Calcolo numerico teoria + MATLAB
Aritmetica - errori
Consideriamo il sistema di numerazione decimale, ovvero in base N=10. Ad esempio, si può rappresentare il numero a = 109,34 come:
a = 1×102 + 0×101 + 9×100 + 3×10-1 + 4×10-2
Si definisce la rappresentazione Floating-Point di un numero reale a come:
a = pNq dove p è reale e q è un intero.
Ad esempio, per a = 0,015×10-1 si può scrivere:
a = 0,15×10-2 = 0,0015×100
La rappresentazione floating-point non è unica. È univocamente determinata se si impone la condizione:
N-1 ≤ |p| < 1 (⟹ per N=10, 0,1 ≤ |p| < 1)
Nell’esempio precedente, l’unica che soddisfa questa condizione è 0,15×10-2 (perché la cifra dopo la virgola è ≠ 0).
Se la condizione è soddisfatta, allora si dice che la rappresentazione floating-point è normalizzata:
a = pNq in questo caso p è la mantissa di a, q è l'esponente o caratteristica di a.
Ad esempio, per N = 10, se a = 0,15×10-2, allora p = 0,15 e q = -2.
Consideriamo a=1,24×100 — → non è normalizzata. Modificando la rappresentazione dopo la virgola otteniamo: a=0,124∙102 con p=0,124 e q=2 perché p<1 ed è normalizzata.
Se conosciamo p e q, possiamo ricostruire univocamente il numero reale a. Per memorizzare un numero reale a è sufficiente memorizzare p e q → il calcolatore esegue questa operazione.
Numeri macchina
Non tutti i numeri sono rappresentabili. |p| può avere al massimo t cifre mentre m ≤ q ≤ M con m (o m = 0) intero fissato. In tal caso, il calcolatore memorizza q* = q - m ≥ 0 come esponente normalizzato.
Non tutti i numeri reali sono rappresentabili su un calcolatore. Definiamo Numeri Macchina quei numeri le cui p e q sono esattamente rappresentabili; la maggior parte dello spazio è riservato a questi numeri.
Esempio: N=10 t=5, m=-127 M=128.
a = 1.58291×10-2 = 0.158291×10-1 non è un numero di macchina perché ha 6 cifre, e t è massimo 5.
a = 0.0038245×10-5 0.38245×10-2 è un numero ... N:5 Tra -127 e 128.
Sia a = pNq con N=- 1. Se q > M, il numero a non è rappresentabile a causa di un problema di underflow.
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