Fisica generale 1 - capacità termiche

Capacità termica

Definizione

La capacità termica è la quantità di calore necessaria a innalzare la temperatura di una mole di un corpo di 1°C.

Secondo la fisica classica, per un solido cristallino monoatomico, la capacità termica molare a volume costante, C_m,V, risulta essere:

C_m,V = 3R

dove U indica l’energia interna e R = 8.314 J mol^-1 K^-1 è la costante dei gas. Ma per T che tende a zero, la capacità termica molare a volume costante tende anch’essa a zero, e non a 3R.

Teoria di Einstein

Einstein suppose che ciascun atomo oscillasse intorno alla propria posizione di equilibrio con una sola possibile frequenza ν. Egli, inoltre, (rifacendosi all’ipotesi di Planck) asserì che l’energia di oscillazione si limitasse a valori discreti, pari a nħν, con n numero intero.

Einstein, dapprima, calcolò l’energia molare totale:

U = 3N

dove N = 6.022 x 10²³ è il numero di Avogadro; e poi differenziò tale equazione rispetto alla temperatura, ottenendo la formula di Einstein:

C_m,V = 3Rf

dove f = (θ/T), con θ chiamata temperatura di Einstein. Tale formula giustifica il decremento della capacità termica alle temperature più basse, infatti a bassa temperatura solo pochi oscillatori hanno abbastanza energia da oscillare in maniera significativa.

Analisi delle temperature

Si consideri il caso in cui la temperatura tenda a zero. In questo caso si ha:

f = (exp(-1)) = 0

Si consideri, ora, il caso in cui la temperatura assuma valori elevati. In questo caso si ha:

f = 1 + ≈ 1

essendo trascurabile, in quanto molto inferiore a 1.

Curva di Einstein

La formula generale della curva, che si ottiene dall’equazione di Einstein, è soddisfacente ma dal punto di vista numerico l’accordo è scadente. Ciò si deve all’ipotesi che tutti gli oscillatori oscillino con la stessa frequenza ν, laddove essi oscillano in un campo di frequenze che va da zero ad un valore massimo ν_D.

Fig 1: Per la trasformazione si rimanda all’Appendice.