Cambio di base

Cambio di base

Definizioni

Si consideri un’applicazione lineare F: V → W e due basi ordinate di V e W rispettivamente: β = {v₁, …, v_n} e β′ = {w₁, …, w_n}. Supponiamo che:

- v(v) = {y₁, …, y_n} siano le coordinate del vettore v rispetto alla base β nel dominio, e

- le coordinate delle immagini dei vettori della base β (nel dominio) tramite F siano date da {x₁, …, x_n} rispetto alla base β′ nel codominio.

Si definisce la matrice associata a F rispetto alle basi β e β′ (nel dominio e nel codominio, rispettivamente) tale che:

⎡⎤x₁(v) = {y₁, …, y_n} = A⋮⎣⎦′′

Le colonne della matrice A_β,β′ sono costituite dalle coordinate delle immagini dei vettori {v₁, …, v_n} tramite v rispetto alla base β′ nel codominio.

Matrice identità

Data un’applicazione lineare F: V → W tale che:

F(v₁) = w₁, …, F(v_n) = w_n dove β = {v₁, …, v_n} e β′ = {w₁, …, w_n} sono rispettivamente le basi ordinate fissate nel dominio e nel codominio, la matrice associata a F rispetto a queste due basi è detta matrice identità.

Proposizioni

Generalmente, data una composizione di applicazioni lineari V → W → Z e le matrici A_{V → W} e A_{W → Z} associate alle applicazioni lineari, allora alla composizione sarà associata la matrice A_{W → Z} ∗ A_{V → W}, per qualsiasi terna di basi per V, W e Z.

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