Circuiti Elettrici Lineari - Teoremi delle Reti

Teoremi delle reti lineari

I metodi introdotti finora, analisi nodale e analisi agli anelli, si basano fondamentalmente sull’applicazione delle leggi di Kirchhoff. Uno dei vantaggi in questo caso è che si possono scrivere le equazioni risolutive senza modificare lo schema del circuito; lo svantaggio è che quando vengono considerati circuiti grandi e complessi, il procedimento può richiedere uno sforzo notevole, sia dal punto di vista del numero di equazioni e, di conseguenza, anche della quantità di conti necessari per risolvere il circuito. Di fianco ai metodi sistematici esistono altri metodi che si basano su importanti teoremi delle reti, quale ad esempio il teorema di Thevenin e teorema di Norton che consentono di ridurre la complessità dei circuiti. Di fatto quello che consentono di fare è prendere una parte di una rete lineare e sostituirla con un circuito, detto equivalente, che risulta essere molto più semplice, in quanto composto da un solo resistore e un solo generatore. Questi teoremi si applicano solo a circuiti lineari.

Linearità

La linearità è una proprietà di alcuni modelli matematici che vengono utilizzati per descrivere la realtà che consentono di rappresentare i sistemi dei quali essi vanno a definire il modello equivalente, utilizzando relazioni lineari fra la causa e l’effetto. In particolare un elemento lineare (ad esempio un bipolo) presenta una relazione matematica lineare fra la causa (ad esempio la tensione applicata) e l’effetto (la corrente che scorre). Ad esempio:

• Relazione lineare: v = Gv
• Relazione non lineare: R−αv_i = i · e

La linearità è una proprietà estremamente importante data dalla contemporanea validità di due ulteriori proprietà dei sistemi lineari, l’omogeneità e l’additività. La prima afferma che quando l’ingresso (o stimolo) viene moltiplicato per un fattore costante, l’uscita (la risposta) risulta moltiplicata per lo stesso fattore. L’additività invece prevede che la risposta di un sistema lineare alla somma di diversi ingressi è pari alla somma delle risposte a ciascuno degli ingressi applicato separatamente.

Un circuito elettrico lineare è costituito soltanto da elementi lineari (ad esempio i resistori) e da generatori lineari dipendenti o indipendenti. Un circuito lineare è un circuito in cui l’uscita è in relazione lineare con l’ingresso (o ingressi). In un resistore vale la ben nota equazione lineare che lega la tensione alla corrente: v = R · i. Se la corrente i aumenta di un fattore allora la tensione aumenta dello stesso fattore. Si consideri il circuito in figura con due generatori di corrente i₁ e i₂ che vanno a stimolare il resistore R collegato in parallelo tra i due. Applicando la KCL al nodo A si ha che la corrente nel resistore è uguale alla somma delle correnti imposte dai generatori:

i = i₁ + i₂ ⇒ v = R (i₁ + i₂) = v₁ + v₂

Ne discende che la tensione ai capi del resistore è uguale alla somma delle tensioni che si avrebbero nei casi in cui i due generatori lavorassero indipendentemente l’uno dall’altro. La risposta a una somma di ingressi è pari alla somma delle risposte ad ogni ingresso considerato separatamente.

Potenza dissipata

Per quanto riguarda la potenza dissipata si ha:

p = R · i² = R (i₁ + i₂)² = R i₁² + R i₂² + 2 · R i₁ i₂ ≠ R i₁² + R i₂²

Ciò che si ottiene è che la risposta a una somma di ingressi è diversa dalla somma delle risposte ad ogni ingresso. Perciò la potenza dissipata da un resistore non è una funzione lineare della corrente o della tensione: i teoremi successivi non possono essere applicati alla potenza!

Teorema di linearità

Dalla linearità del circuito discende la possibilità di applicare il teorema di linearità. In un circuito lineare, la tensione su un elemento o la corrente che lo attraversa, denotata con y, è legata linearmente ai generatori indipendenti presenti nella rete:

y = a₁s₁ + a₂s₂ + … + a_ks_k

dove s₁, s₂, ..., s_k sono i valori dei generatori indipendenti di tensione e/o corrente della rete mentre a₁, a₂, ..., a_k sono delle opportune costanti (con opportuna grandezza dimensionale) che possono essere calcolate risolvendo il circuito.

Si consideri il circuito in figura dove all’interno del rettangolo non si hanno generatori indipendenti (i generatori dipendenti rimangono all’interno della rete) in quanto sono estratti e riportati alla sua sinistra come generatori di tensione fino a v_s,1 e/o generatori di corrente fino a i_s,1. In totale, ci sono generatori di tensione e generatori di corrente.

Supponendo di voler monitorare la tensione tra i due morsetti v e la corrente i si ha che dal teorema di linearità discende:

v = α · v_s,1 + α · v_s,2 + … + α · v_s,h + β · i_s,h+1 + … + β · i_s,k

i = γ · v_s,1 + γ · v_s,2 + … + γ · v_s,h + δ · i_s,h+1 + … + δ · i_s,k

I parametri α e β saranno adimensionali in quanto si sta esprimendo una tensione in funzione di tensioni, mentre γ e δ hanno le dimensioni di una conduttanza in quanto la corrente è espressa in funzione delle tensioni.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Dal teorema di linearità discende direttamente il principio di sovrapposizione degli effetti, il quale afferma che in un circuito lineare, la tensione su un elemento o la corrente che lo attraversa è pari alla somma delle tensioni o delle correnti dell’elemento quando ciascuno dei generatori indipendenti presenti nella rete funziona da solo (ovvero quando tutti gli altri generatori indipendenti sono spenti). In pratica si andrà ad accendere uno dei generatori indipendenti per volta, calcolare la risposta sul determinato elemento, spegnere il generatore appena considerato, accendere il successivo, ricalcolare la risposta e così via per tutti i generatori indipendenti del circuito, che siano essi di corrente o di tensione (in questo processo non sono considerati i generatori dipendenti, i quali rimangono all’interno della rete delimitata dal rettangolo in figura). Infine per ottenere l’effetto (corrente e/o tensione) complessivo basterà sommare tutte le risposte.