Cinematica

La cinematica

La cinematica è la parte della meccanica che descrive il moto di un corpo indipendentemente dalle cause che lo determinano e, quali vengono invece studiate dalla dinamica.

Il moto di un punto materiale è determinato se è nota la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento.

La traiettoria è il luogo dei punti occupati successivamente dai punti in movimento e costituisce una curva continua nello spazio.

Lo studio delle variazioni di posizione lungo la traiettoria nel tempo porterà a definire il concetto di velocità, mentre lo studio delle variazioni della velocità con il tempo introdurrà il concetto di accelerazione.

Le grandezze fondamentali in cinematica sono pertanto:

• Lo spazio
• La velocità
• L'accelerazione
• Il tempo

Quando velocità e accelerazione sono nulle e le coordinate restano costanti si parla di quiete.

La cinematica

La cinematica è la parte della meccanica che descrive il moto di un corpo indipendentemente dalle cause che lo determinano, le quali vengono invece studiate dalla dinamica.

Il moto di un punto materiale è determinato se è nota la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento.

La traiettoria è il luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento e costituisce una curva continua nello spazio.

Lo studio delle variazioni di posizione lungo la traiettoria nel tempo porterà a definire il concetto di velocità, mentre lo studio delle variazioni della velocità con il tempo introduce il concetto di accelerazione.

Le grandezze fondamentali in cinematica sono pertanto:

• Lo spazio
• La velocità
• L'accelerazione
• Il tempo

Quando velocità e accelerazione sono nulle e presso le coordinate restano costanti si parla di quiete.

Il moto rettilineo

È un moto che si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati arbitrariamente un'origine e un verso.

Il moto del punto è descrivibile tramite una sola coordinata x(t).

Sperimentalmente x(t) può essere determinata ponendo lungo la retta delle squadre o dispositivi a cellula fotoelettrica collegati ad un cronometro.

Costruiamo il diagramma orario ponendo sull'asse delle ordinate i valori di x e, sull'asse delle ascisse i corrispondenti valori del tempo.

La velocità nel moto rettilineo

La velocità nel moto rettilineo può essere di due tipi:

• La velocità media → Fornisce un'informazione complessiva
• La velocità istantanea Rappresenta la rapidità di variazione temporale della posizione nell'istante t considerato.

Se la velocità è costante si parla di moto rettilineo uniforme.

Risulta pertanto Δx = v(t)dt_t Δx = ∫^x v(t)dt.

Moto rettilineo uniforme

Legge oraria

x(t) = x₀ + ∫_t₀^t v(t) dt

x(t) = x₀ + v ∫_t₀^t dt = x₀ + v(t-t₀)

x(t) = v₀ + v·t per t₀ = 0

a = 0 → v = k

a > 0 → v cresce

a_m = Δv / Δt

Accelerazione istantanea

a = dv/dt = d²x/dt²

La velocità

v(t) = v₀ + ∫_t₀^t a(t) dt

Nota bene: nota a(x), se ad un certo istante t un punto occupa una determinata posizione x, con un valore di velocità v si può scrivere:

v(t) = v[x(t)]

a(t) = a[x(t)]

→ a = dv/dt = d/dt v[x(t)] = dv/dx · dx/dt = v dv/dx

a dx = v dv

∫_x₀^x a(x) dx = ∫_v₀^v v dv

∫_x₀^x a(x) dx = 1/2 v² - 1/2 v₀²

Velocità iniziale.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Si ha un MRUA quando l'accelerazione è costante.

Velocità

v(t) = v₀ + a(t - t₀)

v(t) = v₀t + at per t₀ = 0

Legge oraria

x(t) = x₀ + v₀ (t - t₀) + ¹/₂ a (t - t₀)²

x(t) = x₀ + v₀t + ¹/₂ at² per t₀ = 0

Moto verticale

Se trascuriamo l'attrito con l'aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove verso il basso con una accelerazione costante:

g = 9,8 m/s²

Prendiamo x₀ = h, v₀ = 0, t = t₀ = 0.

Avremo così:

Velocità v(t) = -gt, v(x) = √2g(h-x)

Legge oraria x(t) = h - ¹/₂ gt²

Tempo t(x) = √^2(h-x)/_g

Tempo di caduta t_c = ^h/_g

Velocità di caduta v_c = √2gh

Corpo lanciato verso il basso

x₀ = h - V₀ = -V₁

Velocità: V(t) = -(V₁ - gt)

Legge oraria: V(x) = √(V₁² + 2g (h-x))

Legge oraria: x(t) = h - V₁t - 1/2 gt²

Tempo: t(x) = -^V₁/_g + √(^V₁2/_g² + ^2(h-x)/_g)

Tempo di caduta: t_c = -^V₁/_g + √(^V₁2/_g² + ^2h/_g)

Velocità di caduta: V_c = √V₁² + 2gh

Corpo lanciato verso l'alto

Lanciato verso l'alto con velocità V₂, x₀ = 0.

V₀ = V₂ > 0 per t = 0.

Velocità di salita: V = V₂ - gt

Legge oraria di salita: x = V₂t - 1/2 gt²

Tempo in cui si ferma: t_M = ^V₂/_g

Posizione in cui si ferma: x_M = x(t_H) = ^V₂2/_2g per t = t_H

Tempo di caduta: t_c = √(^2x_H/_g)

Tempo: t(x) = ^V₂/_g + √(^V₂2/_g² + ^2x/_g) = t_H ± √(^{t_H2 - 2x}/_g)

Velocità V(x) = ±√(V₂²-2gx)

△ Note: x = 0 è occupato ambedue con t = 0, V = V₂, e altra volta con t = 2t_H, V = -V₂.

Moto armonico semplice

Il moto armonico semplice lungo una direzione è un moto vario.

È un moto periodico, il punto descrive oscillazioni di ampiezza A rispetto al centro O, tutte uguali tra loro e caratterizzate dalla durata detta periodo (T).

Per determinare il periodo consideriamo due tempi: t e t' con t'-t=T, per definizione x(t)=x(t')⟹ Avendo la fase, nei due istanti differisce di 2π (avendo un periodo della funzione sinusoidale) dobbiamo ωt+φ=ωt'+φ+2π.

Periodo T = _2π/^ω

Pulsazione ω = _2π/^T

Il moto si ripete velocemente (T piccolo) quando la pulsazione è grande, mentre il moto è lento per bassi valori della pulsazione.

Si dice frequenza il numero di oscillazioni in un secondo.

Frequenza ν = ₁/^T = _ω/^2π

Δ Nota bene: il periodo e quindi la frequenza di un moto armonico semplice sono indipendenti dall'ampiezza del moto.

La velocità del punto che si muove di moto armonico semplice si ottiene derivando la x(t).

Velocità v(t) = _dx/^dt = -ωA cos(ωt+φ)

Accelerazione a(t) = _d²x/^dt2 = -ω²A sen(ωt+φ) = -ω²x

La velocità assume valore massimo nel centro di oscillazione, ovvero vale V_m=ωA, e si annulla agli estremi (x±A) dove si inverte il senso del moto.

L'accelerazione si annulla nel centro di oscillazione e assume valore massimo a_m=ω²A agli estremi; inoltre essa è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento dal centro di oscillazione.

Nota bene: La velocità è sfasata di π/2 rispetto allo spostamento (ovvero è in quadratura di fase), mentre l'accelerazione è sfasata di π, sempre rispetto allo spostamento (ovvero è in opposizione di fase).

Equazione differenziale del moto armonico

d²x/dt² + ω²x = 0

Moto rettilineo smorzato esponenzialmente

Consideriamo un motorino con accelerazione.

Accelerazione

a = -k v e sempre contraria alla velocità

→ ^du/_dt = -k v

∫ ^du/_v = -k ∫ ^dt

ln (v/v₀) = -kt

Velocità nel punto t = 0.

Velocità

v(t) = v₀ e^-kt → decresce esponenzialmente nel tempo e quindi il moto alla fine si ferma.

v(x) = v₀ - kx

Si ottiene facendo:

a = ^dv/_dt = ^dv/_dx v = ^dv/_dx → du = -k ^dx

∫ ^dv = -k ∫ ^dx

L'andamento della velocità con la posizione è lineare decrescente.

Legge oraria

x(t) = x₀ + ∫ ^t_t0 v(t) ∫dt = ∫ ^t_t0 v₀ e^-kt dt = - ^v₀/_k [e^-kt]_t0 == ^v₀/_k (1 - e^-kt)

Δ Nota bene: posto Τ = ¹/_k in un intervallo pari a Τ il moto decade col suo valore e ₁/².

Moto nel piano

Nel caso in cui il moto ha un'uscita a sapere, in un piano la traiettoria del punto è in generale una linea curva.

Nota bene: accordo prezioso in quale direzione sta avvenendo il moto e con quale verso. Preferiamo i vettori.

Piano cartesiano x(t), y(t)

Campo piano O (0,0)

x = r cos, y = r sin_yyyy 𝜆_oooo

D'astro vettore r(t) = x(t) âx + y(t) ây

Assi cartesiani vettori oltre.

La posizione del punto lungo la traiettoria può anche essere data da una coordinata ausiliaria s, la quale esprime la lunghezza della traiettoria e varia nel tempo. La variabile temporale della posizione di uno spostamento si attua attraverso la velocità istantanea ed è pari a:

Velocità vettoriale

La velocità vettoriale è la derivata del raggio vettore rispetto al tempo.

Risulta inoltre: V = ds /dtâ_s + v â_theta

Verso della tangente curva.

Componenti cartesiane della velocità

\[\vec{v} = \frac{dx}{dt} \vec{i}_x + \frac{dy}{dt} \vec{j}_y\, k v_x \vec{i}_x + v_y \vec{j}_y\]

La velocità del punto che si muove lungo la traiettoria, ha come componenti cartesiane le velocità: \(v_x\) e \(v_y\) dei due moti rettilinei descritti dai punti proiezione di \(P\) sugli assi cartesiani.

Componenti polari della velocità

\(\vec{u}_r\) è il versore della direzione di \(\vec{r}\) e \(\vec{u}_\theta\) versore corrispondente alla direzione.

La velocità è sempre \(tg\) alla traiettoria e si scompone in:

• Velocità radiale \(\dot{r} = \frac{dr}{dt}\)
• Velocità trasversale \(r \dot{\theta} e\) corrisponde a \(\vec{r}\)
• \(\Delta v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\)

\(r(t) = r(t_0) + \int_{t_0}^{t} V(t') dt'\)

L'accelerazione

Anche nel moto piano l'accelerazione si definisce come derivata della velocità rispetto al tempo.

\(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{r}^2}{dt^2}\)

\(\vec{a} = \frac{d}{dt}\left(v\vec{u}_r\right) = \dot{v} \vec{u}_r + v \frac{d\vec{u}_r}{dt} = \dot{v} \vec{u}_r + v \frac{d\vec{u}_r}{dt}\)

Accelerazione normale si chiama accelerazione centripeta \(\vec{a}_r\).

\(\dot{v}_r = \dot{v}_r \vec{a}_N\) con \(\dot{v}_N \vec{u}_N\)

Accelerazione tangenziale.

Moto circolare

Si definisce moto circolare un moto piano la cui traiettoria è rappresentata da una circonferenza.

Poiché la velocità varia continuamente in direzione l'accelerazione centripeta è sempre diversa da zero.

In questo riferimento la velocità è costante in modulo e l'accelerazione tangente è nulla ⇒ è presente solo l'accelerazione centripeta.

Se invece il modulo della velocità varia nel tempo ⇒ a_τ ≠ 0.

Velocità angolare

ω = dθ/dt = 1/R ds/dt = v/R

Leggi orarie del MCU

S(t) = S₀ + vt

Θ(t) = Θ₀ + ωt

Accelerazione del MCU

a = a_N = v²/R = ω²r

Assi superfissi

Assi superfissi (sono parametriche).

x = R·cosΘ = R·cos(ωt + Θ₀)

y = R·sinΘ = R·sin(ωt + Θ₀)

Accelerazione angolare

α = dω/dt = d²θ/dt² = 1/R dv/dt = a_τ/R