Cinematica dei rigidi

Sistema Rigido

Un sistema (P₁, P₂, ..., P_n) si dice rigido se ad ogni coppia di punti del sistema è imposto il vincolo di rigidità.

Le equazioni dei vincoli di rigidità da imporre sarebbe tante quante sono le combinazioni di n oggetti a due a due, ovvero n(n-1)/2.

Si riconosce facilmente che però, su S² il sistema {P₁, P₂, ..., P_n} ha tre punti non allineati, per renderlo rigido è sufficiente imporre 3n-6 vincoli di rigidità (indipendenti tra loro).

Segue allora: Ogni sistema rigido contenente tre punti non allineati ha 3n - (3n-6) = 6 gradi di libertà.

1. Questi 6 corrispondono ai sei movimenti elementari che il sistema rigido può compiere rispetto all'osservatore S(O;X,Y,Z) e cioè le tre traslazioni secondo i tre assi X,Y,Z e le tre rotazioni attorno agli stessi assi (angoli di Eulero).
2. Scegliamo, quindi, i sei parametri lagrangiani, atti ad individuare la configurazione del sistema rigido.
3. A tale scopo, introduciamo una terna S'(O;X',Y',Z'), solidale al sistema rigido ed osserviamo che:
   • determinare la configurazione del sistema rigido rispetto all'osservatore S equivale a determinare quella di una sua terna solidale S' per fare ciò è allora possibile e sufficiente individuare rispetto ad S

L'origine O' della terna S', ed il suo orientamento.

Per tanto[]  6 parametri lagrangiani [] - che, al convivere le configurazioni di un sistema rigido, sono le tre coordinate del centro della terna solidale ad S', 3 angoli di Eulero.

L'uso di tali parametri tiene automaticamente conto dei vincoli di rigidità imposti al sistema, per cui ogni alterazione limitissima delle configurazioni del sistema potrà essere introdotta [...]. Tra i parametri lagrangiani [...], 6₉ e 6₁₆, che esprimeranno matematicamente vincoli-semplici.

• Concludiamo lo studio geometrico sei sistemi rigidi osservando che se il sistema è rigido [...].
• [...] tutti i punti allineati (asta rigida nello spacio).
• La posizione di due di essi determina la posizione degli altri, e quindi, i gradi di libertà sono [...].

Sistema Rigido Piano

Un sistema rigido si definisce piano se, pur variando la sua configurazione:

• ∃ π^1' (piano, solidale al sistema), che si mantiene sempre [...].
• {VE ∈ [αi, α₃]} sovrapposto ad un piano fisso π¹
• durante il moto [...] →, π¹ non può “staccarsi” da π¹

Teorema di Poisson

Th: In ogni moto rigido esiste uno ed uno solo vettore w dipendente dal tempo, tale che per qualsiasi versore solidale l si ha

^d/_dtl = w × l

∀ l ∈ Σ solidale, |l| = 1

∃! w : velocità angolare da un punto di vista fisico.

Dim.: sia (i, j, k) una terna di versori di una sfera solidale.

Poiché la derivata di un vettore di modulo costante è normale al vettore stesso, è possibile in ogni istante determinare tre vettori w₃, w₂, w₁.

^d/_dti = w₁ × i ; ^d/_dtj = w₂ × j ; ^d/_dtk = w₃ × i

Derivando rispetto al tempo le relazioni di ortogonalità

i̇ ⋅ j = j̇ ⋅ i ; k̇ ⋅ i (ovviamente tutti uguali a zero)

Allora:

^d/_dt(i ⋅ i) = ^d/_dti ⋅ i + i̇ ⋅ i = w₂ × i ⋅ i + w₃ × i ⋅ i

= w₁ × i ⋅ j̇ + w₂ × j ⋅ i̇ =

= w₁ ⋅ i̇ ⋅ i + j × i ⋅ w₃ =

= w₁ ⋅ i̇ ⋅ i − ψ ⋅ w₂ = ψ!w₁(w₁ − w₂)

2° CASO :

ω(t) ≠ 0 J_O1(t) = 0 → ∀ P J_P(t) = ω × (P'-O1)

Atto di Moto Rotatorio

Se invece ∃ P₁ ∈ T(t) J_P' = ω × (P₁'-O1) = 0

poiché ω ∉ T(t) P₁ ∈ T(t): T(t) // ω(t) per definizioneda cui risultaω ⊥ (P₁'-O1')

1) Sempre per il caso ω(t) ≠ 0 ∨ J_O(t) = 0 abbiamo:

• r(t) = r = cost → Rotazione pura attorno ad un asse fisso
• r(t) ≠ cost → Precessione (moto Polare o moto Spirio)

in entrambi i casi O1' ∈ T ∨ O ∈ T(t)e lo si evince dalla relazione { J_O1(t) ⋅ ω(t) = 0 }

3° CASO :

ω(t) ≠ 0 J_O1(t) ≠ 0 → ∀ P J_P(t) = J_O1(t) + ω(t) × (P'-O1')

Atto di Moto Elicoidale

Il moto composto da traslazione o rotazione Γ

Def: Un moto rigido è detto elicoidale se esiste una rettasolidale con S' che scorre su una retta fissa convelocità di traslazione r(t) proporzionale a ω(t)r(t) = z ⋅ ω(t)

Analisi Cinematica dell'Accelerazione Sistemi Rigidi

Temendo sempre presente il riferimento fisso Σ: (i₁, i₂, i₃) ed il sistema di riferimento solido al rigido

Σ': (i₁', i₂', i₃') come già visto in quest'ultimo

il punto P è individuato dal vettore

(P-O)' = x_P i₁' + y_P i₂' + z_P k'_P

la velocità di P nel sistema di riferimento assoluto Σ

l'abbiamo ottenuta come

d/dt (P-O)' ⟷ v_P = (P-O)₁ = Ω × (P-O)'

per cui l'accelerazione sono date dalla derivata

seconda rispetto al tempo

d²/dt² (P-O) = d/dt (v_P - (P-O)₁) ⟷

⟷ d/dt (v_P - (P-O)₁) = d/dt [Ω × (P-O)'] ⟹ → quindi

(ricordando che (P-O)' è un vettore solidale d/dt

d/dt (P-O)' = Ω × (P-O)')

[a₂ = a₁ = Ω̇ × (P-O)' + Ω × Ω × (P-O)']