Cinematica
Moto rettilineo
Velocità media vm = x - x0⁄t - t0 = Δx⁄Δt
Velocità istantanea V(t) = dx⁄dt → dx = v(t) dt
Lo spazio percorso dall'istante iniziale t0 all'istante t si ottiene utilizzando le regole d'integrazione:
dx = v(t) dt = t∫x0 dx = t∫t0 v(t) dt
Legge oraria: x(t) = x(t0) + t∫t0 v(t) dt
Moto rettilineo uniforme (v costante)
Accelerazione media: am = Δv⁄Δt
Accelerazione istantanea: a(t) = dv⁄dt → dv = a(t) dt
v∫v0 dv = t∫t0 a(t) dt → v = v0+ t∫t0 a(t) dt
V(t) = V0 + t∫t0 a(t) dt
Moto uniformemente accelerato
x(t) = x0 + v0 (t - t0) + 1⁄2 a (t - t0)2
v = v0 + a (t - t0)
Caduta libera dei gravi a = G = 9.8 m/s2
a = dv⁄dt = dv⁄dx dx⁄dt → a = v dv → a dx = v dv
xx∫x0 a(x) dx = v∫v0 v dv
Moto armonico
È un moto caratteristico di un corpo soggetto a una forza elastica.
x(t) = f sen(wt + Φ) Ampiezza Fase
v2 = v02 + 2a (x - x0)
w pulsazione o frequenza angolare [w] = rad/s = s-1
Cinematica
Moto rettilineo
Velocità media vm = (x - x0) / (t - t0) = Δx / Δt
Velocità istantanea V(t) = dx/dt → dx = v(t)dt
Lo spazio percorso dall'istante iniziale t0 all'istante t si ottiene utilizzando le regole di integrazione:
dx = v(t)dt → ∫dx = ∫v(t)dt → x - x0 = ∫v(t)dt
Legge oraria: x(t) = x(t0) + ∫v(t)dt
Moto rettilineo uniforme (v costante)
Accelerazione media: am = Δv / Δt
Accelerazione istantanea a(t) = dv/dt → dv = a(t)dt
∫v0v dv = ∫a(t)dt → v - v0 = ∫a(t)dt
V(t) = v0 + ∫a(t)dt
Moto uniformemente accelerato
x(t) = x0 + v0 (t - t0) + (1/2)a(t - t0)2
V = v0 + a(t - t0)
Caduta verticale dei gravi a = G = 9.8 m/s2
Moto armonico
È un moto caratteristico di un corpo soggetto a una forza elastica.
x(t) = Asen(wt + φ)
Ampiezza
Fase
φ fase iniziale
w pulsazione o frequenza angolare
[w] = rad/s = s-1
Periodo è costante
v2 = v02 + 2a(x - x0)
Ritorno all'origine
È un moto periodico, periodo wT = 2π → T = 2π / w
w = 2π / T = 2πν → frequenza
[ν] = t⁻¹ = s⁻¹
Notoriamente indicando con x₀:
... x(t) = Asen(wt + Φ) + x₀
... v(t) = dx / dt = wAcos(wt + Φ)
... a(t) = dv / dt = -w Asen(wt + Φ) → -w² x
Nel moto armonico l'acceleratore è proporzionale alla posizione istantanea, cambiato di segno e la costante di proporzionalità è w², quadrato della pulsazione.
Le costanti A e Φ variano dalle condizioni iniziali:
... x₀ = x(0) = AsenΦ
... v₀ = v(0) = wAcosΦ
Se invece sono noti x₀ e v₀ si calcolano A e Φ:
... tgΦ = (wx₀ / v0)
... A² = x₀² + (v0² / w²)
Moto rettilineo smorzato esponenzialmente
Caratteristico di un corpo sferetta (caso viscoso)
... a = dv / dt = -kv (costante positiva)
... dv / v = -kdt → ∫dv / v = -k ∫dt → lnv-lnv0 = -kt
... → ln(v / v0) = -kt → v(t) = v0e-kt
La legge oraria si ottiene integrando da v(t)
x(t) = v₀ / k (1 - e-kt)
Moto circolare
È un moto che si svolge su una traiettoria costituita da una circonferenza di raggio R. Definiamo la velocità angolare ω come la rapidità, nel tempo dello spostamento, quindi la rapidità di variazione degli angoli.
ω = dθ/dt
Come per la velocità lineare la velocità angolare:
dθ = ωdt ma in una circonferenza si ha: dS=Rdθ
Quindi: dS=Rdθ=Rωdt=vdt
Da cui: v=ωR ω=v/R
θ(t)=θ0+ωt
Moto circolare uniforme
(w e v costanti)
In questo caso ω e v non variano. Il periodo è T = 2πR/v = 2π/ω la frequenza ν = 1/T.
La velocità è costante in modulo, ma non lo è la direzione. L'accelerazione tangenziale è nulla e l'unica componente non nulla è quella centripeta.
|a| = v2/R = ω2R = ωv
â(t)=-vû
Moto circolare uniformemente accelerato
Accelerazione angolare α = dω/dt = 1/R dv/dt α = a/R
L'equazione del moto è allora:
θ=θ0+ω0t+1/2αt2
La velocità angolare è: ω=ω0+αt
Accelerazione tangenziale è costante: αR
Accelerazione centripeta = (ω0+αt)2R
at=αR
an=v2/R=ω2R
v=ωR
Moto parabolico
v(t)=vo+∫a(t)dt=vo−gt
Gittata: distanza tra xo e il punto in cui il corpo ricade sull'asse x, la traiettoria arriva a quota zero.
Velocità vo proiettate sull'asse x e y vale:
vx=vocosθ
vy=vosenθ−gt
Le leggi orarie
x=vocosθt
y=vosenθt−1/2gt2
t=x/vocosθ sostituendo
y(x)=xtgθ−Gx2/2vo2cos2θ equazione di una parabola
x(t) quando la traiettoria raggiunge quota zero → xtgθ−Gx2/2vo2cos2θ = 0, x=0
xG=2vo2cosθtgθ/g=2xH
xH=vo2cos2θ/g
L'altezza massima raggiunta è y(xH)=yH=vo2sen2θ/2g
- an=Gvu/W32+Gv2
- an=v2/R
R=raggio di curvatura
Moto rettilineo
Legge oraria: x(t) = xo + ∫tot v(t)dt
Velocità media
Velocità calcolata analizzando lo spostamento
vm = Δx/Δt = x2−x1/t2−t1
Suddividendo Δx in un numero elevatissimo di intervallini dx, ciascuno percorso nel tempo dt, si può definire la velocità istantanea, ad un istante t, per punto in movimento come il rapporto v = dx/dt calcolato in quel determinato istante.
lim Δx → 0 Δx/Δt = dv/dt → dx/dt
Che rappresenta la rapidità di variazione temporale della posizione. Restante costante o considerando il segno della velocità indica il verso del moto sull'asse x.
Se v è costante si parla di un moto rettilineo uniforme.
v = dx/dt → dx = v(t)dt
Lo spostamento complessivo complessivo sulla retta su cui si muove il punto, in un intervallo finito di tempo Δt = t − to, è dato dalla somma di tutti i ‘successivi’ valori di dx:
Δx = ∫xot dx = ∫tot v(t)dt
Da cui la legge oraria
x(t)−xo = ∫tot v(t)dt
x(t) = xo + ∫tot v(t)dt
Posizione iniziale accodata nell'istante to
Δx rappresenta lo spostamento complessivo e non si può predire se il punto torna alla posizione iniziale, perché non deve per forza essere xo → 0.
Poiché vm = Δx/Δt e Δx = x - xo = ∫totv(t)dt
La relazione tra velocità media e velocità istantanea è:
vm = 1/(t - to) ∫totv(t)dt
Moto rettilineo uniforme
v = costante, la velocità istantanea coincide con la velocità media.
Legge oraria del moto rettilineo: x(t) = xo + ∫totv(t)dt
Poiché v è una costante: x(t) = xo + v ∫totdt
E quindi la legge oraria diventa: x(t) = xo + v (t - to)
Accelerazione media: Δv/Δt
Accelerazione istantanea: la rapidità della variazione temporale della velocità:
a = dv/dt = d2x/dt2
Moto rettilineo
x(t) = x0 + ∫t0t v(t) dt
Vm = Δx/Δt = 1/(t-t0) ∫t0t v(t) dt
V = dx/dt
Moto rettilineo uniforme
(v costante)
x(t) = x0 + V(t - t0)
a = dv/dt = d2x/dt2
V(t) = v0 + ∫t0t a(t) dt
∫x0x a(x) = 1/2 v22 - 1/2 v02
Moto rettilineo uniformemente accelerato
V(t) = v0 + A(t - t0)
x(t) = x0 + v0(t - t0) + 1/2 a(t - t0)2
Se a è costante V2 = v22 + 2a(x - x0)
Moto verticale di un corpo
G = 9.8 m/s2
Punto lanciato verso il basso
V(t) = -v0 - Gt
x(t) = h - v0t - 1/2 Gt2
V(x) = √(v02 + 2G(h - x))
t(x) = (-v0/G + √(v02/G2 + 2(h - x)/G
Vc = √(v22 + 2gh)
Punto lanciato verso l'alto con v0, partendo dall'alto
x0 = 0 v0 part. - 0
v = v0 - Gt x = v0t - 1/2Gt2
v = 0 nell'istante tH v0 in posizione xH = x(tH) = xH= x(tH)2G
La durata complessiva del moto è 2tH = 2v0
2tH = 2v0Gt
(x) = v0 ± v02 - 2Gx = tH ± 2H - 2xG
v(x) = ± v02 - 2Gx
Moto armonico semplice
X(t) = A sen(wt + ø )
Tx = 2π w <> pulsazione w = _2π
Periodo
wT
v = 1_ = = frequenza
a numero di oscillazioni un secondo
v(T) = dXdt = WA cos(wt + ø )
a(t) = dv = ddt dt = -w2A sen(wt + ø ) = -w2xt
q8 = wX0v0
A2 = x0² + v0²w2
v3 = v02 + w2(x33 - x2)
dxv3 = v02 + x20 + w2G
Equazione differenziale del moto armonico: condizione necessaria e sufficiente affinché un moto sia armonico.
d2xdt2 + w2x = 0
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