Calcolo numerico e linguaggio software + Matlab - Appunti completi

CALCOLO NUMERICO E SOFTWARE MATEMATICO: INDICE

LEZIONE A: Aritmetica del calcolatore e prime approssimazioni

Lezione A1

Lezione A2

Lezione A3

Lezione A4

LEZIONE B: Equazioni algebriche 1

Lezione B5

Lezione B6

Lezione B7

Lezione B8

LEZIONE C: Equazione algebriche 1

Lezione C9 CONSIZIONAMENTO SISTEMI

Lezione C10 SISTEMI LINEARI SEMPLICI

MATLAB

Lezione C11 VETTORI E MATRICI

Lezione C12 ELIMINAZIONE DI GAUSS

Lezione C13 GAUSS CON PIVOTING

MATLAB

Lezione C14 OPERAZIONI VETTORI-MATRICI

Lezione C15 MATRICI DEFINITE E SEMIDEFINITE, FATTORIZZAZIONE DI CHOLESKI

Lezione C16 ALGORITMI VETTORI-MATRICI + MATLAB

TEORIA

Lezione C17 ANALISI DELL'ERRORE ALL'INDIETRO

Lezione C18 RISOLUZIONE SISTEMI LINEARI + MATLAB

Lezione C19 ORTOGONALIZZAZIONE, FATTORIZZZIONE QR

MATLAB

Lezione C20 FATTORIZZAZIONE QR

LEZIONE E: Approssimazione di dati e funzioni

Lezione E21 POLINOMI

Lezione E22 POLINOMI DI INTERPOLAZIONE + MATLAB

Lezione E23 APPROSSIMAZIONE AI MINIMI QUADRATI + MATLAB

Lezione E24 SPLINE DI INTERPOLAZIONE

TEORIA

Lezione E25 CONVERGENZA POLINOMIO E SPLINE

LEZIONE F: Approssimazione di dati e funzioni

Lezione F26 DERIVAZIONE NUMERICA

Lezione F27 INTEGRAZIONE NUMERICA

TEORIA

Lezione F28 QUADRATURA GAUSSIANA

Lezione F29 INTEGRAZIONE COMPOSTA + MATLAB

LEZIONE G: Equazioni algebriche 2

Lezione G30 CALCOLO DEL PUNTO FISSO + MATLAB

Lezione G31 METODO DI BISEZIONE, FALSA RIGA, NEWTON + MATLAB

Lezione G32 METODO DI NEWTON PER SISTEMI

LEZIONE H: Equazioni algebriche 3

Lezione H33 AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Lezione H34 DIAGONALIZZAZIONE, AUTOVALORI MATRICI COMPLESSE E SIMMETRICHE, CERCHI DI

GERSGORIN, NORMA SPETTRALE

TEORIA

Lezione H35 METODO DELLE POTENZE E DELLE POTENZE INVERSE + MATLAB

TEORIA

Lezione H36 METODO QR ITERATIVO + MATLAB

Lezione H37 METODI ITERATIVI DI JACOBI E DI GAUSS-SEIDEL

MATRICI

B5

Si identifica un elemento della matrice A di m righe e n colonne con la scritta a (i identifica la riga, j

ij

identifica la colonna).

quadrata

La matrice è detta di ordine n se m=n.

triangolare inferiore sono nulli per i<j (zeri al di sopra della diagonale), mentre

A è una matrice se i valori a ij

triangolare superiore

è detta se sono nulli per i>j (zeri al di sotto della diagonale): nel caso siano verifica

diagonale

entrambe, la matrice è detta (a ≠0 per i=j).

ij

vettore colonna

Una matrice m*n è detta per n=1.

simmetrica . Una matrice diagonale è sempre simmetrica.

A è detta se A=A T

uguali

A e B sono dette se A=B, cioè se a =b per tutti i valori di i e j.

ij ij

matrice trasposta A T ottenuta scambiando le

Si definisce della matrice quadrata di ordine n A, la matrice

righe per le colonne della matrice di partenza.

matrice inversa A -1

Si definisce della matrice quadrata di ordine n A, la matrice tale per cui: A*A =I

-1

Non sempre esiste

• Per calcolarla si moltiplica la matrice per delle variabili, si pone poi a sistema con i valori della matrice

• identità.

(A*B) =B *A

-1 -1 -1

• (A ) =A

-1 -1

• (αA) =(1/α)*A

-1 -1

• (A ) =(A )

T -1 -1 T

•

La somma di due matrici consiste nella somma di ogni elemento corrispondente fra le due matrici: A+B=C

cioè a +b =c

ij ij ij

È possibile effettuare la somma solo se A e B hanno le stesse righe e colonne

• A+B=B+A

• (A+B) =A +B

T T T

• A+0=A

•

Il prodotto fra matrice e numero scalare consiste nella moltiplicazione di ogni componente della matrice

]

per il numero scalare: A*α= [α*a ij

Date due matrici A di ordine m*p e B di ordine p*n, il prodotto fra le due matrici è dato dalla regola del

prodotto riga*colonna: A*B=C con c =∑ a *b (k va da 1 a p)

ij k ik kj

Le due matrici devono avere uguale il numero di colonne della prima col numero di righe della

• seconda: ciò che ne deriva è una matrice C di ordine m*n, avente il numero di righe della prima e il

numero di colonne della seconda

A*B≠B*A

• A*0=0

• A*I=A

• (A*B) =B *A

T T T

• commutano

Si dice che due matrici se A*B=B*A

• sottomatrice

Si dice che la matrice B è una di A se B è composta da alcuni valori presenti in A. La matrice A

può essere quindi scomposta in sottomatrici e rappresentata come una tabella di queste (invece che come

una tabella di elementi).

Valgono le stesse definizioni di matrice triangolare inferiore/superiore a blocchi e matrice diagonale a

• blocchi.

Valgono le stesse regole per la somma, prodotto per scalare e prodotto fra matrici anche per le

• matrici partizionate a blocchi

B6 permutazione

Data la matrice identità di ordine n I, si ottiene la matrice di P scambiando fra loro la

posizione delle righe. Moltiplicando una matrice per una matrice di permutazione, si ottiene una matrice di

permutazione di A con le corrispondenti righe invertite (es. P con riga 2 e 4 invertite, dunque P *A=A con

24 24

le righe invertite, mentre A*P =A con le colonne 2 e 4 invertite.

24 24

Una matrice di permutazione elementare è simmetrica

• P *P =I

• rs rs

La matrice inversa è equivalente alla matrice stessa, dunque anche alla matrice trasposta:

• P =(P ) =(P )

T -1

rs rs rs

B7

Data una combinazione lineare di vettori (somma fra prodotto di vettori e numeri scalari), si dice che i

linearmente dipendenti sono

vettori sono se la loro somma è pari al vettore nullo se non tutti i numeri α i

linearmente indipendenti

nulli. Si dice invece che i vettori sono se per ottenere i vettore nullo dalla loro

somma, tutti i coefficienti α devono essere nulli.

i

I vettori unità sono fra loro linearmente indipendenti

• N vettori sono linearmente dipendenti fra loro se e solo se uno di questi è una combinazione lineare

• degli altri a a a

Assegnata la matrice A, m*n, siano , , ..., , i suoi n vettori colonna a m componenti. Se r (r≤n) é il

1 2 n a a a

numero massimo di vettori linearmente indipendenti che possono estrarsi dalla n-pla di vettori , , ..., ,

1 2 n

rango

si dice che la matrice A ha r.

Il rango della matrice identità è n

• Si dice che la matrice A ha rango massimo se il rango è pari al numero delle colonne (r=n).

• norma infinito

Si definisce di un vettore il valore assoluto massimo delle componenti del vettore. La norma

infinito di una matrice è il massimo valore ottenuto dalla somma dei valori assoluti delle componenti di una

colonna. x=0

||x||≥0 e ||x||=0 se e solo se

• ||α*x|| = |α|*||x||

• ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

• ||A*x|| ≤ ||A||*||x||

• norma Euclidea

Si definisce di un vettore a n componenti il modulo del vettore, calcolato come:

T

||x|| =sqrt(x +…+x )=sqrt(x *x)

12 n2

2

Valgono le stesse proprietà per la norma infinito

• Vale poi che: ||x|| ≤ sqrt(n)*||x|| e ||x|| ≤ ||x||

• 2 2 ortogonali x *y=0

T

Dati due vettori di n componenti reali, i due vettori si definiscono se

ortonormali

Due vettori ortogonali sono se la loro norma Euclidea è 1. Da due vettori ortogonali si possono

ottenere sempre due vettori ortonormali, dividendoli per la loro norma Euclidea.

C15 semidefinita positiva x

Una matrice quadrata A è detta se per ogni vettore di n componenti reali vale:

x

T Ax≥0 x≠0

definita positiva: x

T Ax>0 e

Se ogni elemento del vettore x deve essere non nullo, allora A è detta

semidefinita negativa definita positiva.

Analogamente si possono definire matrici e indefinita.

Se la matrice non soddisfa nessuna delle precedenti preposizioni, allora è detta

Data una matrice B, m*n, m > n, se B ha rango massimo, ovvero ha le n colonne linearmente

• *B è definita positiva.

indipendenti, allora la matrice simmetrica di ordine n, A=B T

Data una matrice B, m*n, m > n, se B non ha rango massimo, allora la matrice simmetrica di ordine n,

• A=B *B è semidefinita positiva.

T

Data una matrice B, m*n, m > n, allora la matrice simmetrica di ordine m, A = B*B é semidefinita

T

• positiva.

Data una matrice B di ordine n, se B è non singolare, allora le matrici simmetriche di ordine n, A=B *B

T