Cammini, curve equivalenti, ascissa curvilinea

Cammini, curve equivalenti, ascissa curvilinea

Si considerano due curve regolari a tratti: φ: a, b → ℝ e ψ: c, d → ℝ. Si dice che la curva φ è equivalente alla curva ψ se e solo se esiste un'applicazione g : a, b → c, d, tale che g è di classe C¹ su a, b e g'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ a, b. Questo è come un cambio di parametro.

Due curve sono equivalenti se hanno lo stesso sostegno, ma non è detto che se due curve abbiano lo stesso sostegno siano equivalenti. Un esempio è dato dalle due curve che descrivono la circonferenza di raggio r:

• φ(t) = (rcost, rsint) con t ∈ [0, 2π]
• ψ(t) = (rcost, rsint) con t ∈ [0, 3π]

Quindi sono diverse. Un esempio di applicazione è una particella in moto vista da due punti diversi (due orologi diversi). Si considerano il punto A, con variabile e curva φ: a, b → ℝ² e il punto B con variabile e curva ψ: c, d → ℝ².

Esiste quindi una relazione g(t) tale che ψ(t) = φ(g(t)). Se g'(t) > 0, la relazione è strettamente crescente e le due curve hanno lo stesso verso; se g'(t) < 0, le curve hanno verso opposto. Inoltre, se g(a) = c e g(b) = d, l'applicazione è strettamente decrescente.

Si dimostra che se due curve sono regolari e semplici e hanno lo stesso sostegno, allora sono equivalenti. Se g: a, b → c, d è invertibile, allora g^-1 : c, d → a, b appartiene alla classe C¹ nell'intervallo c, d, seguendo la regola di derivazione delle funzioni inverse.

Inoltre, tenendo presente che g'(t) ≠ 0, l'applicazione è invertibile, simmetrica e transitiva. Data una classe di equivalenza di curve (ossia un insieme di curve regolari a tratti), essa è detta cammino e si indica con γ.

Due curve sono equivalenti se e solo se sono equivalenti in questo senso.