Cinematica

La cinematica

La cinematica è la parte della meccanica che descrive il moto di un corpo indipendentemente dalle cause che lo determinano e, quali vengono invece studiate dalla dinamica.

Il moto di un punto materiale è determinato se è noto la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento.

La traiettoria è il luogo dei punti occupati successivamente dai punto in movimento e costituisce una curva continua nello spazio.

Lo studio delle variazioni di posizione lungo la traiettoria nel tempo porterà a definire il concetto di velocità, mentre lo studio delle variazioni della velocità con il tempo introdurrà il concetto di accelerazione.

Le grandezze fondamentali in cinematica sono pertanto:

• lo spazio
• la velocità
• l'accelerazione
• il tempo

Quando velocità e accelerazione sono nulle e rispetto coordinate restano costanti si parla di quiete.

la cinematica

La cinematica è la parte della meccanica che descrive il moto di un corpo indipendentemente dalle cause che lo determinano, le quali vengono invece studiate dalla dinamica.

Il moto di un p.to materiale è determinato se è noto la sua posizione in f.n. del tempo in un determinato sistema di riferimento.

La traiettoria è il luogo dei p.ti occupati successivamente dal p.to in movimento e costituisce una curva continua nello spazio.

Lo studio delle variazioni di posizione lungo la traiettoria nel tempo porterà a definire il concetto di velocità, mentre lo studio delle variazioni della velocità con il tempo introduce il concetto di accelerazione.

Le grandezze fondamentali in cinematica sono pertanto:

• lo spazio
• la velocità
• l'accelerazione
• il tempo

Quando velocità e accelerazione sono nulle e presso le coordinate restano costanti si parla di quiete.

IL MOTO RETTILINEO

È un moto che si svolge lungo una retta sulla qualevengono fissati arbitrariamente un'origine e un verso.Il moto del f.t.o è descrivibile tramite una solacoordinata x(t).

Sperimentalmente x(t) può essere determinata ponendolungo la retta delle squadre o dispositivi a cellulafotoelettrica collegati ad un cronometro.

Costruiamo il DIAGRAMMA ORARIO ponendo sull'assedelle ordinate i valori di x e, sull'asse delle ascissei corrispondenti valori del tempo.

La VELOCITÀ nel moto rettilineo può essere di due tipi:

• la VELOCITÀ MEDIA → Fornisce un'infor-mazione di complessiva
• la VELOCITÀ ISTANTANEA Rappresenta la rapidità divariazione temporale dellaposizione nell'istante tconsiderato.

Se la velocità è costante si parla di MOTO RETTILINEO UNIFORME

Risulta pertanto Δx = v(t)dt _t Δx = ∫^x v(t)dt

Moto Rettilineo Uniforme

Legge Oraria

x(t) = x₀ + ∫_t₀^t v(t) dt

x(t) = x₀ + v ∫_t₀^t dt = x₀ + v(t-t₀)

x(t) = v₀ + v·t per t₀ = 0

a = 0 → v = ka > 0 → v crescea < 0 → v decresce

a_m = Δv / Δt

Accellerazione Istantanea

a = dv/dt = d²x/dt²

La Velocità

v(t) = v₀ + ∫_t₀^t a(t) dt

Nota bene: nota a(x) se ad un certo istante t a un punto occupe una determinata posizione x, con una valore di velocità v si può scrivere

v(t) = v[x(t)]a(t) = a[x(t)]

→ a = dv/dt = d/dt v[x(t)] = dv/dx · dx/dt = v dv/dx

a dx = v dv

∫_x₀^x a(x) dx = ∫_v₀^v v dv

∫_x₀^x a(x) dx = 1/2 v² - 1/2 v₀²

velocità iniziale

Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

Se una MRUA quando l'accelerazione è costante

VELOCITÀ

v(t) = v₀ + a(t - t₀)

v(t) = v₀t + at per t₀ = 0

LEGGE ORARIA

x(t) = x₀ + v₀ (t - t₀) + ¹/₂ a (t - t₀)²

x(t) = x₀ + v₀t + ¹/₂ at² per t₀ = 0

Moto Verticale

Se trascuriamo l'attrito con l'aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre

si muove verso il basso con una accelerazione costante

g = 9,8 m/s²

Prendiamo

• x₀ = h
• v₀ = 0
• t = t₀ = 0

avremo così

VELOCITÀ

• v(t) = -gt
• v(x) = √2g(h-x)

LEGGE ORARIA

• x(t) = h - ¹/₂ gt²

TEMPO

• t(x) = √^2(h-x)/_g

TEMPO DI CADUTA

• t_c = ^h/_g

VELOCITÀ DI CADUTA

• v_c = √2gh

Se lanciato vs il basso

x_o= h

-V_o = -V₁

• Velocità: V(t) = -(V₁ - gt)
• Legge oraria: V(x) = √(V₁² + 2g (h-x))
• Legge oraria: x(t) = h - V₁t - 1/2 gt²
• Tempo: t(x) = -^V₁/_g + √(^V₁2/_g² + ^2(h-x)/_g)
• Tempo di caduta: t_c = -^V₁/_g + √(^V₁2/_g² + ^2h/_g)
• Velocità di caduta: V_c = √V₁² + 2gh

Lanciato vs l'alto con velocità V₂, x_o = 0

V_o = V₂ > 0

per t = 0

• Velocità di salita: V = V₂ - gt
• Legge oraria di salita: x = V₂t - 1/2 gt²
• Tempo in cui si ferma: t_M = ^V₂/_g
• Posizione in cui si ferma: x_M = x(t_H) = ^V₂2/_2g per t = t_H
• Tempo di caduta: t_c = √(^2x_H/_g)
• Tempo: t(x) = ^V₂/_g + √(^V₂2/_g² + ^2x/_g) = t_H ± √(^{t_H2 - 2x}/_g)

Velocità

V(x) = ±√(V₂²-2gx)

△Note: x = 0 è occupato a

ambedue con t = 0 V = V₂

e altra flue con t = 2t_H V = -V₂

Moto armonico semplice

Il moto armonico semplice lungo una direzione è un moto vario

È un moto periodico, il p.tro descrive oscillazioni di ampiezza A rispetto al centro O, tutte uguali tra loro e caratterizzate dalla durata detta periodo (T)

Per determinare il periodo consideriamo due tempi: t e t' con t'-t=T, per definizione x(t)=x(t')

⟹ Avendo la fos, nei due istanti differire di 2π (avendo un periodo della f. sinuso) dobbiamo ωt+φ=ωt'+φ+2π

• Periodo T = _2π/^ω

• Pulsazione ω = _2π/^T

Il moto ripetuto si ripete velocemente (T piccolo) quando la pulsazione è grande mentre il moto è lento per bassi valori della pulsazione

Si dice frequenza il numero di oscillazioni in un secono

• Frequenza ν = ₁/^T = _ω/^2π

_Δ mote bene: il periodo e quindi la frequenza di un m.h. armonico semplice sono indipendenti dall'ampiezza del moto

La velocità del p.to che si mimove di moto armonico semplice si ottiene derivando la x(t)

• Velocità v(t) = _dx/^dt = -ωA cos(ωt+φ)

• Accelerazione a(t) = _d²x/^dt² = -ω²A sen(ωt+φ) = -ω²x

La velocità assume valore massimo nel centro di oscillazione, ovvero vale V_m=ωA, e si annulla agli estremi (x±A) dove si inverte il senso del moto.

L'accelerazione si annulla nel centro di oscillazione e assume valore massimo a_m=ω²A agli estremi; inoltre essa è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento dal centro di oscillazione.

Nota bene: La velocità è sfasata di π/2 rispetto allo spostamento (ovvero è in quadratura di fase), mentre l'accelerazione è sfasata di π, sempre rispetto allo spostamento (ovvero è in opposizione di fase).

Eq.ne Differenziale del Moto Armonico

d²x/dt² + ω²x = 0

Moto Rettilineo Smorzato Esponenzialmente

Consideriamo un motorino con accelerazione

Accelerazione

a = -k v

e sempre contraria alla velocità

→ ^du/_dt = -k v

∫ ^du/_v = -k ∫ ^dt

ln (v/v_o) = -kt

velocità nel punto t = 0

Velocità

v(t) = v_o e^-kt → decresce esponenzialmente nel tempo e quindi il moto alla fine si ferma

v(x) = v_o - kx

Si ottiene facendo:

a = ^dv/_dt = ^dv/_dx v = ^dv/_dx → du = -k ^dx

∫ ^dv = -k ∫ ^dx

L'andamento della velocità con la posizione è lineare decrescente

Legge Oraria

x(t) = x_o + ∫ ^t_to v(t) ∫dt = ∫ ^t_to v_o e^-kt dt = - ^v_o/_k [e^-kt]_to =

= ^v_o/_k (1 - e^-kt)

Δ Nota bene: posto Τ = ¹/_k in un intervallo pari a Τ il moto decade col suo valore e ₁/²

Moto nel piano

Nel caso in cui il moto ha un'uscita a sapere, in un piano la traiettoria del punto è in generale una linea curva.

Nota bene: Accordo prezioso in quale direzione sta avvenendo il moto è col quale verso PREFERIAMO I VETTORI.

Piano cartesiano x(t), y(t)

Campo piano O (0,0)

x = r cos y = r sin

_yyyy 𝜆_oooo

D'astro Vettore r(t) = x(t) âx + y(t) ây

Assi cartesiani Vettori oltre

La posizione del P.T.O. lungo la traiettoria può anche essere datada una coordinata ausiliaria s, la quale esprime la lunghezza della traiettoria e varia nel tempo. La variabile temporaledella posizione di uno spostai attalsi attraverso la velocita' istantaneaè pari a

VELOCITA' VETTORIALE

La velocità vettoriale è la derivata del raggiovettore rispetto al tempo.Risulta inoltre: V = ds /dtâ_s + v â_thetaverso della tang. curva

Componenti cartesiane della velocità

\[\vec{v} = \frac{dx}{dt} \vec{i}_x + \frac{dy}{dt} \vec{j}_y\, k v_x \vec{i}_x + v_y \vec{j}_y\]

La velocità del punto che si muove lungo la traiettoria, ha come componenti cartesiane le velocità: \(v_x\) e \(v_y\) dei due moti rettilinei descritti dai punti proiezione di \(P\) sugli assi cartesiani.

Componenti polari della velocità

\(\vec{u}_r\) è il versore della direzione di \(\vec{r}\) e \(\vec{u}_\theta\) versore corrispondente alla direzione.

La velocità è sempre \(tg\) alla traiettoria e si scompone in:

— Velocità radiale \(\dot{r} = \frac{dr}{dt}\),

— Velocità trasversale \(r \dot{\theta} e\) corrisponde a \(\vec{r}\)

— \(\Delta v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{\left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + r^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2}\)

\(r(t) = r(t_0) + \int_{t_0}^{t} V(t') dt'\)

L'accelerazione

Anche nel moto piano l'accelerazione si definisce come derivata della velocità rispetto al tempo

\(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{r}^2}{dt^2}\)

\(\vec{a} = \frac{d}{dt}\left(v\vec{u}_r\right) = \dot{v} \vec{u}_r + v \frac{d\vec{u}_r}{dt} = \dot{v} \vec{u}_r + v \frac{d\vec{u}_r}{dt}\)

acc. normale si chiama acc. centripeta \(\vec{a}_r\)

\(\dot{v}_r = \dot{v}_r \vec{a}_N\) con \(\dot{v}_N \vec{u}_N\)

accelerazione tangenziale

Moto circolare

Si definisce MOTO CIRCOLARE un moto piano la cui traiettoria è rappresentata da una circonferenza.

Poiché la velocità varia continuamente in direzione l'accelerazione centripeta è sempre diversa da zero.

In questo riferimento la velocità è costante in modulo e l'accelerazione tangente è nulla ⇒ è presente solo l'ACCELERAZIONE CENTRIPETA

Se invece il modulo della velocità varia nel tempo ⇒ a_τ ≠ 0

VELOCITÀ ANGOLARE

ω = dθ/dt = 1/R ds/dt = v/R

LEGGI ORARIE DEL MCU

S(t) = S₀ + vt

Θ(t) = Θ₀ + ωt

ACCELERAZIONE DEL MCU

a = a_N = v²/R = ω²r

ASSI SUPERFISSI (sono parametriche)

x = R·cosΘ = R·cos(ωt + Θ₀)

y = R·sinΘ = R·sin(ωt + Θ₀)

ACCELERAZIONE ANGOLARE

α = dω/dt = d²θ/dt² = 1/R dv/dt = a_τ/R