Calcolo delle probabilità e statistica matematica - variabili discrete

Variabili aleatorie discrete

Bernoulli(p)

Variabile aleatoria in cui ho esito 1 se vinco e 0 se perdo: X = ¹ ₀ ^p _{1 - p}. A = {0, 1} con P(X = k) = p^k (1 - p)^{1 - k}.

Binomiale(n, p)

Schema di prove ripetute di tipo Bernoulliano con numero di prove n fissato a priori; restituisce il numero di successi. X : {0, 1}ⁿ → A = {0, 1, 2,..., n} con P(X = k) = ⁽ⁿ⁾ _k p^k (1 - p)^{n - k}.

NB: X ~ Binomiale(n, p)     X = ⁿ _{i = 1} ∑ X_i con X_i ~ Bernoulli(p) indipendenti.

Geometrica(p)

Schema di prove ripetute di tipo Bernoulliano; restituisce il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo. X : {0, 1} ^∞ → A = {1, 2, 3...} con P(X = k) = p (1 - p)^{k - 1}.

NB: X ~ Geometrica(p) vale la proprietà di assenza di memoria: preso m > 0 intero si ha P(X = k + m | X = k) = P(X = m).

BinomialeNegativa(r, p)

(Generalizzazione Geometrica) Schema di prove ripetute di tipo Bernoulliano; restituisce il numero di prove necessarie per ottenere i primi r successi. X : {0, 1} ^∞ → A = {r, r + 1, r + 2...} con P(X = k) = ^{(k - 1)} _{(r - 1)} p^r (1 - p)^{k - r}.

NB: X ~ BinomialeNegativa(r, p)     X = ^r _{i = 1} ∑ X_i con X_i ~ Geometrica(p) indipendenti.