Cinematica

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Studio dei movimenti dei corpi e lo si associa attraverso grandezze quali vettori, spazio e accelerazione.

Della cinematica si occupa della dinamica del punto materiale, in qualche^{...omissis...} che hanno dimensioni, ma le masse di questi oggetti nel punto sono più che sufficienti perché sono piccole rispetto alla distanza che coprono.

VELOCITÀ

• Quanto rapidamente un punto si muove ‧ è legato alla conoscenza precisa di lunghezza e tempo

_... = Δ_... = vettore spostamento_...(t), _...(t+Δt) = vettori posizione

Il modulo e la direzione a seconda di quale sia l'intervallo di tempo sul cui B si calcolano.

lim (Δ_...) / Δt, lim _...(t+Δt) - _...(t) / Δt = d_... / dt

Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria del corpo.

ACCELERAZIONE

Rapido con cui cambia la velocità nel tempoΔ_... / Δt = media

lim (Δ_...) / Δt = d_... / dt = d_... / dt²

MOTO RETTILINEO UNIFORME

_... = costante

_v = media = intensitàΔ_... / Δt = _... = istantaneo_v = _... - _... / t_... t_... = formula del moto

EQUAZIONI DETERMINISTICHE

Date B e comandi miei si andrà a calcolare quali finali

p_t(t) = _... = 0, p_...(t) = s_... - v_...

Eucl norm _... del moto (modo astratto)

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

è lo studio del movimento dei corpi, e lo si associa attraverso grandezze quali velocità, spazio e accelerazione.

Della cinematica si occupa della dinamica del punto materiale, in qualcosa che ha due dimensioni, ma le masse di questi oggetti, ma pensi che sul corpo solo le 3 dimensioni sono piccole rispetto alla distanza che compagna.

VELOCITÀ

è quanto rapidamente un punto si muove, e legato alla grandendenza rispetto a lunghezza e tempo

Δs = è vettore spostamento

_s(t), _s(t + Δt) = è vettori posizione

v_m = Δ_s/Δt

La velocità media è diversa in modulo e direzione a le distanza di tempo su cui questa si calcola.

v_ist = lim_{Δt →0} Δ_s/Δt = lim_{Δt →0 s}(t + Δt) - _s(t)/Δt = d_s/dt

La velocità istantanea di un punto è quel vettore che si ottiene derivando il vettore poszione di quel punto = il vettore velocità istantanea = tangente alla traiettoria.

ACCELERAZIONE

è Rapido come un cambia la velocità nel tempo.

ā = Δ_v/Δt MEDIA

ā_ist = lim_Δt→0 Δ_v/Δt = dv/dt = d_²s/dt²

Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria del corpo.

MOTO RETTILINEO UNIFORME

V = costante

v = v_media = v_istantanea = Δ_s/Δt = _sf - _si/(t_f - t_i) = _sf - _si

FORNULA DEL MOTO

EQUAZIONI DETERMINISTICHE

Dato o comandi numerici si andano a calcrese guallo finali

_s(t=0) = _s(t₀) = s₀ + v_it

Equisome assi del msio. (modo estratto)

L'area racchiusa dalla curva velocità è uguale allo spazio finale meno lo spazio iniziale

_f − _i = ∫_i^f dt

Moto uniformemente accelerato

̅ = costante → accelerazione media = accelerazione istantanea

1° Metodo

̅ = Δ/Δ = _f − _i/_f − _i → _f − _i = (_f − _i)

→ Se _i = 0 → (t) = _i +

S_f − S_i = Area + Area = 1/2 (_f − _i)(_f − V_i) + (_f − )_i =

→ Dato _i (_f − _i) + 1/2 a (_f − _i)² → si pone che (_f² − _i²) = 2 ( = )

→ quindi, Se = 0 → s(t) = S₀ + + 1/2 ²

2° Metodo

̅ = / → ∫ = ∫ dt → − = ∫ dt

V_f − V_i = 2 ( − )^→

→ Se ti = 0 → ∫ () = + ( = )

=D S = S_i + Vi (t₂ - t₁) + a∫_t1^t2∫_t1^t2 dt dt =

=D S = S_i + Vi (t₂ - t₁) + a [^{(t₂ + t₁)t₂}/2 t₁ - t₁ (t₂ - t₁)] =

=D S_f = S_i + Vi (t₂ - t₁) + a [^{(t₂ - t₁)2}/2] oppure L_p = Vi • (t₂ - t₁) t₂^1

Vi L p dt = ∫_t1^t2∫_t1^t2 dt dt

costante

=D S_f se t_i = 0 =D S_f(t) è S_i + V₀ t + ^1/2 a t² =D 1^° EQUAZIONE

TEORIE GENERALI

1. S_f = S_i + V_i (t₂ - t₁) + a ^{(t₂ - t₁)2}/2

t₂ - t₁ = ^{Vf - Vi}/a

2. V_f = Vi + a(t_f - t_i)

EQUAZIONE VETTORIALE

=D S_f = S_i + V_i(^{V_f - V_i}/a) + a/2( ^{V_f - V_i}/a)²

=D S_f = S_i + ^{ViV_f - V_i2}/a + a/2( ^{V_f2 - 2ViV_f + V_i2}/a²) =D

=D S_f = S_i + 2ViV_f = ^{2V_i2 + 2ViV_f - Vi2 + V_i2}/2a

DACCI

=D V_f² - V_i² = 2a (S_f - S_i)

3. V_f² = V_i² + 2a (S_f - S_i)

EQUAZIONE SCALARE

L_o si tratta di prodotto scalare in quanto mancano essendo essendo essi somma tra

vettori e numeri

Vf_x = (Vi)_x + a_x + S_x (t₂ - t₁)

Vf_y = (Vi)_y + a_y + V_y (t₂ - t₁)

Vf_z = (Vi)_z + a_z +² S_z (t₂ - t₁)

Problemi Misti del Proiettile

Gravità

Esempio di Gittata

s = s₀ + V₀t + ¹/₂gt² → s₀ = 0

V_0x = V₀cosα

V_0y = V₀senα

x = s_x + V₀cosα t + 0

y = s_y + V₀senα t - ¹/₂gt²

Equazioni Orarie del Moto

t = ^x/_V0cosα

y = V₀senα · ^x/_V0cosα - ¹/₂g ^x2/_V0²cos²α

Gittata

x = ^{2V₀senαcosα}/_g

La gittata è massima quando α = 45°

Esempio di gittata

x(t)=Vot

y(t)=R1 - ₁/²gt²

s(t)=S_o + Vot + ₁/²gt²

Per sapere il quanto tempo impiega per raggiungere (il suolo di impatto gli)_t = 0

R₁ - ₁/²gt² = 0

t_x = √^2R/_g -- D(ul tempo che il corpo impiega per raggiungere il suolo non dipende da Vo

x_c = Vo √^2R/_g -- D(dove cade n dipende da Vo

Esercizio

R₁ = 400m

Vo = 50 m/s

2_x= 200m

V_ox = Vo cos α = 50m

= cos30 = 50m√³/₅ = 25(√³/₂ = 43,3 m/s

V_oy = Vosenα = 50m/s sen30 = 25m/s

R₁ = y - V_osent - ¹/₂gt² =0

-400m = 25m/₅t - ¹/₂9.8t²

25m/_st - ^9.8/₂t² - 400m = 0

t = -_{25 + √625 + 1960}/^{2 4.9}

t1 = -_{25 + 84.65}/^9.8 = 6.83 s

t2 = (Ino Accettabile Risultato Negativo

Moto Circolare

s = vettore posizione che dipende dal tempo

s(t) = s_xi + s_yj = Rcosαi + Rsenαj

|s| = R = costante

Moto Bidimensionale

→ Non c’è terza componente

α = α(t) → per esplicitare la dipendenza dal tempo dobbiamo specificare come α dipende dal tempo

Moto Circolare Uniforme

ω = dα/dt → Velocità angolare → costante = (quanto si sposta un corpo nell'unità di tempo)

• direzione ω = ⊥ o (perpendicolare al piano)
• verso ω → deve vedere ruotare il corpo in senso anti-orario

→ Moto del corpo rigidi

∫dα = ∫_αi^α_fωdt → dα/dt = ω → α_f - α_i = ω(t_f - t)

Dipendenza di α da t

→ α(t) = α_i + ω(t - t_i) → per un tempo t qualsiasi

Se α_i = 0 e t_i = 0, poniamo il caso in cui

s(t) = Rcos(ωt)i + Rsen(ωt)j → Si esprime così la dipendenza di s da t

v(t) = ds/dt = - Rsen(ωt)i + Rcos(ωt)j =

a(t) = _dv/^dt = Rw²cos(wt)i + R^.sin(wt)j = -w²si

Vettore

Verifica della tangente della velocità alla traiettoria

ś . ś = 0

ś . Ṫ = SxVx + SyVy

= Re^os(wt (-R^usen(wt)j + Re^senu(Re^os(wt)l

= -Re^sen(wt) ^os(wt) + R²ω^sen(wt) ^os(wt) = 0

Il vettore accelerazione

• stessa direzione di ś ma
• con sena opposta (quindi le veloca opposti)

Sempre diretto verso ie contro idolo accollerenza ^O casitnenla

Vlocleà: Veloctà scomposto con vestori

1. ś_o = R
2. V = √_Vx + VyV
3. ś₁ = √_{o^2senωt + Vy^senv^te} = 0²

ω = v/R = ω = R/₂/^R2 = √²/R

Anvalvelina

μ => vesore radiale

τ => vesore tangenteale

Spostaento Parallel no annverso

μ = |μ| ^cosꝩ  + |μ| ^sena

μ = ^cosx  + ^sena

τ = - ^senx  +^cosa Â

ẋ = ṡnα ı̂ + cøṡα ĵ = ω [ ṡnωt ı̂ + cøṡωt ĵ ]

ỹ = cøṡdα ı̂ - ṡndα ĵ

Definizioni di ḡpazio, vɛlocità, accellerazione

|sᵢ| = |R| Ẍ̂ => ıl modło è lo stesso di R, direzione di Ẍ̂

se dsᵢ/dt = Rṡnẍ̂ + RuẈ̂ => ıl modulo è Ru, direzione ĵ

cosante = moto circolare uniforme

dž/dt = |Rṡnẍ̂| => ıl modło è Rų², direzione m̂

Casɔ gɛnerale ĵ = Rṡnẍ̂ + RuẈ̂ + Rṡnẍ̂ |Rṡnẍ̂| + Pub

⇒ at = |RuẈ̂|

1 Acc centripeta => RCnẌ̂

2 Acc tangenziale => |Res ĵ| = |dθ/dt|

3 Acc ancolare => d|R|/dt

Pɛriodo del суще

Dɔρɔ un qɛrto pɛriodo dyʀna partichəłła tomɔ alıł posizioʀe iniziale

Ris = da -> dθ = 3ŋ0

ї = Ingressa נ Hertz

TRASFORMAZIONI GALILEIANE

Ci si pone il problema che se un osservatore fermo osserva le stesse cose di un osservatore in moto questi due soggetti sperimentano somme di stress.

Siamo stati nell'asetto della trasformazione di un sistema di riferimento ad un altro attraverso della formula.

D nel moto rettilineo uniforme

₁₎ r_E = posizione del pacchetto rispetto ad Eramo₂₎ r_B = posizione del pacchetto rispetto a Bruno₃₎ r₀ = misura della posizione di Eramo rispetto a Bruno

v₀ = ossaratore -> v_o = velocità di Eramo

{

r_B = r₀ + r_Er₀ = v₀t= { r_B = r₀ − r₀t

{ x(t) = (v₀)t + x'y(t) = (v₀)t + y'z(t) = (v₀)t + z'

{

v_B di Brunov_E di Eramo del pacchettov₀ di Bruno ed Eramo

U₀ solo pervelocità piccole distinta da quelladella luce

d²r_B²/dt² + dv'/dt = 0 = a_E = acc = a_E + a_Bperchè Eramo si muove di moto rettilineo uniforme.

L'accelerazione è un invariabilesotto trasformazione Galileiane perchè non urala

ESERCIZI

N° 1

α = ωE → t = α/ω

t = α/ωORE = α+2π/ωMIN

ω = 2π/T

ωORE = 2π/3600s rad/s

ωMIN = 2π/3600s rad/s

ωMIN = ωORE + 2π/ωORE

α = ω - ωORE/2π/ωORE

α = 2π/ωMIN - 2π/ωORE = 2π/12 - 2π/3600

= 0,521°

N° 2

ASCISSA CURVILINEA

Se su una traiettoria qualsiasi fissiamo un punto che è l'origine del moto del corpo seguiamo il percorso della particella.

Definizione

Ad ogni punto P sulla traiettoria possiamo far corrispondere un numero reale si detta ascissa curvilinea che definisce nello unità di misura scelta la lunghezza dell'arco di curva (traiettoria) AP.

Rettifica (la curva diventa retta).

|| = |Δ&Vec;s||Δ&Vec;P| = Δs

&lim;_Δs->0 ^Δs->0 - &lim;^Δs->0 = ^&lim;_Δs->0 = ê&lim;^Δs->0 = ê = ê= ê

Si dimostra che:

= ## VALIDA PER OGNI ISTANTE ##

&Vec;V = s_-1 ê_t

=> |&Vec;V| = s sub 1=> &Vec;V è sempre tangente alla traiettoria

d

v

=

ds

s

dt

d

(s

)

=

dt

d

s

s

t

t

dt

d

s

(s

s

s

)

d

t

dt

-

-

w

u

d

=

ui

d

t

=

dt

d

(ds

s

dt

ds

dt

d

v

s

-w

u

c

s

c

d

d

ds

s

d

t

w

dx

ds

d

d

t

ds

d

s

dx

w

w

ds

-

d

=

p

s

=

d

R

s

R

R

s

d

R

R

ds

d

ds

R

s

p

da

ds

R

s

=

d

1

d

=

w

w

1

1

s

R

d

1

1

s

-

.

w 1 l s.

s

d

R

dt

R

R

=

s

d

formula generale, valida per ogni moto

s

s

s

disegnare una circonferenza

luogo a cui e' pot

traccia l'asse di re rr

R =

cerchio osculatore

cerchio che meglio approssima

SISTEMI DI RIFERIMENTO IN MOTO RELATIVO

Sia S ≡ (O x̂, ŷ, ẑ) un sistema di riferimento fisso e S' ≡ (Ω x̂', ŷ', ẑ') un sistema che ruota e trasla rispetto ad S col vincolo che le rotazioni avvengano nel piano xy cioè il vettore velocità angolare Ω è sempre diretto lungo ẑ con verso uscente dal foglio perché la rotazione avviene in senso antiorario. Supponiamo che ad un certo istante il punto di cui vogliamo studiare il moto si trovi in P, dalla Figura risulta:

v̲ = OṠ̲ + r̲' (1)

dove r̲ = x x̂ + y ŷ ; r̲' = x' x̂' + y' β̂'

Derivando la (1) si ottiene la velocità:

v̲ = dṠ̲/dt = d(OṠ̲)/dt + d(r̲')/dt = v̲₂ + d(r̲')/dt

ma dṠ̲/dt = (dx/dt x̂ + dy/dt β̂) + (x' d(x̂')/dt + y' d(β̂')/dt) (2)