Calcolo numerico teoria + Matlab

1.1 (pagina successiva) ARITMETICA DEL CALCOLATORE e ALGORITMI NUMERICI

FLOATING POINT (NUMERI FINITI) Il problema principale è che abbiamo un numero finito di bit per la scrittura di un numero.

Sì: possono rappresentare solo un numero finito di numeri reali in base 2 (dalla Plautian point),

con arrotondamento secondo una manzitudine |e| < 1/2 U.L. (tabella dedicata) (vedi tabelle dedicate) con d₁ =1

Per immagazzinare il valore di d è più facile stabilire un certo "bias"

OVREO CON L'8° BIT prendiamo un n. naturale che varia da 0 e 255 ma è più conveniente

avere un valore che varia da -127 per (per 32 bit) a _{1023 eps 16383} (per 64 bit).

MODIFICANDO LA CONFIGURAZIONE FLOATING

q = 1k=bit di precisione in più funzioni: ha k = "b" (o 0) o sint può l'appresentarsi del valore zero

m = t-1 = 1

- Neutralità come d'errore

- se quello che se lo ha rappresentato w. 2.0

NUMERI DENORMALIZZATI 23+829 23 1(err. <=032)

^{K_{{min _2^(-1}} 2^(e_-127)

1

X- Spiegazione con esponente e:

NUMERI FINITI (tanti, per precisione singola)

x grande+punto grande

(*

Esegue con

x1 (esxa) 10

=\= 1.63 8

0⁹ Retro

0_10⁰*0.sup>38 (+)

+38+1 invisibile sopra...

x-min (punto e1.s.,

prossime logiche

1. - X per rappresentato in modo esclusi - numeri finiti
2. |x| < |xmin| con pe
3. 2- x- ^{Consintendonodi calcolo|-ERRORE}

se X- s+signumx' o segno 'q'.

1. ^
2. Con approximante 0

d è minimo con troncamento

o,di,di_d o con arrotondamento a

^dis.Distribuzione dei numeri finiti

_piano e

Procedimento:

1. Si assegna lo 0 arbitrario con il ^th …
2. Calcolo un vettore …
3. Si definisce …

lim_{k → ∞} x_k+1 = x_k / |x_k||

(La successione {x_n} ha la velocità di convergenza governata dal rapporto)

|λ₂| / |λ₁|

Esercizi

1. Perché non vale la prop. associativa della somma. Fai esempio: x = 0,1234567 x 10⁰ y = 0,6666325 x 10⁰ z = -0,6666325 x 10¹f((x + y) + z) = ((0,1234567 + 0,6666325) x 10⁰ - 0,6666325 x 10¹)f((x + (y + z)) = (0,1234567 + (0,6666325 - 0,6666325) x 10¹) x 10⁰ = 0,1230000 x 10¹
2. Non vale prop. distributiva nel prodotto x = 0,2; y = 0,9; z = 0,1 x 10^-0f(x(y + z)) = (0,2(0,9 + 0,1) x 10^-0) = 0,2 x 10^-0 = 0,67 x 10^-0(X x (y + z)) - y = (0,9(0,9) + (0,9-0,9)x 10^-0) = 0,36 x 10^-0
3. Non vale l'invar. degli el. neutro rispetto alla somma quello questo non fa risp.0,91 + 0,9 x 10^-1= 0,91 + 0,1 x 10^-0 = 0,1 x 10^-0 = 2,10^-3 x 10⁰
4. Non vale l'immutabilità del prodotto Sarebbe: x' = (e1) so y po me non cal ex e vloio tempo precisor x^-1=(0,1 x 0,91)^-x2 x 0,91 x 0^-0 = 0,1 (est 50 int)
5. Cancellazione di cifrex' = -0,91 x 10^-0 y = 0,91 x 10^-0 z = 0,8123 x 10^-4 → '2 r(-0,91 x 0,0000123)x 10^-0 = 9,100123 x 10^-0 Ma f((y + z)^-0) momotienzia (runtal) 0,0200 = 1.10⁰ Facendo peril, x' = -0,91 y.2.1 = (0,91 + 0,1 x 10^-0) 0,00001 10⁰ = 0,1 x 10^-3

ES. di RIPASSO (CAP 2)

CAP 2.1

• Dati a₁..._n n vettori e n² coefficienti. Si fa combinazione lineare di vettori. Vettore a₁..._n, dove a₁..._n si chiamano coefficienti della combinazione.
• PSEUDO-COEFFICIENTE

CAP 2.2

• PSEUDO-COEFFICIENTE

CAP 2.3

• C_ij, vedi foglio ex già dati.

CAP 2.4

• già digitato

CAP 2.5

• Vedi dispensa IMPL. LAVORAZIONI DI BLOCCHI DI ARRAY da P. 4 a 6

CAP 2.6

• già visualizzato in dispensa

Pseudo-codifiche:

coeff. binomiche

x_i = b_i/^bC_i

for i = 0, 1, ..., n

Toli

ar(0) = 1; ar(1) = (1,1)

x_i = a_i - a_i+1

Triu

S = 0

for i = 1, ..., nⁿ⁺¹ - 1

for j = i+1, ..., n

S = S + 2j

m ← (b-2)/a_i

end

Metodo di Thomas

p_i = b_i/a_i

v_i = d_i/a_i

x_n ← v_n

for i = n-1, 1

x = v_i - C_i x_i+1

end for

end

TABELLA Complessità computazionale

• prodotto scalare : n
• triade : n²
• matrice x matrice : n³
• sist. diag : n
• sist. triangolare : n²/2
• sist. tridiagonale : n

SISTEMI LINEARI COMPLESSI

Un metodo alternativo è ricondursi ad un sistema lineare a coefficienti reali da dimensionare doppio.

Cioè:

b = b₁ + i b₂

x = u + i v

Re (A x) = A₁u - A₁v b₁

Im = A₁u + A₁v - b₂

Esempio:

A = ¹/₂ ^{1 3 3 0}

A₂ = ¹/₃ ^{0 1}

b = ^{7 + 3 i 2 - 3 i}

b₁ = ^{7 2}

b₂ = ^{3 3}

Trovo L R P d y e confronto

METODO QR per sistemi lineari

1) Due vettori x e y sono:

● VETTORI ORTOGONALI: prodotto ^tx y = 0 con x ≠ 0

● VETTORI ORTONORMALI: quando la loro norma euclidea è uguale ad 1

Se n vettori x₁, ..., x_n reali sono due a due tra loro ortogonali, allora sono linearmente indipendenti.

Def.: Prendendo matrice Q, eseguendo la moltiplicazione per ^tQ ottendendo

Q = (q₁, ..., q_n) ^tQ = (^tq₁, ..., ^tq_n)^t

una matrice è ortogonale quando ha per colonne vettori q₁, ..., q_n ortonormali.

Proprietà: E non singolare o Q^-1 = Q^t

q^t_i q_j = {0 se i ≠ j1 se i = j}

Q Q^t = (Q^tQ) = I ^t x e Q^tQ = I

||Qx||₂ = ||x||₂ ⇒ 10x||₂

(y^tQ)^t(Qx)^tt(Qx) = x^tQ Q^tx= x^tx =||x||₂

sono matrici di rotazione

→ Haurlin test (Greene G = (s, s)) dove q^t_s ortogonali→O, c

ottenere vettori componenti su un dato asse.

Colonne della matrice di permutazione sono ortogonali:

m è pari: P ^t = P^-1m è dispari P ^t Q ^-1

→ matrici di permutazione sono diagonali

Importante:

● Una matrice A ortogonale è simmetrica e tale che Q s = I

● Una matrice ottenuta dal procedimento di matr. ortogonale è ortogonale (P ⊕ P' )

q₁, q₂, ..., q_n ort. o Q = {a₁, a₂, ... a_n} sc. 2 q^t_i = q_k a = Q^-1Q

PROCEDIMENTO DI ORTOGONALIZZAZIONE GRAM-SCHMIDT A=QR

Si possono determinare q₁, ..., q_n vettori mutuamente ortogonali e ortonormali a partire da n vettori a₁, ..., a_n linearmente indipendenti

q₁ = a₁+ v₂q₁q₂ = a₂ + v₁q₁ + v₂q₂ + v₃q₃

con v_ij = ^tq_i q_j ( i = 1, ..., j-1)

q^‖‖e|| = (x^ta₁)² + (x^ta₁)²

||q_i = ax_i q_{‖_}q^tq_i i = 1,..., j-1

Se invece si vuole costruire un insieme q fonte vettori ortonormali, allora ogni vettore q_i deve essere diviso per la sua norma euclidea

q₁ = a₁q₂ = a₁ q₂ - 1/¹q^t q₁ + a₂ a₃ 1 ^x_q^t(q₂ q_n)

q_n = (a_n) _i=1,...,n-1 1/^tqiq_i a · q^t_i

Infine si ottiene la matrice R(triu) composta degli coefficienti r_ij

e la matrice Q = (q₁, ..., q_n)