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Proprietà delle matrici simmetriche

Data una matrice B, m*n, m > n, allora la matrice simmetrica di ordine m, A = B*B é semidefinitaT• positiva.

Data una matrice B di ordine n, se B è non singolare, allora le matrici simmetriche di ordine n, A=B *BT• e A=B*B sono definite positive.

Data una matrice B di ordine n, se B è singolare, allora le matrici simmetriche di ordine n, A = B *B eT• A=B*B sono semidefinite positive.

Valgono le seguenti proprietà:

1. Se A è definita (o semidefinita) positiva, allora -A e definita (o semidefinita) negativa
2. Se A è definita (o semidefinita) positiva, allora a*A è definita (o semidefinita) positiva per ogni valore di a>0
3. Se A è definita (o semidefinita) positiva, allora i suoi elementi diagonali sono positivi, A e A
4. Se A è definita (o semidefinita) positiva, allora lo sono anche AT -1 2
5. Se A è definita positiva, allora il suo determinate è positivo: dunque una matrice definita positiva

ènon singolare6. Se una matrice diagonale A ha gli elementi positivi, allora è definita positiva: se gli elementi diagonalisono positivi e nulli, allora A è semidefinita positiva.

7. Se due matrici simmetriche A e B sono definite positive, lo è anche la matrice diagonale a blocchiformata da queste

8. La somma di due matrici simmetriche definite positive (o una definita e l'altra semidefinita) è unamatrice definita positiva

9. Le sottomatrici di una matrice simmetrica definita positiva sono matrici definite positivecriterio di SylvesterSi introduce il che afferma che una matrice simmetrica A è definita positiva se e solo se(k=1, …, n-1) sono positivi.i determinanti delle sottomatrici principali, Akfattorizzazione di CholeskiLa consiste nel ridurre la matrice A, definita positiva e simmetrica, nellamoltiplicazione di una matrice triangolare inferiore L con elementi diagonali positivi per la sua trasposta:. Il procedimento del fattore L

Il metodo di Choleski è ottenuto mediante la procedura di pavimentazione: A=L*L^T poiché A è simmetrica, i calcoli si riducono ai soli valori corrispondenti alla parte triangolare inferiore di A. I prodotti riga-colonna sono eseguiti a partire dal primo elemento all'ultimo elemento diagonale: in questo modo, i vari elementi della matrice L sono ricavati dal primo all'ultimo. Da qua si ricava che una matrice A è definita positiva se la matrice L è non singolare triangolare inferiore con elementi diagonali positivi.

Calcolato questo si devono poi risolvere due sistemi lineari in sequenza: Ly=b e L^Tx=y, rispettivamente con il metodo di sostituzione in avanti e all'indietro.

Una matrice è detta ortogonale se è formata da vettori a due a due ortonormali. Il prodotto fra la matrice ortogonale Q e la sua trasposta Q^T è uguale alla matrice identità: Q*Q^T=I. Se Q è una matrice ortogonale, la sua norma 2 è

Pari alla norma 2 di un vettore reale. Matrice di Givens: Si definisce la matrice di Givens ed è utilizzata per effettuare rotazioni di vettori rappresentati da array sul piano cartesiano: è composta da elementi c e s nella prima riga, -s e c nella seconda riga e deve valere che c^2 + s^2 = 1. La matrice G è ortogonale. Dunque le matrici ortogonali sono e possono essere utilizzate per ottenere dei vettori con componenti nulle. Altri esempi di matrici ortogonali sono le permutazioni P. Inoltre, le matrici elementari di permutazione sono simmetriche: la matrice ottenuta dal prodotto di due matrici ortogonali è ortogonale, inoltre Q = I. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt: dati n vettori a, è possibile ottenere n vettori mutuamente ortogonali o ortonormali q. Il procedimento consiste nel porre il primo vettore q1 = a1, q2 = a2 + r21q1 (generalmente qj = aj + rj1q1 + ... + rjj-1qj-1 con i=1, ..., n e j=1, ..., i-1). I fattori r

sono definiti ¹ ₁ ² ₂ ²¹ ₁ i i ij j in maniera tale che i vettori q e q risultino ortogonali: r = -(a *q )/(q *q ) ricordando che due vettori i^T j^T i_j j_j adiacenti se moltiplicati restituiscono 0. Si ottengono vettori fra loro ortogonali: se vogliamo avere vettori ortonormali, dobbiamo dividerli per la=a /||a || ) e in questo caso i coefficienti r sono r =-a *q . Si ottiene la matrice R loro norma 2 (qⁱ T_i j^j j_j triangolare superiore composta dai coefficienti r , la matrice Q=[q , …, q ] da cui A=QR._ij 1 nuDato un vettore di n componenti diverso dal vettore nullo, si costruisce la matrice di ordine n U=I-*u=1/2T Tcon α=(1/2)u * ||u|| : la matrice U è simmetrica e ortogonale, dunque U =I ed è detta(1/α)u*u ²² ₂ matrice di Householder. z≠0 z≠-Ωe eAssegnato un vettore di n componenti, sia Ω= ±||z|| e sia , ove è primo vettore unità di• 1 12e u=z+Ωen componenti, =(1, 0, …, 0) : posto e α=1/2*||u|| si

La matrice elementare di T 221 1 riflettore elementare soddisfa Uz=-Ωe. Questa matrice è anche detta Householder U=I-(1/α)uuT 1. Si utilizza la matrice di Householder per realizzare una fattorizzazione della matrice A=QR, applicando n-1 matrici U per triangolarizzare la matrice A. Il primo passo è di costruire a partire dalla prima colonna della matrice A il vettore =a +Ω *e, con Ω =sign(a)*||a||, si definisce poi la matrice elementare di 1 1 1 1 1 1 1 2, la quale moltiplicata per A si ottiene la matrice A caratterizzata dalla prima colonna Householder U (2)1 composta da elementi nulli escluso il primo che vale -Ω. Il procedimento è ripetuto per le restanti colonne, 1u e sempre ottenendo il vettore dalla somma del vettore colonna e dal vettore .1C20. La fattorizzazione QR di una matrice quadrata A è usata per il calcolo del rango della matrice: il rango della matrice triangolare R è pari al rango della matrice A ed è uguale a r.

Il rango della matrice A è pari al rango della matrice AP con P matrice di permutazione. Per il calcolo del rango, si cerca il vettore colonna della matrice data con norma Euclidea maggiore e lo si scambia con il vettore della prima colonna: a questo punto si calcola la matrice U e la si moltiplica per la matrice data A. Si prosegue indicando i vettori colonna della matrice ottenuta, posizionando nella prima colonna utile il vettore con norma Euclidea maggiore e il procedimento prosegue fino ad ottenere il valore r pari al rango delle matrici R e A (si avanza finché la norma dei vettori rimasti non è nulla, l'indice del procedimento fornisce il rango della matrice). SISTEMI LINEARI Un sistema di m equazioni lineari in n incognite è compatibile se ammette almeno una soluzione, altrimenti si dice incompatibile. La matrice dei coefficienti A estratta dal sistema è composta dai coefficienti delle varie incognite.

Il sistema di equazioni può essere scritto come: Ax=b.

Se m=n, il sistema è detto normale. Se m<n, il sistema è detto indeterminato, mentre se m>n il sistema è detto sovradeterminato.

Se tutti i termini noti sono nulli, il sistema è detto lineare omogeneo e ha come soluzione immediata il vettore nullo (x=0).

Si introduce poi la matrice C=[A, b], composta dalla matrice A e avente il vettore b come ultima colonna.

1. Sia assegnato un sistema di m equazioni lineari in n incognite Ax=b: condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema abbia soluzioni è che la matrice dei coefficienti A e la matrice completa C abbiano il medesimo rango.
2. Ogni sistema omogeneo Ax=0 con un numero di equazioni inferiore al numero delle incognite o x≠0. (m<n) ammette soluzioni non nulle.
3. Sia A una matrice n*n. Allora le seguenti tre proposizioni sono

equivalenti:

• x=0. Il sistema omogeneo Ax=0 ammette soltanto la soluzione nulla
• Per ogni vettore dei termini noti b, il sistema Ax=b ammette un'unica soluzione
• A è non singolare
• x≠0,3

Sia A una matrice n*n: allora il sistema omogeneo Ax=0 ammette una soluzione non nulla, se e solo se la matrice A è singolare. Se la matrice dei coefficienti A (n*n) del sistema normale Ax=b è non singolare, la soluzione di questo sistema è il vettore x=A^(-1)*b. Il determinante di una matrice quadrata di ordine 2 è definito come: det(A) = a11*a22 - a12*a21. Per la regola di Laplace per determinare il determinante di matrici di ordine n, si utilizza la formula det(A)=∑ (-1)^(i+j)*a_ij*det(A_ij) (con j da 1 a n). Se A è una matrice diagonale, il determinante è il prodotto fra gli elementi della diagonale.

• det(I)=1
• det(A)=det(A^T)
• Regola di Binet: det(A*B)=det(A)*det(B)
• Se B è ottenuta da A moltiplicando per α una riga (o una colonna), allora det(B)=α*det(A)

colonna): det(B)=α*det(A)• det(α*A)=α *det(A)n• Se B è ottenuta da A scambiando tra loro due righe (o colonne): det(B)=-det(A)• Se B è ottenuta da A sommando ad una riga (o colonna) un' altra riga (o colonna) moltiplicata per un• numero: det(B)=det(A)Se due o più righe (o colonne) di A sono linearmente dipendenti: det(A)=0• Se A è una matrice diagonale a blocchi, il determinante è il prodotto dei determinanti delle• sottomatrici diagonali matrice aggiuntaData una matrice A quadrata di ordine n, si definisce di A, adj(A) di ordine n, il cuielemento (i, j) è dato da: (-1) *det(A ) dove A è la sottomatrice di ordine n-q ottenuta da A sopprimendoi+j ji jila J-esima riga e la i-esima colonna.Una matrice quadrata A è non singolare se e solo se det(A)≠0 ed è singolare se e solo se det(A)=0•Sia A una matrice di ordine n con determinante non nullo, ovvero è non singolare.

Allora il sistema di nxequazioni in n incognite Ax=b ammette un'unica soluzione di componenti: x =det(A )/det(A), dove A è la matrice ottenuta da A sostituendo alla j-esima colonna il vettore B.

Perturbazione dei sistemi:

Essendo A non singolare, il sistema ammette un'unica soluzione qualunque sia il vettore e si può scrivere: b.x=A^-1.

È possibile calcolare la matrice inversa in 3 casi particolari:

Matrice quadrata di ordine 2: A =1/det(A) * [a22 -a12; -a21 a11]^-1.

Matrice diagonale: la matrice inversa si ottiene invertendo gli elementi della diagonale (a ->1/a).