Circuiti dinamici

Proprietà della corrente continua

La corrente risulta continua nell'intervallo [a, b], sia esso aperto o chiuso. In particolare, per ogni istante si ha:

a - b = ∫_a^b i(t) dt

È sufficiente dimostrare tale proprietà per un solo bipolo dinamico, ad esempio il condensatore. La caratteristica del condensatore nell'intervallo [0, ∆t] può essere scritta come:

∆Q = ∫₀^∆t i(t) dt

Per ipotesi, la corrente nel condensatore è limitata nell'intervallo [a, b]:

∃ M ∈ ℝ : ∀ t ∈ [a, b], |i(t)| ≤ M

L'area sottesa dalla curva che rappresenta la legge oraria della corrente (ovvero la carica trasferita su una armatura del condensatore) può essere calcolata come:

condensatore) nell’intervallo∆t risulta : + ∆t t0 →∫ τ τ ≤ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ∆i ( )d M t M t 0C ∆ →t 0t 0Si avrà dunque: →+ ∆ + − →v (t t ) v (t dt ) v (t dt ) v (t ) 0C 0 C 0 C 0 C 0∆ →t 0ovvero: + → e quindi la tensione sul condensatore risultav (t dt ) v (t )C 0 C 0 t .continua in 0La proprietà di continuità non vale se la corrente è illimitata.Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di SalernoSegnali singolariCosa accade se la corrente è di tipo illimitato? i vC CvcVo Supponiamo C=1F.Alla “rampa” dellatensione nell’intervallo(0,∆) corrisponde unacorrente di tipo“impulso rettangolare”ic/∆Vo ∆:di durata l’areasottesa da tale impulsorettangolare è pari a V0.0 ∆ tCorso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di SalernoFacendo decrescere l’intervallo di

tempo in cui si sviluppa la“rampa” della tensione si ottiene una successione di “impulsirettangolari”, caratterizzati da una ampiezza crescente:

i3/∆4Vo ∆ ∆ ∆ nV 2V 4V 2 V∆ → 0 0 0 0, , ..., , , , ...,∆ ∆ ∆ ∆n2 4 2vcVo i2/∆2Vo

L’area sottesa dall’impulsorimane costante ed indipendentedalla durata; inoltre, rimanei1/∆ costante anche il valore finaleVo della tensione.

0 ∆/4 ∆/2 ∆ t

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno∞n→

In particolare, si osserva che per la tensione sulcondensatore presenta una discontinuità di prima specienell’origine: ∀ < 0 0t→ ⋅ =v ( t ) V 1( t ) 1( )tC 0 dove: ∀ >→ ∞ 1 0tnvcVo La funzione 1(t) si chiamafunzione “gradino unitario”.→∞n0 ∆/4 ∆/2 ∆ t

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno1(t+t0) ∀ <

centratanell'origine: ∀ ≠

• 0, tδ = 0
• (t), t∈ = 0, tδ (t)
• 1, tδ (t)

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È evidente che: δ = 1(t) (t) 1(t) dt 1 δ (t) ovvero: t∫ δ τ τ = ( )d 1(t) − 0t

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Si osservi che si possono definire impulsi di ordine superiore.

Si chiama impulso del primo ordine (o "doppietto") la derivata prima dell'impulso di Dirac per il quale si ha: ε+ ∫ δ δ δ τ τ δ = ⇒ =' δ (t) (t) ( )d (t)' (t) dt ε−t

In generale per l'impulso di ordine n si ha: ε+ ∫ δ δ δ τ τ δ− − = ⇒ =n 1 n n n 1(t) (t) (

impulsivo è un generatore in grado di erogare una potenza infinita: la tensione esibisce una discontinuità di prima specie in un intervallo infinitesimo.

t+ ∆ ≠ ⇒ + ∆ ≠v ( t t ) v ( t ) w ( t t ) w ( t )c c c c[ ]1+ ∆ − = + ∆ − ≠2 2w ( t t ) w ( t ) C v ( t t ) v ( t ) 0c c c c2+ ∆ −( ) ( )w t t w t= ⇒ ∞c clim( )p t ∆ t∆ ⇒ 0t

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1( t ) i1 δ (t ) vC Ct

Se in un circuito si esclude la possibilità di avere generatori di corrente (di tensione) impulsivi, ovvero in grado di fornire potenza infinita, le tensioni sui condensatori (le correnti negli induttori) risultano grandezze continue. Pertanto, tali variabili (variabili di stato) possono essere utilizzate per imporre le condizioni iniziali nella soluzione di circuiti in condizioni dinamiche.

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L'impulso di Dirac rappresenta il "modello matematico" ideale di una condizione fisica. In particolare, in un circuito reale, in cui sarà sempre presente una resistenza R, ciò che si osserva è una corrente che diminuisce di R risulta crescente in ampiezza e la cui durata è decrescente: l'area sottesa dalla curva rimane comunque costante.

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Circuiti del secondo ordine

Proponiamoci di utilizzare le proprietà di continuità delle variabili di stato per affrontare lo studio della dinamica di circuiti contenenti due bipoli a memoria "indipendenti": si esclude il caso di circuiti contenenti due o più induttori in serie o due o più condensatori in parallelo.

Consideriamo il circuito RLC serie, inizialmente a riposo, descritto, per t>0, dal seguente modello: v(t) = Ri(t) + L(di(t)/dt) + (1/C)∫i(t)dt

)C Ldv=L Ci C+ +R =i ( 0 ) 0vdt Ce (t ) vC conC + =di ( 0 ) 0i=v LL dtt>0

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La presenza di due bipoli dinamici conduce ad un sistema di due equazioni differenziali. Posto, infatti:

dv= → =& Cx v xC1 1L dt+ R ie (t ) vC diC = → =&x i x2 2 dtt>0

dv= → = &Ci C x C x2 1dt+ + = → + + =&( ) ( )v Ri v e t x Rx L x e tC L 1 2 2

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= &x C xL+ R 2 1ie (t ) + + =v &C x Rx L x e ( t )C 1 2 2

Riordinando:t>0 1=&x x1 2C 1 R 1= − − +&x x x e ( t )2 1 2L L L

si ottiene:       &x x0 1 C 0      +=1 1 e(t )      &minu