Circuiti dinamici

Analisi di circuiti in condizioni dinamiche

Nel modulo ELTI abbiamo esaminato il problema dell’analisi di circuiti

contenenti un bipolo dinamico (induttore o condensatore lineare tempo

invariante). Tali circuiti vengono detti del primo ordine in quanto contengono un

solo bipolo dinamico.

t = t t = t

0 0

i(t) i(t)

R R

S S

+ +

E E

C

v (t) L

v (t)

C L

Nel caso il circuito non contenga generatori esso viene detto “autonomo”,

altrimenti si dice “non autonomo”.

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Per tali circuiti sarà in generale necessario risolvere sistemi di equazioni

algebrico-differenziali:

• le equazioni algebriche discendono dalle LKC, LKT e dalle

caratteristiche dei bipoli statici;

• le equazioni differenziali sono invece dovute alle caratteristiche dei

bipoli dinamici.

La soluzione si ottiene ricavando una equazione differenziale di primo grado,

detta equazione risolvente, la quale può essere convenientemente espressa in

termini di una variabile di stato (corrente nell’induttore o tensione sul

condensatore).

Nelle ipotesi di linearità dei bipoli, l’equazione risolvente risulta lineare a

coefficienti costanti: la sua soluzione richiede che si conosca (problema di

Cauchy) una condizione (iniziale) sulla variabile in esame.

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Nel caso di un condensatore C inizialmente scarico.

t=0 t>0

i(t) i(t)

R S R

+

+ E E

C

v (t) C

v (t)

C C

La soluzione per t>0 si ottiene

i(t)=0

Soluzione per t<0: risolvendo il seguente sistema di

equazioni algebrico-differenziale

=

i ( t ) 0 = +

E Ri (

t ) v (

t )

= C

v ( t ) 0

C dv

= C

( )

i t C dt

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t>0 Sostituendo la caratteristica del condensatore

nella LKT si ottiene:

i(t)

R

+ dv

E = +

C

v (t) C v (t )

E RC

C C

dt

Dividendo per RC si ricava l’equazione risolvente (lineare a coefficienti costanti):

( )

dv v t

E = +

C C

RC dt RC

Affinché essa ammetta soluzione unica, occorre (problema di Cauchy) precisare

la condizione iniziale sulla variabile.

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Tale condizione iniziale può essere imposta sulla base della conoscenza della

tensione sul condensatore che si manterrà continua nell’intorno dell’istante in

cui avviene l’intervento dell’interruttore.

t>0 dv v (

t )

E = +

i(t) C C

R RC

+ RC dt RC

E C

v (t) = =

C v (

t ) v (

t ) 0

−

= = +

C C

t 0 t 0

La soluzione è somma di due termini:

= +

v ( t ) v ( t ) v ( t )

C Ct Cp

- il primo è l’integrale generale della equazione differenziale omogenea,

ottenuta, cioè, annullando il termine noto;

- il secondo è il cosiddetto integrale particolare.

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Per determinare la condizione iniziale si sfrutta la “continuità” delle variabili

di stato. Questa proprietà può essere dimostrata formalmente.

i(t) v(t)

1V v(t)

1A

0 2 3 t(s)

1 i(t)

-1A t

dv 1 τ τ

∫

= = +

C v ( t ) v ( t ) i

( )

d

i C C C 0

dt C t

0

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Proprietà di continuità delle variabili di stato

i

Se in un condensatore lineare tempo invariante la corrente rimane limitata in

c

t t

,

[ ] la tensione risulta continua nell’intervallo aperto

un intervallo chiuso a b ∈

t t t t

, ,

t

] [ ] [

. In particolare, per ogni istante si ha:

a b a b

0

− = +

v ( t ) v ( t )

C 0 C 0 v

! Se in un induttore lineare tempo invariante la tensione rimane limitata

L

t t

,

[ ] la corrente risulta continua nell’intervallo

in un intervallo chiuso a b ∈

t t t t

, ,

t

] [ ] [

aperto . In particolare, per ogni istante si ha:

a b a b

0

− = +

i ( t ) i ( t )

L 0 L 0

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E’ sufficiente dimostrare tale proprietà per un solo bipolo dinamico, ad

esempio il condensatore. ∆ ⊂

t t t t t

] , [ [ , ]

+ può

La caratteristica del condensatore nell’intervallo 0 0 a b

essere scritta come: + ∆

t t

0

1 ∫ τ τ

+ ∆ − =

v ( t t ) v ( t ) i ( )

d

i C C C

0 0

C C t 0

Per ipotesi la corrente nel condensatore è

t t

[ , ]

limitata nell’intervallo :

a b [ ]

+

∃ ∈

ℜ < ∀ ∈

∆ M : i (

t ) M t t , t

t C a b

t t t

t 0 b

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L’area sottesa dalla curva che rappresenta la legge oraria della corrente

(ovvero la carica trasferita su una armatura del condensatore) nell’intervallo

∆t risulta : + ∆

t t

0 →

∫ τ τ ≤ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ∆

i ( )

d M t M t 0

C ∆ →

t 0

t 0

Si avrà dunque: →

+ ∆ + ⇒ + − →

v (

t t ) v (

t dt ) v (

t dt ) v (

t ) 0

C 0 C 0 C 0 C 0

∆ →

t 0

ovvero: + → e quindi la tensione sul condensatore risulta

v (

t dt ) v (

t )

C 0 C 0 t .

continua in 0

La proprietà di continuità non vale se la corrente è illimitata.

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