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1(t-t0) ∀ <

 0 t t

− = 0

1

( t t ) ∀ >

0  1 t t 0

t0 t

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

n→

Nel limite per la corrente nel condensatore

rappresenta una successione di impulsi rettangolari la cui

durata tende a zero, mentre l’ampiezza tende ad infinito.

i3

/∆

4Vo ∆ n

2 V → ∞

→ 0

0 ∆

n → ∞

→ ∞

2 n

n

La successione di impulsi tende ad

una “distribuzione” detta “impulso di

V

i2 ”:

Dirac di ampiezza

/∆

2Vo 0

→∞ δ

→ ⋅

n i (

t ) V (

t )

0

C →

n

i1

/∆

Vo 0 ∆/4 ∆/2 ∆ t

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Si definisce “impulso di Dirac” o “funzione delta” di ampiezza unitaria e centrata

nell’origine: ∀ ≠

 0 0

t

δ = 

( )

t ∞ =

 0

in t

δ (t )

1 Per tale funzione si ha inoltre:

ε

+

∫ δ τ τ ε

= ∀ >

( )

d 1 0

ε

t

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E’ evidente che:

d

δ =

1

( t ) ( t ) 1

( t )

dt

1 δ (t ) ovvero:

t

∫ δ τ τ =

( )

d 1

( t )

0

t

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Si osservi che si possono definire impulsi di ordine superiore.

Si chiama impulso del primo ordine (o “doppietto”) la derivata prima

dell’impulso di Dirac per il quale si ha: ε

+

d ∫

δ δ δ τ τ δ

= ⇒ =

' '

δ ( t ) ( t ) ( )

d ( t )

' ( t ) dt ε

t

In generale per l’impulso di ordine n si ha:

ε

+

d ∫

δ δ δ τ τ δ

− −

= ⇒ =

n 1 n n n 1

( t ) ( t ) ( )

d ( t )

dt ε

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L’ampiezza dell’impulso corrisponde al valore dell’integrale (area sottesa dalla

successione di impulsi rettangolari). ∀ ≠

 0 t 0

δ − δ = 

3 . 2 ( t t ) ( t )

1 ∞ =

 in t 0

Per tale funzione si ha inoltre:

ε

+

δ

1 ( t ) ∫ δ τ τ ε

= ∀ >

( )

d 1 0

ε

− t t

t

0 1

δ

− +

1 . 8 ( t t )

0

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La funzione delta gode della cosiddetta proprietà di campionamento

dell’impulso. δ δ

− = −

f ( t ) ( t t ) f ( t ) ( t t )

0 0 0

per cui si ha:

t b

∫ δ − = ∈

f (

t ) (

t t )

dt f (

t ) se t (

t , t )

0 0 0 a b

t a

δ −

( t t )

f (t ) 0

f ( t )

0 t

t

t t

0

a b

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Il generatore impulsivo è un

generatore in grado di

1

( t ) erogare una potenza infinita:

i

1 δ la tensione esibisce una

(t ) v

C discontinuità di prima specie

C in un intervallo infinitesimo.

t

+ ∆ ≠ ⇒ + ∆ ≠

v ( t t ) v ( t ) w ( t t ) w ( t )

c c c c

[ ]

1

+ ∆ − = + ∆ − ≠

2 2

w ( t t ) w ( t ) C v ( t t ) v ( t ) 0

c c c c

2

+ ∆ −

( ) ( )

w t t w t

= → ∞

c c

lim

( )

p t ∆ t

∆ → 0

t

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1

( t ) i

1 δ (t ) v

C C

t

Se in un circuito si esclude la possibilità di avere generatori di corrente (di

tensione) impulsivi, ovvero in grado di fornire potenza infinita, le tensioni sui

condensatori (le correnti negli induttori) risultano grandezze continue.

Pertanto, tali variabili (variabili di stato) possono essere utilizzate per imporre

le condizioni iniziali nella soluzione di circuiti in condizioni dinamiche.

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ic L’impulso di Dirac rappresenta il

“modello matematico” ideale di una

R

i condizione fisica. In particolare, in un

C

+ circuito reale, in cui sarà sempre

C v presente una resistenza R, ciò che si

E C i che al

osserva è una corrente C

diminuire di R risulta crescente in

ampiezza e la cui durata è decrescente:

l’area sottesa dalla curva rimane

comunque costante.

decresc.

R t

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Circuiti del secondo ordine

Proponiamoci di utilizzare le proprietà di continuità delle variabili di stato per

affrontare lo studio della dinamica di circuiti contenenti due bipoli a memoria

“indipendenti”: si esclude il caso di circuiti contenenti due o più induttori in

serie o due o più condensatori in parallelo.

Consideriamo il circuito RLC serie, inizialmente a riposo, descritto, per t>0,

dal seguente modello: + + =

v Ri v e (t )

C L

dv

=

L C

i C

+ +

R =

i ( 0 ) 0

v

dt C

e (t ) v

C con

C + =

di ( 0 ) 0

i

=

v L

L dt

t>0

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La presenza di due bipoli dinamici conduce ad un sistema di due equazioni

differenziali. Posto, infatti: dv

= → =

& C

x v x

C

1 1

L dt

+ R i

e (t ) v

C di

C = → =

&

x i x

2 2 dt

t>0

dv

= → = &

C

i C x C x

2 1

dt

+ + = → + + =

&

( ) ( )

v Ri v e t x Rx L x e t

C L 1 2 2

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= &

x C x

L

+ R 2 1

i

e (t ) + + =

v &

C x Rx L x e ( t )

C 1 2 2

Riordinando:

t>0 1

=

&

x x

1 2

C 1 R 1

= − − +

&

x x x e ( t )

2 1 2

L L L

si ottiene:  

     

&

x x

0 1 C 0

 

     

+

=

1 1 e

(

t )

   

 

  − −

&    

 

 

x x

1 L R L 1 L

2 2

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Il sistema così ottenuto prende il nome di sistema di equazioni di stato

 

 

 

 

& x

x 0 1 C 0 ⇒ = +

 

 

 

 

= +

1 1 &

x Ax Bu

e

(

t )

 

 

 

 

− −

&  

 

 

  x

x 1 L R L 1 L

2 2

dove: x

• vettore delle variabili di stato;

A

• matrice di stato;

B

• matrice degli ingressi;

u

• vettore degli ingressi

Per ottenere la soluzione di tale sistema occorre precisare la condizione

iniziale (stato iniziale) che, nel caso del circuito in esame, può essere posta

come: 

( ) 0

+ 

= =

x 0 0 

 

 0

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La soluzione (il vettore colonna delle variabili di stato in un generico istante)

x

(0) per l’ingresso assegnato,

può essere ottenuta a partire dallo stato iniziale

attraverso una procedura iterativa numerica:

∆ −

+

x ( t t ) x ( t )

= = +

&

x Ax Bu

∆ t →

∆ = + ∆ − = ∆ + ∆

& t t t t t t t t

x x ( ) x ( ) Ax ( ) Bu ( )

+ ∆ = + ∆ + ∆

t t t t t

x ( ) ( I A ) x ( ) Bu ∆ →

+ ∆ = + ∆ +

x ( 0 ) ( I A ) x ( 0 ) Bu ( 0 )

t t t

= + ∆ →

x ( ) x ( 0 )

t t

1 

( )

+ ∆ = + ∆ + ∆ →

0

x ( ) ( I A ) x ( ) Bu ( )

t t t t t t

+ 

= =

1 1 1

x 0 0 

= + ∆ → 

 0

x ( ) x ( ) ...

t t t

2 1

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Le formulazioni e le tecniche di soluzione in termini di sistema di equazioni di

stato sono sviluppate nell’ambito del corso di Dinamica dei Sistemi. Tale

formulazione consente di affrontare anche la soluzione di sistemi tempo

varianti e non lineari.

Nell’ambito del corso di Elettrotecnica si sviluppa un metodo basato sulla

soluzione di una equazione differenziale “scalare” di secondo grado, detta

equazione risolvente. A partire dal modello già considerato:

+ + = ( )

v Ri v e t

C L

L dv

+ R i = C

i C + =

e t

( ) v ( 0 ) 0

v

C dt C

C con + =

di ( 0 ) 0

i

=

v L

t>0 L dt

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Si sostituiscono nelle LKT le caratteristiche dei bipoli dinamici: in particolare,

esprimendo la corrente in funzione della derivata della tensione sul

condensatore si ottiene: 2

dv d v

+ + =

+ + = C C

v RC LC e ( t )

v Ri v e (t ) C

C L 2

dt dt

Dividendo per LC ed ordinando si perviene alla equazione differenziale

“scalare” di secondo grado: 2

d v dv 1 1

R

+ + =

C C v e ( t )

C

2

dt L dt LC LC

L

+ R i

e t

( ) v

C E’ facile verificare che tutti i termini sono

C dimensionalmente omogenei con una

tensione diviso un tempo al quadrato.

t>0

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flaviael

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Introduzione ai circuiti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof De Magistris Massimiliano.

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