Cinematica dei rigidi

Sistema Rigido

Un sistema {P₁, P₂, ..., P_n} si dice rigido se ad ogni coppia di punti del sistema è imposto il vincolo di rigidità.

Le equazioni dei vincoli di rigidità da imporre sarebbero tante quante sono le combinazioni di n oggetti a due a due, ovvero m(n-1)/2.

Si riconosce facilmente che però, se il sistema {P₁, P₂, ..., P_n} ha tre punti non allineati, per renderlo rigido è sufficiente imporre 3n - 6 vincoli di rigidità (indipendenti tra loro).

Segue allora: Ogni sistema rigido contenente tre punti non allineati ha 3n - (3n - 6) = 6 gradi di libertà.

1. Questi 6 gdl corrispondono ai sei movimenti elementari che il sistema rigido può compiere rispetto all'osservatore S (0; X, Y, Z) e cioè le tre traslazioni secondo i tre assi X, Y, Z e le tre rotazioni attorno gli stessi assi (angoli di Eulero).

Scegliamo, quindi, i sei parametri lagrangiani, atti ad individuare le configurazioni del sistema rigido.

1. A tale scopo, introduciamo una terna S' (0; X'₁, Y'₁, Z'₁), solidale al sistema rigido ed osserviamo che:
2. determinare la configurazione del sistema rigido rispetto all'osservatore S equivale a determinare quella di una sua terna solidale S' → per fare ciò è allora possibile e sufficiente individuare rispetto al S

Sistema Rigido

Un sistema {P₁, P₂, ..., P_n} si dice rigido se ad ogni coppia di punti del sistema è imposto il vincolo di rigidità.

Le equazioni dei vincoli di rigidità da imporre sarebbero tante quante sono le combinazioni di n oggetti a due a due, ovvero n(n-1)/2.

Si riconosce facilmente che però, dato che se il sistema {P₁, P₂, ..., P_n} ha tre punti non allineati, per renderlo rigido è sufficiente imporre 3n-6 vincoli di rigidità (indipendenti tra loro).

Segue allora: Ogni sistema rigido contenente tre punti non allineati ha 3n - (3n-6) = 6 gradi di libertà.

1. Questi 6 gradi corrispondono ai sei movimenti elementari che il sistema rigido può compiere rispetto all'osservatore S(O; x₁, y₁, z₁) e cioè le tre traslazioni secondo i tre assi X, y, Z e le tre rotazioni attorno gli stessi assi (angoli di Eulero).
2. Scegliamo, quindi, i sei parametri lagrangiani, atti ad individuare le configurazioni del sistema rigido.
3. A tale scopo, introduciamo una terna S'(O; x'₁, y'₁, z'₁), solidale al sistema rigido ed osserviamo che:
• Determinare la configurazione del sistema rigido rispetto all'osservatore S equivale a determinarne quella di una suo terna solidale S' ➔ per fare ciò è allora possibile e sufficiente individuare rispetto ad S

L'origine O' della terna S', ed il suo orientamento

Per tanto i 6 parametri lagrangiani: {q₁, … q₆} atti

ad individuare le configurazioni di un sistema rigido,

sono le tre coordinate del centro della terna

solidale ed i tre angoli di Eulero.

L'uso di tali parametri tiene automaticamente conto

dei vincoli di rigidità imposti al sistema, per cui

ogni ulteriore limitazione alla configurazione del sistema

potrà essere introdotta con legami tra i parametri

lagrangiani: {ϑ₉, … ϑ₉}, che esprimeranno

matematicamente vincoli-semplici.

1. Concludiamo lo studio geometrico dei sistemi rigidi

osservando che se il sistema è rigido {P₁, P₂, … P_n},

ha tutti i punti allineati (asta rigida nello spazio),

la posizione di due di essi determina la posizione

degli altri, e quindi i gradi di libertà sono 5.

SISTEMA RIGIDO PIANO

Un sistema rigido si definisce piano se, pur variando

la sua configurazione:

∃ π_f (piano solidale al sistema, che si mantiene

sempre {∀ E < t_o}, sovrapposto ad un piano fisso f

durante il moto). - “π_f” non può “sollevarsi" da f.

Assumiamo:

S(O; x, y) sistema principale fisso, con X, Y ≡ π ∈ S

S'(O'; x', y') sistema solidale, con X', Y' ≡ π' ∈ S

Per individuare l'origine O' e l'orientazione di S' sono sufficienti le coordinate (x₀, y₀) e l'angolo θ che l'asse x₁ forma con l'asse x

Ne consegue che ogni sistema rigido piano possiede 3 gradi di libertà a cui corrispondono due traslazioni secondo x e y (direzioni non complanari del piano xy) ed una rotazione attorno ad una retta perpendicolare al piano xy (ovvero rotazioni attorno a z)

ATTENZIONE: non può traslare lungo z e non può compiere rotazioni attorno ad x e y!

NOTA: quando consideriamo un sistema piano si parte direttamente da 3 gdl

Cinematica Dei Sistemi Rigidi (O Corpi Rigidi)

Ad ogni sistema rigido (ovvero tre punti non allineati) può essere associato un osservatore solidale (^,^,^,^). Pertanto, studiare il