Cammini, curve equivalenti, ascissa curvilinea

( )

( )

∈ =φ

t a , b , P t , definisco il versore tangente come

0 0 0

( )

' ( ) ' ( )

ψ g t φ t

0 0

( )

( ) = =

T g t .

| | | |

ψ 0 | | | |

( )

' '

( ) ( )

ψ g t φ t

0 0 b | |

| |

∫ '

( )= ( )

Dall’integrale curvilineo si sa che la lunghezza di una curva , è

L φ φ t dt

a

data la seguente proposizione: se due curve sono equivalenti, allora hanno la

stessa lunghezza.

Questo ricordando che la lunghezza della curva vale anche per le curve regolari

a tratti, in tal caso dovranno essere equivalenti a tratti.

ASCISSA CURVILINEA [ ] [ ]

[ ] 2 ∀ ∈

=

Data sempre una curva e un cammino , , posso

γ φ t a , b

φ : a , b → R

t | | | |

| |

∫ | |

' ' '

( )= ( )

considerare , in modo che , si ha inoltre

S t φ i di ( )= ( ) ∀

S t φ t , t

a

1

( ) , com’è giusto che sia altrimenti non sarebbe integrabile. Si ha che

∈C

S t

' ( )=0

( ) poiché è un modulo, inoltre dalle leggi del calcolo integrale ,

S a

>0

S t b | |

| |

∫ [ ]

[ ]

' ( ) ( ) ( )

( )= ( ) ( ) ∀ ∈

=L

, quindi e .

S : a ,b → 0, L γ L γ φ , φ γ

S b φ i di=L γ

a [ ] [ ] ( )

2

( ) ( ) ( )=φ ( )

Presa un’altra curva , quindi

∀ ∈

ψ : 0, L γ → R , S 0, L γ ,ψ S t S

1

[ ] '

[ ]

( ) ( ) ( )= >0

t : 0, L γ → a , b , t=t S , t S . Se le due curve sono equivalenti, allora

( )

' ( )

S t S

∈ . Ho ottenuto un’altra rappresentazione parametrica del cammino, con

ψ γ ( )

parametro che viene detto ascissa curvilinea. è la lunghezza

s S t

( ) ( )

dell’arco che ha come estremi e .

φ a φ b ( )

' ( )

φ t S

( )

' ' '

( )

=φ ( )=φ ( ) ( )=

P t ∗t

ψ S t S S

Preso un punto del cammino , che è il

0 0 ( )

' ( )

S t S ( )

' ( )

φ t s

vettore tangente ad un punto generico, inoltre il vettore unitario è .

| |

| |

' ( )

( )

φ t s

[ ] 2 ( )

Data la curva ed una funzione continua sul sostegno di

f x , y

φ : a , b → R

b ❑

| |

| |

∫ ∫

( ) '

( ) ( ) ( )

, , con differenziale dell’ascissa curvilinea.

φ ds

f φ t φ t dt= f x , y ds

a φ

Per quel che riguarda le proprietà degli integrali, esse discendono dagli

integrali ad una variabile. Date due funzioni e , continue sul sostegno

f g

2

di , e due numeri , si ha che:

φ=Γ ∈

α , β R

❑ ❑ ❑

∫ ∫ ∫

( )

+

αf βg ds=α f ds+ β g ds

φ φ φ