoso asintoto a crescere o tendere a restare all'esplorazione costante.

Elastico

Se introduciamo uno sforzo, esso provoca una deformazione costante alla sovrapposizione dello stato tensionale.

Assiomi

Determinismo

Il materiale ha memoria di forma. La tensione in un punto dipende dalla storia delle deformazioni.

Azione locale

La tensione in un punto può essere studiata trascurando la deformazione nei punti posti a conveniente distanza.

Interazione materiale

La risposta di un materiale è la stessa per ogni cambiamento di osservazione.

Comportamento materiale

Legame costitutivo

Il discorso relativo alla deformazione e alla tensione vale per tutti i corpi deformabili. Per corpi con stessa geometria ma differente materia corrisponderanno diversi effetti. Può avere un comportamento elastico, plastico o viscoso.

La deformazione continua a crescere al cessare della sollecitazione esterna. Le deformazioni si annullano all'annullarsi dello stato tensionale. Il materiale ha memoria di forma; la tensione in un punto dipende dalla storia della deformazione.

Assiomi

Determinismo

Azione locale

La tensione in un punto può essere studiata trascurando la deformazione nei punti posti a conveniente distanza.

Indipendenza materiale

La risposta di un materiale è la stessa per ogni cambiamento di osservazione.

Elasticità lineare

X: E -> S

Lo sforzo è indipendente dalla storia della deformazione.

Tensore di elasticità nella configurazione di riferimento

S_ij = C_ijkl E_kl

Tensore di elasticità nella configurazione di riferimento (4^o ordine).

C ha due importanti proprietà:

1. A un qualsiasi campo di deformazione E corrisponde un campo di tensione S simmetrico.
2. Ad ogni campo di grad, spostamento H corrisponde un campo S che dipende da E.

Bisogna ricordare che E è la parte simmetrica di H, il gradiente dello spostamento: H = E + R.

Un tensore con tali proprietà possiede delle simmetrie minori:

C_ijkl = C_jikl = C_ijlk

1^a simmetria minore

2^a simmetria minore

Dipende dalla parte simmetrica di H, e le componenti di C non sono più 81, bensì 36. Se C_ijkl = C_lkji, le componenti sono 21. Inoltre, C è definito positivo (CL) . L > 0 la L tensore simmetrico non nullo.

Se C possiede un inverso in caso di trasformazione reversibile, accade che E = AS con A = C^-1.

Problema elasticità

Assegniamo:

• Geometria dominio
• Densità \( \mu(x) \)
• Materiale (linee elastico)
• Forze esterne (di volume)
• Forze di superficie
• Campo di spostamento \( U \) sulla porzione vincolata

Determiniamo: stato elastico

1. \( \text{Div } \mathbb{S}(x) + b(x) = 0 \) Eq. indefinita di equilibrio
2. \( E = \frac{1}{2} (Du + Du^T) \) Eq. deformazione/spostamento
3. \( \mathbb{S} = \mathbb{C} E \) Eq. costitutiva

Se \( \partial D = \partial D_e \) su tutta la frontiera è assegnato il sistema di forze, si tratta del problema nelle forze. Se \( \partial D = \partial D_v \) su tutta la frontiera sono assegnati solo gli spostamenti, si tratta del problema negli spostamenti.

Condizioni al contorno

5μ = ṡ u - ū La soluzione del problema dell'elettrostatica esiste sempre.

Esistenza, Unicità, Stabilità infinitesima. Venne espletata nel problema di St. Venant.

Isotropia

Abbiamo visto come le componenti del tensore A possono essere ridotte da 81 a 36, se non a 21 tenendo conto di un'eventuale simmetria. Si potrebbe ridurre ulteriormente con le ipotesi di isotropia. In un corpo le grandezze che descrivono deformazione e tensione sono {ν, i, ε}. Tanto deformazione e tensione sono legate da una legge di tipo lineare.

Ci si domanda se una sollecitazione registrata locale nel punto P sia influente sulle proprietà di adiacenza. Se il legame tra E e S sia lo stesso che lega E e S. In tal caso, il corpo sarà chiamato isotropo; in ogni suo punto il legame costitutivo non dipende da nessuna relazione rigida.

Isotropia, ortotropia, anisotropia

Distribuzione crescente. Varietali elastici comportamenti differenti in ogni direzione. Situazione intermedia più ricorrente. Esistono tre piani di simmetria ortogonali. Per comodità, li posiziono paralleli nel punto O ai piani coordinati del riferimento O (γ_i) (i=1,2,3).

Assi principali di ortotropia

Invarianza della relazione elastica rispetto a relazioni arbitrarie. Le proprietà elastiche sono le stesse per tutte le direzioni.

Prova di trazione/compressione

[S] = | σ₁ 0 0 || 0 σ₂ 0 || 0 0 σ₃ |

[E] = | ε₁₁ 0 0 || 0 ε₂₂ 0 || 0 0 ε₃₃ |

\(ε₂₂ = ε₃₃ = -νε₁₁\)

\(ε₁₁ = σ₁ / E\)

Coefficiente di Poisson, Coefficiente di deformazione trasversale, Modulo elasticità \(0 < ν < 1/2\).

Young

[F_ɗ̅ꝫ]^1/2 Σ I̊ꝫɦʜ ɮ̅ɨ ʟʟɦ ps ʜ ̆ ʟ ̆ ʟ ̆ ። 1̆ d̅ʜ ק sono nulli i coeff. dei termini che cambiano segno per effetto di ɓ̅ı - ɦ̅

Verifica S_I̢ᶖfɨ A

Prove di taglio

[S] = | 0 τ 0 | | τ 0 0 |

[E] = | 0 τ / γ 0 | | τ / γ 0 0 |

G Modulo di elasticità tangenziale

[F. L²] Misura la rigidità al taglio di tipo locale. Più è grande, più piccole sono le variazioni d'angolo.

N.B. E = 2G (1 + ν)