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Kdino di ampiezza . Per un sistema meccanico con uscita in posizioner Kcorrisponde ad imporre posizione desiderata costante pari a .r−→• = ( ) = ( ) =k r t t y t K t.Per 1, L’uscita desiderata è una rampa dirdesKcoefficiente angolare . Per un sistema meccanico con uscita in posizioner Kcorrisponde ad imporre velocità desiderata costante pari a .r2 2−→• = ( ) = ( ) =k r t y t tPer 2, 0, 5t 0, 5K . L’uscita desiderata è un arcordesdi parabola. Per un sistema meccanico con uscita in posizione corrispondeKad imporre accelerazione desiderata costante pari a .rSegnali sinusoidali5.2.1.2La capacità dell’uscita di un sistema di inseguire segnali di riferimento sinusoi-dali può essere vista come la sua capacità di inseguire un segnale di riferimentogenerico, le cui componenti in frequenza siano riconducibili ai segnali sinusoida-li considerati Specifiche sull’errore massimo di inseguimento di
segnali sinusoidali in regime permanente sono da intendersi come specifiche sulla capacità di garantire una buona precisione nell'inseguimento di segnali all'interno di una banda di pulsazioni di interesse. 50 sistemi lineari siso Inseguimento di segnali polinomiali 5.2.2 Per analizzare la precisione con cui l'uscita insegue un riferimento polinomiale in regime permanente, sarà necessario considerare le seguenti caratteristiche del sistema: - il tipo di sistema; - il guadagno stazionario della funzione d'anello; - la funzione di trasferimento d'errore. Questi tre elementi, insieme al grado del riferimento polinomiale, determinano la fedeltà di risposta del sistema in regime permanente. ( ) = G(s) Si consideri il consueto schema di controllo, in assenza di disturbi, con a( ) ( ) = ( )C(s) F(s) s r t in forma minima, priva di zeri in 0 e con appartenente alla famiglia dei segnali polinomiali canonici: ( )h G(s) Il sistema chiuso inretroazione è di tipo se la funzione ha un polo dia=h s guadagno stazionariomolteplicità in 0. Il di un sistema descritto dalla fdt( )G s è dato da: h{ ·= ( )}K s G slim (5.6)G →s 0 ( )G sApplicando la definizione di guadagno stazionario alla fdt d’anello , ilaKsuo valore risulta definito in funzione del tipo di sistema considerato.Ga• =sSe il sistema è di tipo 0 (non ha poli in 0) allora:= ( )K G 0aGaKe è anche detto guadagno di posizione.Ga• Se il sistema è di tipo 1 allora: 0{ ·= ( )} = ( )K s G s Glim 0aGa a→s 0Ke è anche detto guadagno di velocità.Ga• Se il sistema è di tipo 2 allora: 002{ ·= ( )} = ( )K s G s Glim 0aGa a→s 0Ke è anche detto guadagno di accelerazione.GaIl guadagno stazionario rappresenta il guadagno della fdt in BF (bassa fre-quenza). 5.2 precisione in regime permanente 51Si consideri ad esempio la fdt:5.Esempio +s 0, 1( ) =G s 200 2( + +
( + )s s s0, 2s 1 10 =s
Si calcola il guadagno stazionario osservando che vi è un polo in 0 di( )G smolteplicità 1, per cui la è di tipo 1: +s 0, 1 ==K 2lim 200G 2( + + )( + )s s0, 2s 1 10→s 0 →s jω
Se ci si sposta nel dominio della frequenza imponendo la sostituzione→e supponendo bassa frequenza (ovvero, 0) si ha:ω 2→( )G jω jωe il numeratore è proprio il guadagno di velocità trovato con la definizione.
Funzione di trasferimento d’errore5.2.2.1
La funzione di trasferimento d’errore può essere calcolata applicando le regole di algebra dei blocchi allo schema di controllo:
Allora è possibile definire due funzioni d’errore, una riferita ai desiderata che si vogliono ottenere, e una al segnale di riferimento:
( )e s 1= =G (5.7a)
e ( ) + ( )y s G s1 ades ( )e s K r= =G (5.7b)
e,ri f ( ) + ( )r s G s1 a
Sotto l’ipotesi che sia garantita l’asintotica stabilità del sistema
in catena chiusa (altrimenti non esisterebbe regime permanente!), è possibile valutare l'errore diteorema del valore finale: inseguimento in regime permanente applicando il &= ( ) = [ ( )] = [ ( ) ( )]e e t s e s s G s r slim lim lim (5.8)∞ e∞→ → →t s s0 0( ) = ( ) ( )e s G s r scon. Applicando il teorema del valore finale ai diversi casi e possibili a seconda del tipo di sistema e del grado del polinomio di riferimento. Si ottiene l'analisi completa della precisione con cui l'uscita insegue il riferimento in regime permanente nelle diverse situazioni.
52 sistemi lineari siso Dato un segnale di riferimento polinomiale di grado h, un sistema di tipo h permette di ottenere errore di inseguimento in regime permanente finito, non nullo e che diminuisce all'aumentare del guadagno stazionario della fdt d'anello. Anche in assenza di disturbi (come ipotizzato) si ha comunque un errore intrin-Kseco in regime permanente, che
minore di 0. Inoltre, l'errore in regime permanente diverge. Se il sistema ha uno zero in 0, il guadagno K non influisce sull'errore in regime permanente, che è comunque nullo. Tuttavia, il guadagno può essere aumentato per ridurre l'errore di inseguimento. In generale, un sistema di tipo h garantisce un errore di inseguimento nullo in regime permanente per segnali di riferimento polinomiali di grado minore di h. Tuttavia, non è in grado di inseguire segnali di riferimento polinomiali di grado maggiore di h, e l'errore in regime permanente diverge. Il comportamento in regime permanente dell'uscita del sistema in catena chiusa, che è comunque asintoticamente stabile, è tale da far crescere indefinitamente l'uscita y. La differenza fra e e des, indicata come edes, rappresenta l'errore di inseguimento. Nei sistemi con zeri in s=0, il guadagno G(s) può essere rappresentato come G(s) = K/s.su-=speriore a zero. A causa della presenza di (almeno) uno zero in 0, il guadagno K stazionario risulta nullo. Ga(t) = ( ) ( ) = ( )r(t) - t y(t) K t Per t → ∞, e quindi in regime permanente, l'errore d'inseguimento ε → ε r. L'uscita del sistema in catena chiusa converge a zero in regime permanente indipendentemente dal riferimento a gradino applicato (anche presenta infatti lo stesso numero di zeri in 0 della funzione d'anello). 5.3 Reiezione dei disturbi Inseguimento di segnali sinusoidali 5.2.3 Si ricorda che la risposta in regime permanente di un sistema asintoticamente stabile ad un ingresso sinusoidale è descritta dalla sua risposta in frequenza. Facendo riferimento al consueto schema di controllo, si consideri in particolare: • e(t) = r(t) - y(t), errore sinusoidale • G(s) = G(s), funzione di trasferimento del sistema • L'errore di inseguimento in regime permanente è dato da ε = ε r.regime permanente è dato dalla risposta di e,ri f( )r tall'ingresso ; pertanto è dato da: ·( ) = ( + )e t E sin tω φp e0|= ( )| = [ ( )]E G jω G jωcon e arg . L'errore massimo in modulo inφe0 0e,ri f e,ri f E:regime permanente risulta pari proprio aK r=E + ( )G jω1 a 0| ( )|G jωAffinché sia sufficientemente elevato, la pulsazione deve essereωa 0 0| ( )| =G jωpiccola rispetto alla in cui 1. In altre parole, il sistema in catenaω c a cchiusa potrà inseguire con buona precisione segnali sinusoidali solo se di bassafrequenza.5.3 reiezione dei disturbiUn disturbo è costituito da un segnale indesiderato che agisce sul sistema modifi-candone il comportamento dinamico e quindi l'andamento dell'uscita. I disturbipossono essere generati da svariate cause, fra cui ad esempio il rumore dei di-spositivi elettronici interni al sistema da controllare e/o presenti negli attuatorie
54 sistemi lineari sisoUn disturbo a rampa (polinomio di primo grado, tipicamente caratterizzato dacoefficiente angolare piccolo) può essere utilizzato per rappresentare una “deri-va” del segnale
In oggetto. Un disturbo sinusoidale può essere utilizzato per rappresentare la componente principale di rumore di un dispositivo. In generale i disturbi sinusoidali sono presi in considerazione per tenere conto di segnali di disturbo generici, le cui componenti in frequenza siano riconducibili ai segnali sinusoidali considerati. Reiezione di disturbi polinomiali 5.3.1 L'effetto sull'uscita in regime permanente di un disturbo polinomiale dipende dalle seguenti caratteristiche: - la posizione in cui il disturbo entra sull'anello e conseguentemente la funzione di trasferimento fra il disturbo e l'uscita; - il tipo ed il guadagno stazionario dei blocchi presenti sull'anello; Questi elementi, insieme al grado del disturbo polinomiale, determinano l'effetto finale sul segnale di uscita.
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