Circuiti Elettrici Lineari - Metodi di Analisi

Equazioni di Kirchhoff

Applicando la KCL ad ogni nodo si ottengono tre equazioni:

-i + i = 0

-i + i + i = 0

-i - I = 0

Esprimendo le correnti in funzione delle tensioni nodali, con la legge di Ohm si ottiene:

v - 0 v - v1 1 2+ = 0 ⏞ G (v - 0) + G (v - v ) = 0

R R 1a b G = a 1 b 1 2i R i

v - vv - v v - 0 G (v - v ) + G (v - 0) + G (v - v ) = 0 ⟹

2 32 1 2+ + = 0 b 2 1 c 2 d 2 3R R R

b c d G (v - v ) = I v - v d 3 2 03 2 - I = 0

Per passare alla forma matriciale si considera il vettore [v] come incognita e il vettore [i] come termine noto,

la matrice delle conduttanze avrà come elementi i rispettivi coefficienti che moltiplicano le incognite:

G + G -G 0 G v G G 0

a b b a 1 a a a -G G + G + G -G G v G G 0

G =

b b c d d a 2 a a a

G v G G I G0 -G G a 3 a a 0 ad d

[v] [i]

[G]

Da cui si ottiene il sistema:

G v - G v - ... - G v = I

1,1 1 1,2 2 1,n-1 n-1

1G v − G v − … − G v = I_2,1 1 2,2 2 2,n−1 n−1 2 ⟹ [G] ⋅ [v] = [i]⋮ ⋮G v − G v − … − G v = I_n−1,1 1 n−1,2 2 n−1,n−1 n−1 n−1dove: - 1) - 1)[G] è una matrice (n x (n detta matrice delle conduttanze;• n - 1[v] è il vettore di elementi delle tensioni di nodo (incognite);• [i] è il vettore di n - 1 elementi dato dalla somma selle correnti (imposte) dei generatori di corrente• collegati al nodo i-esimo (positive entranti).GIn particolare per la matrice [G] si ha che (elementi della diagonale principale) è la somma dellek,kk G = Gconduttanze collegate al nodo e è la somma cambiata di segno delle conduttanze collegatek,j j,kk j k ≠ j).fra il nodo e il nodo (conSe su un nodo è presente un generatore di tensione, la corrente che lo attraversa non può essereespressa in funzione delle tensioni nodali!CASO 2: generatore ditensione collegato a massa. Rispetto al caso 1 è stato aggiunto un generatore di tensione in modo che esso abbia uno dei suoi due terminali collegato al nodo di riferimento. Adesso il problema (per la corrente) è che non si riesce a passare nella riformulazione della prima equazione del sistema utilizzando la legge di Ohm, in particolare i = (v - 0) / R quello che si era fatto nel caso 1: passare da a (secondo punto della scaletta di risoluzione a 1 adell'analisi nodale). In realtà il problema si semplifica perché la tensione V non è un'incognita ed è pari a V1 - 0. Di conseguenza il sistema si modifica come: v = V1 - 0 v = V1 - 0 v - v v - 0 2 3 2 + + = 0 -i + i + i = 0 ⟹ R R R b c d b c d -i - I = 0 v - v3 - 2 - I = 0 d 0 0 R d CASO 3: generatore di tensione NON collegato a massa. In questo caso il generatore di tensione non ha uno dei suoi due terminali collegato a massa, in particolare esso

è collegato tra due nodi dei quali si devono calcolare le tensioni. Adesso il problema èsupernodoi Vrappresentato dalla corrente che attraversa il generatore di tensione. Il è un’astrazioneb 0del concetto di nodo, in particolare è quella superficie cheracchiude il generatore di tensione. Tramite questo concetto si puòimporre il bilancio di corrente al supernodo: da esso si ha lai i icorrente entrante e le correnti e uscenti. Adesso si puòa c driscrivere la KCL al supernodo: v − vv − 0 v − 0 2 31 2+ + =0{ −i +i + i = 0 R R Ra c d ⟹ a c d−i − I = 0 v − v3 2 − I = 0d 0 0R dA queste equazioni ne va aggiunta una terza e, sfruttando il fatto che il generatore di tensione impone ladifferenza di potenziale tra il nodo 1 e il nodo 2 (KVL), si può scrivere:v − v = V2 1 0 v − vv − 0 v − 0 2 31 2+ + =0R R Ra c dv − v3 2 − I = 00R d§3.3 ANALISI AGLI

ANELLI circuiti planari,

Questo tipo di analisi si applica soltanto ai cioè circuiti che possono essere disegnati suun piano senza che vi siano rami che siteorema diincrociano, se non nei nodi. IlKuratowski che fornisce le condizioninecessarie e sufficienti per le quali èpossibile dire se un grafo è planare o meno ein particolare è planare se e solo se noncontiene sottografi che siano espansioni diK o di K , ovvero i due tipi di grafi non5 3,3planari più semplici.

Nell’analisi degli anelli le incognite sono le correnti di anello. Dato un circuito con anelli il metodo siarticola in tre passi: i , i , ..., i asi assegnano le correnti di anello agli anelli;1) 1 2 a le tensioni insi applica la KVL a ciascuno degli a anelli, usando la legge di Ohm per esprimere2) termini di correnti di anello (ovvero qualcosa del tipo (i - i ) · R );1 2 12 i , i , ..., isi risolvono le equazioni così ottenute, ricavando le correnti di anello .3) 1 2 a

Sotto alcune ipotesi (non separabilità del grafo associato al circuito), si può dimostrare che, dato il numero di nodi del circuito (n) e il numero di lati (l), il numero di anelli indipendenti sarà dato da: Anelli indipendenti danno luogo ad equazioni indipendenti. CASO 1: tutti i generatori indipendenti sono generatori di tensione. Si consideri il circuito in figura, esso si compone da un generatore di tensione e di sei resistori; inoltre si hanno sette lati e cinque nodi, da i quali risultano tre anelli indipendenti. Il primo step consiste nell'individuare gli anelli e definire le correnti di anello che saranno poi le incognite. Arbitrariamente si sceglie il verso orario. Le correnti di anello sono correnti fittizie, non sono le correnti reali che andranno a scorrere nei resistori, questo è vero solo nel caso in cui uno specifico resistore è lambito da una sola corrente d'anello, come nel caso della corrente che scorre R Rin ; nel caso di ad esempio,

la corrente che vi scorre è pari alla differenza delle due correnti di anello. Se si associa una corrente ad ogni anello la corrente in ciascun ramo può essere ottenuta come somma algebrica delle correnti di anello che lambiscono quel ramo (3 anelli, 3 incognite!). Applicando la KVL ad ogni anello si ottengono tre equazioni:

-V - v + v = 0

-v - v + v = 0

v - v + v = 0

esprimendo le tensioni in funzione delle correnti d'anello, con la legge di Ohm si ottiene:

-V + R1 i1 + R2 (i1 - i2) = 0

(R1 + R2) i1 - R2 i2 = V

R2 (i1 - i2) + R3 (i2 - i3) + R1 i3 = 0

Per passare alla forma matriciale si considera il vettore [i1, i2, i3] come incognita e il vettore [V, 0, 0] come termine noto, la matrice delle resistenze avrà come elementi i rispettivi

coefficienti che moltiplicano le incognite:R + R −R 0 G V GG i Ga b b a 0 aa 1 a−R R + R + R −R G i G G 0G⋅ =b b c d c a 2 a a a0 −R R + R + R G i G G 0Gc c e f a 3 a a a[i] [v][R][v]k-esimo k-esimoL’elemento del vettore è la somma delle tensioni dei generatori di tensione dell’anello(positive se concordi con il verso di percorrenza della corrente).[i]k-esimo k-esimo.L’elemento del vettore è la corrente dell’anello[R] RIn particolare per la matrice si ha che (elementi della diagonale principale) è la somma dellek,kk-esimo R = Rresistenze del anello e è la somma cambiata di segno delle resistenze comuni frak,j j,kk-esimo j-esimo k ≠ j).l’anello e l’anello (conSe su un ramo è presente un generatore di corrente, la tensione ai suoi capi non può essere espressa infunzione delle correnti d’anello!CASO 2: generatore di corrente appartenente ad UN anello.Rispetto al caso 1

è stato aggiunto un generatore di corrente in modo che esso appartenga ad un solo vanello. Adesso il problema (per la tensione) è che non si riesce a passare nella riformulazione della prima equazione del sistema utilizzando la legge di Ohm, in particolare quello che si era fatto nel caso 1: V = R * I (secondo punto della scaletta di risoluzione dell'analisi agli anelli). In realtà il problema si semplifica perché la corrente non è un'incognita ed è pari a I. Di conseguenza il sistema si modifica come:

0 - V - v + v = 0

a b - v - v + v = 0

b c di = I

0 - V + R * i + R * (i - I) = 0

a 1 b 1 2R * (i - I) + R * (i - I) + R * i = 0

b 2 1 c 2 3 d 2i = I

CASO 3: generatore di corrente appartenente a DUE anelli.

In questo caso il generatore di corrente appartiene a due anelli, in particolare esso è condiviso tra due vanelli dei quali si devono calcolare le correnti.

Adesso il problema è rappresentato dalla tensione ai capi del resistore. La situazione in questo caso è duale rispetto al caso in cui, nell'analisi nodale, si aveva che il nuovo generatore introdotto era collegato tra due nodi (caso 3). A questo punto non si può utilizzare la seconda e la terza relazione (vedi caso 1), mentre la prima rimane valida in quanto l'anello 1 non è affetto dalle modifiche determinate dall'introduzione del generatore di corrente. Considerando il superanello i che include i due anelli della corrente i2 e i3, si può applicare la KVL: -V - v1 + v2 = 0 -v1 - v2 + v3 + v4 = 0 -V + R1*i1 + R2*(i2 - i1) + R3*(i3 - i2) = 0 A queste equazioni ne va aggiunta una terza e, sfruttando il fatto che il generatore di corrente impone la corrente sul ramo condiviso, ovvero tra l'anello 1 e l'anello 2 (KCL), si ottiene:

può scrivere: 0 -V + R i + R (i - i ) = 0