Cambio di base

Applicazione identità e matrici associate

Data l'applicazione identità che associa ad ogni vettore se stesso in Rⁿ con una base ordinata di Rⁿ, abbiamo che:

La matrice associata a v con la base fissata nel dominio e la base canonica fissata nel codominio è:

[F(v₁), ..., F(v_n)] = [v₁, ..., v_n]

La matrice associata a v con la base canonica fissata nel dominio e la base fissata nel codominio è:

[F^-1(v₁), ..., F^-1(v_n)] = [v₁, ..., v_n]^-1

Le coordinate di un generico vettore v rispetto ad una base ordinata sono date da:

v = [I_β,C]^-1 ⋅ [v₁, ..., v_n]^T

Dove le colonne della matrice (Attenzione! Di, non I) sono costituite dalle coordinate dei vettori della base rispetto alla base canonica.

Data un'applicazione lineare A: Rⁿ → R^m e la matrice ad essa associata [A^′]_C,C, una volta fissate le basi canoniche nel dominio e nel codominio, la

La matrice A′β,β′ associata all’applicazione rispetto alla base nel dominio e alla base nelβ βcodominio è data da:

−1= ⋅ ⋅A A I I′ ′ ,Cβ,β C,C β,C′ ′β

dove:

• è la matrice che ha per colonne le coordinate delle immagini dei vettori A′C,C della base canonica del dominio tramite rispetto alla base canonica;
• F−1 è l’inversa della matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori della I′ ′,Cβ ′base rispetto alla base canonica;
• β è la matrice che ha per colonne le coordinate dei vettori della base Iββ,C rispetto alla base canonica.

β Cambio di base 2