Cinematica: appunti di fisica 1

Cinematica

Moto Rettilineo

velocità media: v_m = (x-x₀) / (t-t₀) = Δx / Δt

velocità istantanea: v(t) = dx/dt → dx = v(t)dt

dx = v(t)dt ⇨ x₀^x ∫dx = t₀^t ∫v(t)dt → x-x₀ = t₀^t ∫v(t)dt

Legge oraria: x(t) = x(t₀) + t₀^t ∫v(t)dt

Moto Rettilineo Uniforme (v costante)

accelerazione media: a_m = Δv / Δt accelerazione istantanea: a(t) = dv/dt → dv = a(t)dt

t₀^t ∫dv = t₀^t ∫a(t)dt → v-v₀ = t₀^t ∫a(t)dt

v(t) = v₀ + t₀^t ∫a(t)dt

Moto Uniformemente Accelerato

x(t) = x₀ + v₀(t-t₀) + 1/2 a (t-t₀)²

v = v₀ + a (t-t₀)

accelerazione di gravità: a = g = 9.8 m/s²

Moto Armonico

x(t) = f sen (wt + φ)

ampiezza fase

φ fase iniziale

w pulsazione o frequenza angolare

[w] = rad/s = s^-1

è un moto periodico, periodo

WT = 2π → T = 2π/W

ω = 2π/T = 2πv (frequenza)

[ν] = 1/s = s^-1

moto armonico attenuato, x₀

x(t) = Asen(wt + φ) + x₀

v_max = ωA

a_max = ω²A

V(t) = dx/ dt = Wcos(wt+φ)

a(t) = dv/ dt = -Wsen(wt+φ) → -ω²x

Nel moto armonico l'accelerazione è

proporzionale alla posizione istantanea.

Cambiando disegno c'è la costante di

proporzionalità è ω², quadrato della pulsazione.

Se constati a e φ ricavano le condizioni iniziali:

x₀ = x(0) = Asenφ v₀ = v(0) = ωAcosφ

se invece con noti x₀ e v₀ si calcolano A e φ:

tgφ = ωx₀/v₀ A² = x₀² + v₀²/ω²

Moto rettilineo smorzato esponenzialmente

caratteristico di un corpo sferetto (caso viscoso)

a = dv/ dt = -kV (costante positiva)

dv/v = -kdt → ∫dv/v = -∫kdt → lnV-lnV₀ = -kt

→ ln V/V₀ = -kt → V(t) = v₀e^-kt

la legge oraria si ottiene integrando da v(t)

x(t) = v₀/k (1 - e^-kt)

poi che v_m = Δx/Δt e Δx = x-x₀ = ∫_t0^tv(t)dt

la relazione tra velocità media e velocità istantanea è:

v_m= ¹/_t-t0∫_t0^tv(t)dt

Moto rettilineo uniforme

v = costante, la velocità istantanea coincide con la velocità media.

Legge oraria del moto rettilineo: x(t)=x₀+∫_t0^tv(t)dt

poiché v è una costante: x(t)=x₀+v∫_t0^tdt

e quindi la legge oraria diventa: x(t)=x₀+V(t-t₀)

accelerazione media= Δv/Δt

accelerazione istantanea è la rapidità della variazione temporale della velocità:

a=^dV/_dt = ^d2x/_dt²