Calcolo Probabilità

Calcolo delle Probabilità

Inferenza

Studio uno o più caratteri su una sottogruppo o campione casuale (più rappresentativo della popolazione) e estendiamo i risultati all'intera popolazione.

Si osserva uno o più caratteri su un campione casuale cercando di estendere all'intera popolazione.

Probabilità

Scienza del comportamento del caso:

Imprevedibile a breve termine.Prevedibile e regolare a lungo termine.

Esperimento casuale: Esperimento con esito incerto (es. lancio di un moneta ma per il quale ripetuto un numero elevato di volte otteniamo un modulo prob.)

Probabilità di un evento (o risultato): Proporzione di volte in cui quel risultato si verifica nell'insieme di un esperimento casuale.

Spazio degli eventi: Ω, insieme di tutti i possibili risultati.

Regole Fondamentali della Probabilità

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1P(E) = 0 → evento impossibile.P(E) = 1 → evento certo.

2. Tutti i possibili risultati nel loro complesso hanno probabilità uguale a 1. → P(Ω) = 1.

3. La probabilità che un evento non si verifichi è uguale a 1 meno la probabilità che lo stesso si verifichi: P(Ē) = 1 - P(E)

4. Se due eventi sono incompatibili, cioè non possono verificarsi contemporaneamente la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è data dalla somma degli eventi stessi:P(A∪B) = P(A) + P(B)

5. Se due eventi non sono incompatibili (possono verificarsi insieme), la probabilità che si verifichi almeno uno è data da:P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

6. P(A∩B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) → P(B|A) = P(A∩B)/P(A) → P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

7. Se ho n eventi indipendenti (il verificarsi di uno non influenza la probabilità che accadano gli altri) → P(A∩B) = P(A) P(B)Cioè:P(A|B) = P(A)

CALCOLO DELLE PROBABILITA'

STUDIO DI UNO O PIÙ CARATTERI SU UNA CAMPIONE CASUALE (PIÙ RAPPRESENTATIVO DELLA POPOLAZIONE) E STENDIAMO RISULTATI ALL'INTERA POPOLAZIONE

DISTINGUIAMO

• OSSERVAZIONALE
• SPERIMENTALE

SI OSSERVA UN O PIÙ CARATTERI SU UN CAMPIONE CASUALE CERCA DI ESTENDERE ALL'INTERA POPOLAZIONE

OLTRE ALL'OSSERVAZIONE AVVIENE LA SPERIMENTAZIONE SULL'ANALIZZARE UNITÀ, CONFRONTATI TRA IL TRATT. MOITO RIUTO

ASSEGNAZIONE CASUALE DELLE UNITÀ AI TRATTAMENTI

PROBABILITÀ: SCIENZA DEL COMPORTAMENTO DEL CASO

• IMPREVISTIBILE A BREVE TERMINE
• PREVEDIBILE E REGOLARE A LUNGO TERMINE

ESPERIMENTO CASUALE: ESPERIMENTO CON ESITO INCERTO (ES. LANCI DI UNA MONA...

PROBABILITÀ DI UN EVENTO (RISULTATO): PROPORZIONI DI VOLTE IN CUI QUELL RISULTATO SI VERIFICA...

SPAZIO DEGLI EVENTI: Ω: INSIEME DI TUTTI I POSSIBILI RISULTATI

REGOLE FONDAMENTALI DELLA PROBABILITÀ

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. TUTTI I POSSIBILI RISULTATI NEI LORO COMPLESSI HANNO PROBABILITÀ UGUALE A 1 - P(¬Ω) = 1
3. LA PROBABILITÀ CHE UN EVENTO NON SI VERIFICHI È UGUALE A 4 MENÈ... P(¬E) = 1 - P(E)
4. SE DUE EVENTI SONO INCOMPATIBILI, C...:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

5. SE DUE EVENTI NON SONO INCOMPATIBILI (POSSONO VERIFICARSI INSIEME):

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

6. P(A∩B) = P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B) ⇒...

P(A|B) ≠ P(A|B)

7. SE HO E' EVENTI INDIPENDENTI (IL VERIFICARSI DI UNO NON INFLUENZA LA PROBABILITÀ CHE...)

P(A∩B) = P(A) · P(B)

(...segue)

8) Teorema delle probabilità totali (probabilità "condizionata")

Dato un evento A che può essere causato da uno tra k cause E_i (i=1 → k)a due a due incompatibili è necessario si ha che:

P(A) = ∑_i=1 P(A|E_i)·P(E_i) ← Trovo le prob. totali che l'evento A accada date le k

cause E_i

9) Teorema di Bayes

Dato un evento A che può essere dato da k cause E_j (j=1 → k)incompatibili è necessario il teorema di Bayes esprime la probabilitàche avendo osservato l'evento A esso sia stato generato dallacausa E_i in funzione delle probabilità a priori e delle

probabilità P(E_j|A) = ^{P(E_j)·P(A|E_j)}/_P(A) → Da trovarsi con il teorema delleprobabilità totali

Esempio per entrambi i teoremi (es. 3.2)

8) Evento arrivo in ritardo evento → (R)

• 1) Prende l'autobus (A)
• 2) Prende la macchhina (M)
• 3) Usa bici (B)

Calcolo le prob. tot. di arrivare in ritardo

P(R) = P(R|A)·P(A) + P(R|M)·P(M) + P(R|B)·P(B)

NB: dato che la sceltadel mezzo è casuale si sceglie tra3 mezzi → P(A) = P(M) = P(B) = 1/3

9)

Ci richiamiamo sempre all'es. 3.2sapendo che è accaduto l'evento R, voglio sapere le prob.che sia stato causato dall'evento A, M, B.

P(A|R) = ^P(R|A)·P(A)/_P(R)

P(M|R) = ^P(R|M)·P(M)/_P(R)

P(B|R) = ^P(R|B)·P(B)/_P(R)

Probabilità di Variabili Aleatorie

Variabile aleatoria o casuale = variabile che assume dei valori numerici determinati da un esperimento casuale.

Esempio il triplice lancio di una moneta:

• TTT -> x = 3
• TCC -> x = 1
• CCT -> x = 1
• CTC -> x = 1

_{Distribuzione di probabilità della variabile casuale x, la cui somma è 1.}

Distinguiamo

• Variabili Casuali Discrete
  • Assumono un valore finito (numerabile) di numeri reali.
  • Si può costruire la distribuzione delle probabilità.
• Variabili Casuali Continue
  • Assumono tutti i valori compresi in un intervallo, un valori non numerabile (infinito) di numeri reali.

_{Indici con cui sintetizzare le variabili casuali}

Valore atteso E(x) = ^N∑_i=1 x_i p(x_i) = il valore medio della variabile.

Varianza Var(x) = ^N∑_i=1 x_i² p(x_i) - [E(x)]²