Cinematica del continuo: appunti lezioni approfonditi

TENSORE GRADIENTE DI SPOSTAMENTO

Si consideri un solido nelle due configurazioni iniziali e attuale. Le funzioni spostamento devono soddisfare i vincoli del sistema

l’equilibrio,

permettendo così di mantenere anche se la

configurazione cambia il solido sempre vincolato rimane.

Considerando un punto e il suo intorno sferico di raggio

| | pari a : entro l’intorno di coordinate

Scegliendo un punto

| |:

individuate da

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TENSORE GRADIENTE DI SPOSTAMENTO

Quando cambiamo la configurazione che accade? Che il punto varierà la sua posizione, avremo i passaggio di in , e di in

∗ ∗

∗

All’interno dell’intorno | | | |

varierà anche la distanza tra i due punti da in . Possiamo individuare o spostamento del punto

nell’intorno

a partire dalla conoscenza di .

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TENSORE GRADIENTE DI SPOSTAMENTO

Considerando ora la prima componente e ricordando lo sviluppo in serie di Taylor:

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TENSORE GRADIENTE DI SPOSTAMENTO

J è il Tensore gradiente di spostamento. È una matrice 3x3 con funzioni al suo interno

continue. Dunque i vettore spostamento di Q sarà dato dalle coordinate del punto P

nell’intorno p più le coordinate di trasformazioni.

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SCOMPOSIZIONE DI J

Piccole manipolazioni alla definizione di J,, permettono di scriverla come somma di due tensori: Tensore di Rotazione e Tensore

della deformazione Pure. Dove il primo è un tensore antisimmetrico, il secondo simmetrico.

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MATRICE DI ROTAZIONE E TENSORE DI DEFORMAZIONE PURA

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TENSORE DI ROTAZIONE INFINITESIMA

e

Consideriamo i punti . Il segmento è una fibretta di materiale di lunghezza dx. Il passaggio dal punto

∗ ∗

in

,

è una traslazione del punto stesso. Per quanto riguarda invece è una traslazione ma anche una rotazione.

∗

1.

è la traslazione rigida di

2. È la rotazione rigida senza alcun contributo di lunghezza

l’allungamento

3. È o accorciamento con spostamento.

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TENSORE DI ROTAZIONE INFINITESIMA

Considerando un piano con un punto P e Q generico, se la fibretta PQ deve ruotare, la rotazione sarà descritta dal vettore

rotazione omega attorno al punto P

Prodotto vettoriale che descrive lo spostamento infinitesimo per effetto della rotazione, per azione di una matrice

antisimmetrica per il segmento PQ pari a dx. Da cui:

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TENSORE DI DEFORMAZIONE INFINITESIMA

,

Consideriamo una terna di riferimento in origine individuando poi il punto , si individua la fibretta che sarà lunga 1

,

Consideriamo una terna di riferimento in origine individuando poi il punto , si individua la fibretta che sarà lunga .

1

l’asse

Vogliamo vedere cosa accade alla fibretta lungo per azione del solo tensore delle deformazioni pure. Si avrà una componente

1

l’asse , , .

spostamento lungo 1 2 3

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TENSORE DI DEFORMAZIONE INFINITESIMA

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TENSORE DI DEFORMAZIONE INFINITESIMA

Da cui adesso la fibra sarà Ma effettivamente quanto sarà lunga? Le componenti saranno queste qui sotto la cui lunghezza

∗

sarà pari al modulo del vettore.

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TENSORE DI DEFORMAZIONE INFINITESIMA

l’allungamento

Volendo ora considerare della fibra, e individuando la deformazione della fibra:

E individuando la deformazione della fibra. Si osserva che il primo termine così come tutti i termini in diagonale saranno

deformazioni pure.

Volendo ora individuare i termini fuori diagonale che cosa mi rappresentano, prendiamo due fibrette di materiale, una lungo asse

e una lu .

1 2

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TENSORE DI DEFORMAZIONE INFINITESIMA

,

Considerando ora la fibretta PR in un piano . Gli spostamenti rimarranno identici. Prima le due fibre formavano un angolo di

1 2

all’azione l’angolo

90 gradi in seguito degli spostamenti, formato tra le fibre varierà. Si individua dunque la differenza tra angolo

prima e dopo tra le fibre stesse:

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