Cammini, curve equivalenti, ascissa curvilinea

CAMMINI, CURVE EQUIVALENTI, ASCISSA CURVILINEA

[ ] [ ]

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Sono date due curve , , regolari a tratti, si dice che

φ : a , b → R ψ : c , d → R ¿

la curva è equivalente alla curva ( se e solo se

φ ψ φ ψ

[ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( )

1 ' ( ) ( ) ( )

∀ ∈ =φ

e si ha che ,

ψ g t t g

t a , b

∃ ∈ ∀

g : a , b → c ,d , g C a , b , g t ≠ 0 t

è un’applicazione, è come se venisse effettuato un cambio di parametro. Se

due curve sono equivalenti, esse hanno lo stesso sostegno, ma non è detto che

se due curve abbiano lo stesso sostegno siano equivalenti, infatti si prendano

le due curve, entrambe che descrivono la circonferenza di raggio :

r

{ ( )=r

x t cos t

φ : ( ) =r

y t sin t [ ] [ ]

∈ ∈

Solo che la prima ha , la seconda , quindi sono diverse.

t 0, 2 π t 0, 3 π

Un esempio di applicazione è una particella in moto vista da due punti diversi

(due orologi diversi), si hanno il punto A, con variabile e curva

t

[ ] [ ]

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e il punto B con variabile e curva , esiste quindi

r

φ : a , b → R ψ : c , d → R

( )

( ) ( ) '

( ) =ψ ( )

φ t g t

una relazione , in modo che . Adesso se la

r=g t >0

g t

0 0

relazione è strettamente crescente e le due curve hanno lo stesso verso, inoltre

'

( )=c ( )=d ( )

e , mentre se , le curve hanno verso opposto,

g a g b <0

g t ( )=d ( )=c

l’applicazione è strettamente decrescente e e .

g a g b

Si prova che se due curve sono regolari e semplici e hanno lo stesso sostegno,

allora sono equivalenti.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( )

1 −1

Se , allora , inoltre l’applicazione

∈C

g : a ,b → c , d , g a ,b g : c , d → a , b

[ ]

1

inversa appartiene alla classe nell’intervallo e inoltre, seguendo la

c , d

C 1

'

( )

−1 [ ]

( ) ∀ ∈

=

g t , r c , d

regola di derivazione delle funzioni inverse, ( )

−1

' ( )

g g t

( )

−1

( )=φ ( )

tenendo presente che , inoltre come l’applicazione, deve

ψ r g r

'

( )

−1

risultare . L’applicazione è quindi invertibile, simmetrica e transitiva.

( )

g t ≠ 0

Data una classe di equivalenza di curve (ossia un insieme di curve regolari fra

[ ]

=

loro a tratti), essa è detta cammino e si indica con .

γ φ

Due curve sono equivalenti se e solo se sono equivalenti in