Cinematica del Punto Materiale - Prima Lezione

Prima Lezione

martedì 26 febbraio 2019    08:30

Cinematica del Punto Materiale

Voglio determinare posizione, tempo, velocità, accelerazione di un punto materiale nel piano.

Bisogna sempre definire un sistema di riferimento.

1.

(P - O) = P = xi + yj

2.

P = xi + yj    dove i, j =

3.

PRIMA LEZIONE

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Voglio determinare posizione, tempo, velocità, accelerazione di un punto materiale nel piano.

Bisogna sempre definire un sistema di riferimento

( − ) = _P = _i + _j

_P = _i + _j dove + = _u

3.

MECCANICA Pagina 1

_x

_y

F

P

r

θ

O

r_L

F = r · e^iθ

F = _r[ _x cos θ + i _y sin θ ] = _r[ cos θ + i sin θ ]

SECONDO LA FORMULA DI EULERO:

iθ

e^iθ = cos θ_L + i sin θ

NE CONSEGUE CHE:

F = _r [ _x cos θ + _y i sin θ ] = _r[ cos θ + i sin θ ] = r·e^iθ

r = √_x² + _y²

θ = arctan ( _y / _x )

QUANDO IL PUNTO SI MUOVE, DESCRIVE NEL PIANO UNA TRAIETTORIA

TRAIETTORIA: CURVA CONTINUA CHE DEFINISCE LE POSIZIONI SUCCESSIVE OCCUPATE DAL PUNTO P MENTRE SI MUOVE

QUINDI, SE X E Y EVOLVONO NEL TEMPO

{ x = x(t) y = y(t) }

OPPURE COME EVOULONO RAGGIO E ANGOLO:

{ r = r(t) θ }

MECCANICA Pagina 2

Oppure come equivolo raggio e angolo:

• r = ρ(t)
• θ = θ(t)

Ascissa curvilinea

• γ = β(t)
• s = s(t)

Oppure

• z = g(θ)
• s = s(t)

La prima riga indica la traiettoria

La seconda riga indica la legge di moto

Es.

Moto circolare uniforme

• x = R cos θ
• y = R sin θ

ω = θ̇ = cos t

θ = ωt

Quindi, sostituendo:

• x = R cos ωt
• y = R sin ωt

MECCANICA Pagina 3

Quindi ho inserito la traiettoria a seconda del tempo.

ricordo che l'equazione del cerchio è x² + y² = R²

Sapendo inoltre la legge oraria è: θ = ωt

Per trovare quindi in un istante dove si trova il punto:

{ x² + y² = R² θ = ωt }

Posso inoltre dire che:

⃗_P = ⃗_P(t) = P(δ(t))

ovvero, la posizione dipende dal tempo, esattamente dalla legge oraria nel tempo

Posso ora ragionare, data la posizione, sulla velocità del punto

Velocità:

lim Δt → 0 Δ⃗_P(t) Δt = d⃗_P(δ(t)) dδ dP² d⃗_P ds d⃗_P

ds² = lim Δs∞ ds²

d²s² = lim Δs∞

lim

dt⁰ = t

φ

P

P₀

F(t)

A

F(t₀)

φ

P₀

F(t₀)

P(

F(t)

F

P(

dφ

ds

φ

P

P₀

F(t)

l

F(t₀)

dφ

ds

dφ

ds

+

P₀)

Fi

d

d

d

dφ

dφ

ds

√

√

F(t)

ds

P(

F(t)

ds

sqrt

√

ds

d

dφ

Φ

l

dω

F

dφ

Φ

P(

ds

d

dt

ds

M

P

F

Φ

P(

P

ds

P

P₀)

Φ

P₀)

P(t)

P

P

xyz

pe

xyz

s

d

dω

ds

P

ds

ds

ds

P

P

P₀

F(t)

d

F(t)

φ

Φ

φ

dω

dφ

d

d

ds

S

S

ds

U

d

t

XYZ

(t⁰)

ds

d

ds

p

P

F(t)

XYZ

d

q

...

X

h

√

φ

P₀)

X

P

p

p

P

P₀

P

d

[

[

[d

φ

s

[

[

H

P

P₀

S

erp

^H

d

p

q

P

p

Φ

ds

P₀

xyz

ds

u

p

φ

dω

s

P

dq

P_xyz

s

ds

ds

d

√

ds

d

Φ

s

ds

ds

F

d

p

s

S

dφ

x

d

xy

d

p

T

xyz

S

gx

S

x

y

xyz

xyz

S

d

φ

xy

d

xyz

F

x

t

xy

xyz

xyz

F

p

P

QS

p

2. _r = _x + _iy, _x = ₃

3. _P = _z ^iθ => _r ^iθ = _{xiθ - i^iθ - 2iθ (θ^-1)}

_{y : y(x)}

^{_{tan dr = dt}}

MECCANICA Pagina 6

Posso adesso valutare l’accelerazione del punto

Accelerazione

d³r / dt³ = e _t versore tangente

a = d² / dt² (P) = d / dt d / dt (r) = d / dt (P_t + r)

= d / ds d/ dt ds / dt (P(s(t)))

= d² / ds² (s)

a = e _t + d / ds d / dt + e _u ^e _t n = e _t

^nd a / ^dt n = e _t ^t

d² D²(s,t)

Il cerchio osculatore coincide quindi:

1. Il punto
2. d / dt
3. d² / ds² la curvatura (derivata seconda)

d² / ds² e _t d / dt d / ds d / do

d² / dt² = d / ds

ds = d / dt

d / dt ds / dt d / dt

dA / d_t lim / ds = A^t

lim / ds _{d / ds} A lim A^t

X

d²/ dt dA / dt²

ds = ∫ d2

MECCANICA Pagina 7

dℓ = dℓ_τ ̄ + dℓ ̄

dℓ_τ = d z . ̄ ; dℓ = d g . ̄

ᾱ = s̄ ̄ + ṡ ̄

α = ²_τ / g

α = j . b̄

g = ²_τ / g

∼ È CENTRIPETA, MAI CENTRIFUGA , NON PUÒ MAI ESSERE NEGATIVA INFATTI, ESSENDO QUADRATA

MOTO RETTILINEO ⟹ ̇ ⟹ ω = 0 ⟹ α → 0

UNIFORME ⟹ ṡ cost ⟹ s̈ 0 ⟹ α = 0

j̄ = ̇ ̇ ẓ z

α = x̊ ẏ ẓ ż

MECCANICA Pagina 8