Complementi di Idraulica - Condotte

Temi svolti: condotte

Tracce dei temi

Tracce dei temi: 7 pagine

Risoluzione dei temi

Risoluzione dei temi: 40 pagine

Esame di complementi di idraulica del 8 febbraio 2013 - Parte seconda

Tema 1

Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N, è lunga L₁=600 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B, è lunga L₂=800 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0,5 m. Il pozzo piezometrico inserito in corrispondenza del nodo N è cilindrico con sezione orizzontale Ω=0,5 m². Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano rispettivamente alle quote h_A=8,0 m e h_B=10,0 m.

Per t₀ (t₀ è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e, la saracinesca S è completamente aperta e non dà luogo ad alcuna dissipazione di energia. Si valutino, in queste condizioni, il livello z₀ nel pozzo piezometrico e le velocità v₁₀ e v₂₀ (tra loro uguali) lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0,025.

All'istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente chiusa. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall'equazione differenziale che esprime la conservazione dell'energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l'andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma, come velocità caratteristica v_m, quella corrispondente alla velocità v₁₀. Si valuti il periodo T dell'oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. Si valuti inoltre l'andamento nel tempo della velocità lungo la condotta 1. Si valuti infine, l'andamento nel tempo della quota piezometrica in corrispondenza della sezione di estremità della condotta 2 immediatamente a monte della saracinesca S. Per quest'ultima valutazione si assuma una celerità dell'onda di pressione a=1000 m/s e, per semplicità, si trascurino le dissipazioni di energia a partire dall'istante t=0.

N.B. Si ricorda che, data l'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti:

^d2z _dt² + 2γ ^dz _dt + ω²z = ξω²

la soluzione generale, quando θ=ν_mω, è del tipo:

z = e[C₁sen(ω_Dt) + C₂ cos(ω_Dt)] + ξ con ω_D= √(ω²−ψ²)

mentre, quando θ ≠ ν_mω, è del tipo:

z = C₁e^{−(γ−γ_m)t} + C₂e^(ν_mω)t + ξ con ω_D = √(ψ² − ω²)

Cognome ______________

Nome ______________

Matricola _____________

Tema 1

Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N, è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B, è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0,5 m. Il pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale Ω=5,0 m². Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripetitivamente alle quote h_A=38,0 m e h_B=32,0 m.