Aritmetica del calcolatore e algoritmi numerici
Floating point (numeri finiti)
Il problema principale è che abbiamo un numero finito di bit per la scrittura di un numero. Si possono rappresentare solo numeri finiti di numeri reali in base 2 (alla floating point). Convenzione scrittura in forma: ±1.mantissa * 2(±e), es.s.2 bit (verifica tabelle delche) con de=1.
Per immagazzinare il valore di e occorre stabilire un certo "bias", es: Emin...Emax. Ovvero con l'e bit positivo assumiamo numeri naturali che vanno da 0 a 255, ma è più conveniente passare dalla diversa da -126 a +127 (per 32 bit e +1022 eps -1023 (per 64 bit).
Abbiamo due configurazioni particolari: e bits tutti = a zero → si ha la rappresentazione dello zero se tale che bit e = 0 0 si 0 0 numeri denormalizzati se "k" bit = 1 se tale che e = 0 si ha il rappr del 0 se tale che si hi: NUMERO Nun (±∝1. bax).
Errori nella rappresentazione
Abbiamo 4 casi:
- X rappresentato in modo corretto con numerò finito
- |X| > |xmin| con pe Emin e x in underflow
- X approssimato a 0
- |X| > |xmax| con pe Emax e si va in overflow
p ∈ [Emin, Emax] ma la mantissa di x non è rappresentabile con le cifre; allora x è approssimato da un numero finito x con la minima approssimabile di m:
se ho: x = sign(m) • 1.q con m = de. q si (±dsf se 0.psd) approssimo al x = sign(m) • q E m, de di con troncamento de.di con maggiore mostranamento.
Distribuzione dei numeri finiti
La loro distribuzione non è uniforme e la loro densità decresce con l'aumento del modulo dei numeri. Si addensano vicino all'origine.
Floating point (numeri finiti)
Il problema principale è che abbiamo un numero finito di bit per la scrittura di un numero. Si possono rappresentare solo numeri finiti di numeri reali in base 2 (allo IEEE floating point).
Convenzione: scriviamo in forma 1.sssss x 2e su bits con da = 1. Per immagazzinare il valore di e occorre ridurre un certo "bias" ossia Emin |λ₂| ≥ … ≥ |λₙ| > 0.
Procedimento
- Si assegna x0 ottenuto con il 20 metodo (in modo da calcolare U1 per Un-1).
- Si calcola un vettore Ck = AXk-1.
- Si definisce Xk = Ck/Ck.
lim Xk = x1 quando k→∞ ||X1|| ⇒ La successione {Zk} ha la velocità di convergenza governata dal rapporto |λ₂|λ|/||λ₁||. Tanto è più piccola e saranno necessarie tante meno iterazioni per ridurre l’errore al di sotto di un costo soglia prefissato.
Esercizi teorici
- Notazione posizionale mista: Da una cifra per esempio 12,34 dove la parte a sinistra del punto è detta parte intera e a destra parte frazionaria.
- Notazione scientifica è la rappresentazione di qualunque numero dove compare esplicitamente.
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