Compito svolto econometria

Y_t = X'_t β + u_t

H₀: assenza di autocorrelazione nel termine di errore

H₁: u_t = ρ₁ u_t-1 + ρ₂ u_t-2 + ε_t ε_t ~ WN (0, σ²)

Per vedere se vi è o meno autocorrelazione nel termine di errore si esegue il test di Godfrey Breusch. I passi da eseguire sono i seguenti:

1. Si esegue una regressione OLS del modello inizialeY_t = β₀ + β₁ X_t + u_t
2. Salviamo i residui.
3. Eseguiamo la regressione ausiliariaY_t = β₀ + β₁ X_t + ρ₁ û_t-1 + ρ₂ û_t-2 + ε_t
4. Verifichiamo se ρ₂ può significativamente discostarsi da zero.
5. Applichiamo il test F, dove F≈F oppure 2·F≈ x² oppure eseguiamo il test L d· R² ≈ x², unica numerosità campionaria

c) H₀: P̂²_sP = P̂²_s'

performance di Sharpe portafoglio selezionato = perf. di Sharpe mkt

Per verificare se H₀ può essere accettata o meno eseguiamo il test di Gibbons-Ross-Shanken. Con tale test verifichiamo se il portafoglio è efficiente.

GRS= (P̂²_s* - P̂²_sp) / (1+ P̂²_sp) · T-N-1/N ≈ F_N,T-N-1

Y_t = X'_tβ + u_t

H₀: assenza di autocorrelazione nel termine di errore

H₁: u_t = ρ₁ u_t-1 + ρ₂ u_t-2 + ϵ_t

ϵ_t ~ WN (0, σ²)

Si vede se vi è o meno autocorrelazione nel termine di errore, si esegue il test di Godfrey Breusch. I passi da seguire sono i seguenti:

1. Si esegue una regressione OLS del modello iniziale

Y_t = β₀ + β₁ Xt + u_t

2. salviamo i residui;
3. eseguiamo la regressione ausiliaria

Y_t = β₀ + β₁ Xt + ρ₁ u_t-1 + ρ₂ u_t-2 + ϵ_t

4. verifichiamo se ρ₂ può considerarsi diverso da zero;
5. applichiamo il test F, dove ϝ ~ F oppure 2: F _h²

oppure eseguiamo il test L_H d( R² ~ χ² - iniz.

numerosità campionaria

3. H₀: ^pP̂²_s = ^pŜ²_s* preferenza di Sharpe per un dato portafoglio selezionato = perf. di sh.

Per verificare se H₀ può essere accettata o meno eseguiamo il test di Gibbons-Ross-Shanken.

Con tale test verifichiamo se il portafoglio è efficiente.

GRS= _ŜP̂²_S* - _ŜP̂²_P /1 + _ŜP̂²_P . T-N-1/N ~ F_N,T-N-1

Esercizio 2

r_i = 0.080 + 0.801 S_i + 0.321 MB_i + 0.164 PE_i - 0.084 BETA_i

b) Eseguiamo il test t.

• t_Si = 0.801 / 0.147 = 5.45  |  5.45 > 1.96  ⇒  Rifiuto H₀, Significativo
• t_MB = 0.321 / 0.136 = 2.36  |  2.36 > 1.96  ⇒  Rifiuto H₀, Significativo
• t_PE = 0.164 / 0.420 = 0.39  |  0.39 < 1.96  ⇒  Accetto H₀, non significativo
• t_BETA = -0.084 / 0.120 = -0.71  |  -0.71 < 1.96  ⇒  Accetto H₀, non significativo

b) Beta è il Beta del titolo. L'equazione del CAPM dice che il rendimento del titolo in scarto al rendimento free risk è uguale al Beta che moltiplica l'extra rendimento di mercato, ovvero

r_i - r₀ = β_i (r_mkt - r₀) = 0.084

Generalmente il (r_mkt - r₀) è >> 0, quindi in teoria ci aspettiamo che il coefficiente che moltiplica β sia > 0. Il nostro coefficiente β non ha avuto atteso perché l'extra rendimento di mercato è relativo (o meglio, sempre > 0 e quindi è negativo). Ciò non ha senso, quindi β non è stato atteso.

c) Δr = β ⋅ Δβ

Δr = -0.084 ⋅ (1.2^{nuovo inv.} - 1) = -0.084 ⋅ 0.2 = -0.0168

Se β = 0.2, il rendimento varia di -0.0168.

d) Test White = 24.71

H0: omoschedasticità

H1: eteroschedasticità di forma ignota

Si esegue una regressione ausiliaria u_i² sulle variabili,

quadrati variabili e modelli incrociati non ridondanti:

Eseguiamo il test e la scelta è i regressori Z₀.

Calcoliamo il Test F come: q · F ~ x²_q

q = n_mod

quadrati variabili = 4

modelli incrociati non ridondanti: 3 + 2 + 1 = 6

q = 4

I_t = 24.71 ~ x²₄

Il vic che lascia il 5% a destra di uno x²₄ è a 23.68

I_t = 24.71 > 23.68 Rifiuto H0, c'è eteroschedasticità.

e) C_i = 0.0036 + 0.0017 (BEA_i; SSR = 30424.19

regressione univocata

TEST F: ^{SSR_V - SSR_NV}/_SQRNV · ^m/_{# parametri mod. non inc.} · ^{# m di mod.}/

30424.19 - 27108.82 = 200

27108.82 3

3 · 7.95 ~ x²₃ 3 · 7.95 > 7.81

Rifiuto H₀, Accetto i modelli non nucleato.

Esercizio 3

AR(1)

D_t = 0.036 + 0.7 D_t-1 + E_t

σ_E = 0.01

1. E(D_t) = ?
2. Var(D_t) = ?

E(D_t) = E(0.036 + 0.7 D_t-1 + E_t)

= 0.036 + 0.7 E(D_t-1) + E(E_t)

Essendo un AR(1), e essendo 0.7 < 1, il processo è stazionario in covarianza; per cui E(D_t) = E(D_t-1) = μ

μ = 0.036 + 0.7 μ

μ - 0.7 μ = 0.036

μ = \(\frac{0.036}{1-0.7}\)

= 0.12

Var(D_t) = Var(0.036 + 0.7 D_t-1 + E_t)

= 0.7² Var(D_t-1) + Var(E_t) + 2 ⋅ 0.7 ⋅ Cov(D_t-1, E_t)

Var(E_t) = \(σ_E²\)

Per la stessa ragione di prima Var(D_t) = Var(D_t-1) = γ₀

γ₀ = 0.7² γ₀ + σ_E²

γ₀ - 0.7² γ₀ = σ_E²

γ₀=\(\frac{\sigma__E²}{1-0.7²}\)

γ₀=\(\frac{0.01²}{1-0.7²}\)

b)

Prima di rappresentarlo graficamente, calcoliamo γ₁, γ₂ e deduciamo poi D_t.

γ₁ = Cov(D_t, D_t-1) = Cov(0.036 + 0.7 D_t-1 + E_t, D_t-1)

= 0.7 Cov(D_t-1, D_t-1) + Cov(E_t, D_t-1)

No covariance è statagu + tempetht

= 0.7 γ₀

_t = C_oV(D_t, D_t-2) = C_oV( 0.036 + 0.7 D_t-1 + _t, D_t-2)

= 0.7 C_oV( D_t-1, D_t-2) + C_oV( _t, D_t-2)

= 0.7 _t-1

_t = 0.7 0.7 ₀ = 0.7² ₀

deduciamo che _k = 0.7^k ₀ → funzione di autocorrelazione

• k
• _k = 1 ₀ = ₀
• = 1, _k = 0.7 ₀
• = 2, _k = 0.49 ₀
• P_t, lim k→∞ _k tende a 0...

3.4

-1.3

_t+1 | _t) = ( 0.036 + 0.7

= 0.036 + 0.7 (D_t | _t)+ (_t+1 | _t)

= 0.036 + 0.7 D_t

= 0.036 + 0.7 3,4 = 2.416

E(D_t+2|I_T) = E(0.36 + 0.7 D_t+1 + E_t+2 | I_T)

= 0.36 + 0.7 E(D_t+1 | I_T) + E(E_t+2 | I_T)

= 0.36 + 0.7 · 2.416 = 2.272

d) varianza dell'errore di previsione a 1 passo:

E[(D_t+1 - D_t+1|T)² | I_T] = E[(0.36 + 0.7 D_t + E_t+1 - 0.36 - 0.7 D_t)² | I_T]

= E[(E_t+1)²] = varianza di E_t+1

= σ_E² = 0.01

a 2 passi:

E[(D_t+2 - D_t+2|IT)² | I_T] = E[(0.36 + 0.7 D_t+1 + E_t+2 - 2.272)² | I_T]

= E[(0.7 (D_t+1 - D_t+1|T ) + E_t+2)² | I_T]

= E[0.7 E_t+1 + E_t+2)² | I_T]

= 0.7² E(E_t+1² | I_T) + E(E_t+2² | I_T)

= 0.9² · σ² + σ² = σ²(0.9² + 1)

= 0.01 (0.9² + 1)

Esercizio 4

Y_t = σ_t Z_t Z_t ~ i.i.d N(0,1)

E(Y_t² | I_t-1) = σ_t² = δ + α Y_t-1² + γ d_t-1 t_t-1

d_t-1=1 ⇔ Y_t-1 < 0 cattive notizie e then (buone notizie)

d) Se γ = 0, σ²_t ?

Mock Exam

Esercizio 1

2)

y_t = E_1t + t ⋅ E_2t + 0.8 E_t-1 con E_1t ~ WN(0,σ₁²)

con E_2t ~ WN(0,σ₂²)

E_1t e E_2t non incorrelati.

Per verificare la

la varianza dipende dal tempo

E(y_t) = E(E_1t + t ⋅ E_2t + 0.8 E_t-1)

=

Il valore atteso non dipende dal tempo.

Var(y_t) = Var(E_1t + t ⋅ E_2t + 0.8 E_t-1)

= Var(E_1t) + t² ⋅ Var(E_2t) + 0.8² Var(E_t-1)

= tutte le covarianze che sono nulle, poiché il testo, dice

che E_1t e E_2t sono incorrelati, essendo WN. E_1t e E_2t

non sono correlati

= σ₁² + t² ⋅ σ₂² + 0.8² ⋅ σ₁²

= σ₁²(1 + 0.8²) + t ⋅ σ₂²

La varianza dipende dal tempo, poiché abbiamo t²

Il processo non è stazionario in varianza

d_t-1 = { 1 se r_t-1 < 00 se r_t-1 > 0

E( r²_t | I_t-1 ) = σ²_t = δ + α₁ r²_t-1 + γ d_t-1 r²_t-1

Se γ = 0,σ²_t = δ + α₁ r²_t-1

Consideriamo i 3 casi: r_t-1 = -1;r_t-1 = 0r_t-1 = 1

Se r_t-1 = -1, allora σ²_t = δ + α₁ r²_t-1 = δ + α₁Se r_t-1 = 0, allora σ²_t = δSe r_t-1 = 1, allora σ²_t = δ + α₁ r²_t-1 = δ + α₁

b) Se γ ≠ 0, σ²_t ?

Se γ ≠ 0, σ²_t = δ + α₁ r²_t-1 + γ d_t-1 r²_t-1

Se r_t-1 = -1 allora σ²_t = δ + α₁ r²_t-1 + γ d_t-1 r²_t-1

Se r_t-1 = 0, allora σ²_t = δSe r_t-1 = 1, allora σ²_t = δ + α₁ r²_t-1 + γ d_t-1 r²_t-1

σ²_t = δ + α₁

Notiamo che a seconda che il sentimento era positivo o negativo σ²_t cambia

c) Se γ=0, shock positivi e negativi hanno lo stesso effetto in termini di volatilità.

Se 0<γ<0, shock negativi causano una volatilità futura più alta.

d) Se γ=0,

σ_t² = δ + α₁ z_t-1²

Varianza incondizionale = Var(r_t) = E(r_t²) - E(r_t)²

E(r_t) = E(σ_t² z_t²)

= E(σ_t²) E(z_t²)

= E(δ + α₁ z_t-1²)

= δ + α₁ E(z_t-1²)

Assumiamo che |α₁| < 1, allora E(z_t) = E(z_t-1)

E(z_t) = δ + α₁ E(z_t-1)

^→ E(z_t) = δ / 1 - α₁

Varianza incondizionale

Varianza condizionale = Var(r_t+1 | I_t-1) = E(z_t+1² | I_t-1) - E_t+1²

Supponiamo che ρ_t = 0, E(| I_t-1) = δ + α₁ z_{t2 |}

pressione volatilità ex post: E(σ_{t²+1 | It) = E(δ + α1 | It)}

= δ + α₁ E(I_t+1)

= δ + α₁ z_t²

Emissionamenti rilevante la varianza condizionale = δ + α₁ z_{t2 |}

pressione volatilità ex post in avanti: il coefficienti rilevante la varianza incondizionale, detta anche varianza di lungo periodo.