Calcolo della probabilità e statistica matematica, Malvestuto

Corso di Calcolo di Probabilità e Statistica Matematica di V

9) Si lancia un dado fino a che non appare il 6. Qual è la probabilità che ciò accada al primo colpo? al

secondo? al terzo? al decimo? Quanti lanci servono per essere sicuri a priori di vedere comparire il 6?

10) Stai giocando una mano di poker con 3 amici (carta minima = 7). E’ in corso la distribuzione delle

carte. Qual è la probabilità che tu ti veda servire:

a) una scala reale massima di cuori?

b) una scala reale di cuori qualsiasi?

c) una scala reale qualsiasi?

d) un poker qualsiasi?

e) un full?

f) un tris d’assi?

Suggerimento: ignorare la presenza degli altri giocatori, quello che conta è che si estraggono 5 carte a

caso da un mazzo che è composto in un certo modo.

Nota: Le risposte a questi dieci problemi saranno date nella lezione n. 2 insieme al procedimento

risolutivo.

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Corso in Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica (V. Malvestuto)

LEZIONE 2

La definizione classica generale di

Probabilità e il paradosso di Bertrand.

Le tre scuole: assiomatica,

frequentistica, soggettivistica. Chi ha

ragione?

La definizione classica originaria di probabilità di un evento come rapporto fra numero di casi

favore-voli e numero di casi possibili, purchè tutti equiprobabili, è carente sotto vari punti di vista.

Esaminiamo tre obiezioni di cui solo le ultime due sono significative.

1) La definizione classica sottintende un circolo vizioso. Infatti nel definire la probabilità di un evento

si invoca il concetto stesso che si vuole definire, nell’istante in cui si parla di eventi equiprobabili. In

realtà questa obiezione è sofistica e accademica. E’ vero che il termine equiprobabile richiede già una

certa conoscenza del concetto di probabilità. Ma si può facilmente rispondere con un postulato

preliminare: N eventi diconsi equiprobabili se non esiste alcun motivo, né fattuale né di principio, per

pensare che qualcuno di essi si verifichi con una frequenza maggiore di qualsiasi altro. Come si vede, in

questa definizione non si fa ricorso al concetto di probabilità, bensì a quello di frequenza. Il suddetto

postulato è generalmente noto come “principio di indifferenza”. A ben riflettere, anche il concetto di

temperatura viene definito presupponendo che si sappia almeno riconoscere in anticipo se due corpi

hanno la stessa temperatura. Nell’apparato logico della termodinamica la definizione di corpi isotermici

viene presupposta e precede la definizione operativa di temperatura, quella cioè che mette in grado il

fisico di associare un numero alla grandezza stessa. La verifica che due corpi siano isotermici si può fare

infatti senza misurarne la temperatura, ma semplicemente mettendoli in contatto termico e controllando

che non vi sia passaggio di calore fra loro né in un senso né nell’altro.

2) La definizione classica di probabilità ha un ambito di applicabilità troppo angusto. Per esempio,

non sarebbe possibile valutare la probabilità che un ago, libero di ruotare in un cerchio, si fermi

casualmente all’interno di un qualsiasi assegnato settore del cerchio. Qui il problema nasce dal fatto che

sia i casi possibili, sia casi i favorevoli sono infiniti, tanti quante sono le diverse possibili posizioni finali

dell’ago all’interno di un angolo prescelto comunque piccolo. Per giunta tali infinità sono infinità con la

potenza del continuo. Ma anche l’intervento di infinità di tipo numerabile vanifica l’applicabilità della

definizione classica. Qual è la probabilità che un intero positivo, scelto a caso, sia multiplo di 5? Ognuno

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sa che tale probabilità è 1/5, ma tale risposta, in sé banale, non può ricavarsi usando semplicemente la

definizione classica originaria di probabilità, perché sia la totalità dei numeri interi (i casi possibili) che

la totalità dei multipli di 5 (i casi favorevoli) sono un’infinità di numeri. Come si possa superare questa

limitazione si dirà più avanti, il che ci consentirà di arrivare alla definizione classica estesa ed anche al

paradosso di Bertrand. Per ora, esaminiamo la terza obiezione, il che ci darà modo di discutere il punto di

vista della scuola frequentistica.

3) Un altro limite troppo restrittivo insito nella definizione classica di probabilità è la richiesta che gli

eventi elementari usati come casi possibili siano tutti equiprobabili. Facciamo qualche esempio. Qual è

la probabilità che durante il 2002 qualche fulmine cada all’interno del Grande Raccordo Anulare di

Roma? Possiamo dare una risposta convincente a questa domanda solo esaminando le statistiche per

esempio dell’ultimo secolo. Se dal 1901 al 2000 sono stati 25 gli anni nei quali si è registrato almeno un

fulmine caduto nell’area delimitata dal GRA, allora è ragionevole pensare che la probabilità richiesta sia

¼ , cioè 25%, dato su cui si baseranno le compagnie di assicurazione per stipulare le loro polizze di

assicurazione che coprono i casi di infortunio e di incendio. La definizione classica invece non ci è di

alcun aiuto per determinare il suddetto valore di probabilità. Infatti non è possibile per un evento del

genere individuare a priori dei casi possibili, né dei casi favorevoli, contando i quali valutare la

probabilità richiesta. E’ vero che il valore ottenuto si presenta ancora come il rapporto fra due numeri: il

numero di anni in cui è caduto qualche fulmine, e il numero totale di anni presi in esame. Ma questi

numeri non possono considerarsi come numero di casi favorevoli e numero di casi possibili secondo la

definizione classica, perché questi andrebbero determinati a priori, indipendentemente dai fatti osservati.

Quello che invece si è fatto è calcolare semplicemente una frequenza relativa su un numero elevato di

fatti osservati e assimilarla alla probabilità. Difatti una frequenza relativa per un dato evento è definita

proprio come il rapporto fra il numero di volte in cui un evento si è effettivamente verificato e il numero

totale di osservazioni fatte. Nel caso di un dado il procedimento equivale a rinunciare a prendere in

considerazione la simmetria delle facce del dado, lanciare il dado un gran numero N di volte, registrare

quante di queste volte compare il 6 sulla faccia superiore, diciamo n, e identificare la probabilità col

rapporto n/N, rapporto che in realtà è la frequenza relativa osservata del 6. Questo procedimento di

identificare frequenza relativa di un evento con la sua probabilità (punto di vista che è stato proposto e

sviluppato a partire dagli anni venti da von Mises e Reichenbach, capiscuola della così detta scuola

frequentistica) ha diversi difetti, se adottato in modo radicale. Primo, è un procedimento tautologico,

perché il valore della definizione di probabilità consiste nel fatto che, pur essendo la valutazione di una

probabilità indipendente in linea di principio dall’osservazione fattuale, il suo valore è ben approssimato

da tutti i valori di frequenza relativa per lo stesso evento che si possono desumere dall’esperienza. Se

invece postuliamo che la probabilità coincide con la frequenza relativa, tale identità risulta banalmente

vera in virtù di una petitio principii, il che svuota completamente di significato l’impegno, insito nella

definizione classica, di predire alcune proprietà dei fatti osservati facendo ricorso esclusivamente ad

un’analisi speculativa a priori basata sul riconoscimento delle simmetrie implicite nel fenomeno in

esame. Secondo difetto, se proviamo a calcolare la probabilità come una frequenza, sorge il problema di

quanta statistica vada usata per calcolare la frequenza. In effetti, nel problema del fulmine dentro il GRA,

si poteva prendere come campione di riferimento non un secolo, ma gli ultimi 50 anni, oppure due secoli,

e le risposte sarebbero state sicuramente diverse: avremmo facilmente ottenuto 28% o 22%, invece che

25%. Allora qual è il vero valore della probabilità in questo problema? Mentre la frequenza di un evento

calcolata su campioni di taglia diversa può differire da caso a caso, il concetto di probabilità dovrebbe

misurare una proprietà costante dell’evento, una sua caratteristica intrinseca, indipendente cioè dal

numero di volte che noi siamo disposti ad osservarlo. Altrimenti non sarebbe sensata l’introduzione

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stessa del concetto di probabilità e potremmo benissimo accontentarci di parlare solo di frequenze. La

scuola frequentistica ha cercato di risolvere questo problema, ma lo ha fatto nel modo più cretino

possibile: la soluzione proposta è che, mentre il calcolo di una frequenza richiede un numero finito di

osservazioni, per calcolare la probabilità dell’evento ne occorre un numero infinito! Infatti la probabilità

viene definita dai frequentisti come il limite della frequenza relativa di un evento quando il numero di

osservazioni tende a infinito! Questa scelta è il suicidio stesso del punto di vista frequentistico. Questa

scuola di pensiero, partita da un’impostazione pragmatica e strettamente empirica, in antitesi alla pretesa

impostazione idealistica insita nella definizione classica, finisce in un gesto utopistico disperato, cioè

l’introduzione di un’irrealizzabile infinità di atti osservativi, che preclude per principio un vero controllo

basato sui fatti osservabili. Nata insomma con la pretesa di fornire una definizione concreta e operativa di

probabilità, la scuola frequentistica approda, per risolvere le sue difficoltà interne, ad una definizione che

per sua stessa struttura è antitetica a tutti i principi dell’operazionismo. Purtuttavia l’approccio

frequentistico è tuttora molto diffuso, soprattutto nelle facoltà di statistica e fra gli statistici professionisti

e gli attuari, i quali nel loro lavoro hanno molto più spesso a che fare con problemi come quello del

fulmine, piuttosto che col lancio di dadi. In effetti, bisogna riconoscere che, quando è impossibile,

esaminando il fenomeno, rintracciare un numero sufficiente di simmetrie nelle sue modalità di accadere,

e individuare quindi sia un insieme di casi possibili tutti equiprobabili, sia, al suo interno, il sottoinsieme

di casi favorevoli all’evento preso in considerazione, il punto di vista frequentistico indica, in mancanza

di meglio, una via praticabile per dare una valutazione della probabilità dell’evento. Ma in tal caso

occorre essere consapevoli che tutto quello che si ha è una stima più o meno approssimata della

probabilità che si cerca, non il valore vero della probabilità. Abbiamo però acquisito comunque un

risultato importante. Così facendo, siamo in grado di estendere il concetto di probabilità e di usare tutto

l’armamentario del calcolo delle probabilità per tentare predizioni su eventi sui quali non avremmo

altrimenti nulla di quantitativo da dire. Purtroppo un frequentista puro è costretto ad andare oltre e,

mentre guadagna un ambito di fenomeni alla sua capacità di analisi, ne perde uno altrettanto vasto.

Infatti, se gli si presenta un dado nuovo di zecca, anche se è stato lui stesso a costruirlo con le sue mani,

ponendo la massima attenzione ad evitare di privilegiare in alcun modo nessuna delle sei facce, e se gli si

chiede qual è la probabilità che lanciandolo esca il 6, egli non può che rifiutarsi di rispondere e

ammettere la propria assoluta ignoranza in merito. Solo dopo aver osservato migliaia di lanci di quel

dado, potrà egli calcolare la frequenza relativa del 6 ed arrivare ad una stima della probabilità in

questione. Un altro tipico problema davanti al quale un frequentista viene colto da paralisi afasica è il

seguente: qual è la probabilità che prendendo un pianeta a caso nella galassia esso sia abitato oggi da

esseri intelligenti con una civiltà tecnologica? C’è un modo di ragionare speculativo (cfr. ad esempio P.

Angela, 1981: “Nel cosmo alla ricerca della vita”, 2.a ediz.,Garzanti,Cap. 6), molto vicino al punto di

vista classico, che porta a valutare questa probabilità come prossima ad uno su un milione (e quindi a un

numero enorme di civiltà tecnologiche attualmente esistenti nella nostra galassia). Il frequentista, dal

canto suo, per rispondere alla stessa domanda cercherà nell’unica statistica per ora disponibile. Si

conoscono solo 9 pianeti di cui uno abitato da esseri intelligenti (intelligenti ?). Quindi l’unica frequenza

disponibile è 1/9, cioè circa l’11%. Ma il campione è così poco numeroso (e così poco indicativo) che

egli non crederà assolutamente a questi numeri e si vedrà costretto a tacere del tutto. In più considererà

priva di qualsiasi fondamento la stima fatta con qualsiasi altro metodo, il che ci lascia senza uno straccio

di risposta. Anche nel caso in cui si chieda ad un frequentista di valutare la probabilità che un intero

positivo sia multiplo di 5, egli dovrà rinunciare a rispondere, a causa dell’enorme difficoltà di procurarsi

un campione casuale rappresentativo dell’insieme dei numeri naturali. E invece la risposta al quesito è di

una banalità disarmante, 20%. Ebbene, a mio avviso, siamo qui davanti ad un ottuso eccesso di scrupolo.

Non ogni conoscenza ci viene dall’esperienza, come hanno chiarito le indagini degli strutturalisti intorno

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alla metà del Novecento. A volte l’informazione proviene addirittura da una completa ignoranza. Se non

si ha nessun motivo per privilegiare alcuna di N diverse ipotesi, il cosiddetto principio di indifferenza

autorizza un soggetto razionale ad assegnare a priori a ciascuna di queste ipotesi una probabilità pari a

1/N, senza necessità di condurre nessuna osservazione pratica. Certo, un dado può essere truccato, ed

allora, se lo sospettiamo, non c’è motivo di considerare equiprobabili le sei facce. In tal caso il principio

di indifferenza non può essere usato. I casi sono sì ancora 6, ma non sono più equiprobabili e quindi la

definizione classica di probabilità non è di alcun aiuto. Allora sì che si è costretti ad adottare la cautela

dell’approccio frequentistico, cioè ad aspettare di aver fatto molti esperimenti prima di pronunciarsi sul

valore della probabilità dell’evento. Adottare questa cautela quando non v’è motivo, è d’altro canto una

auto-limitazione troppo drastica, che invece di arricchire ed estendere il concetto di probabilità lo

impoverisce declassandolo in tutti i casi al rango di una frequenza relativa, per giunta mai misurabile

esattamente per sua stessa definizione.

Torniamo ora all’obiezione n. 2. Come valutare una probabilità quando i casi possibili non sono in

numero finito? Se i casi favorevoli sono in numero finito, il problema non esiste. Un numero finito diviso

un numero infinito dà zero. Per esempio la probabilità, scegliendo a caso un intero positivo, che si tratti

di un numero inferiore a 1000, è zero. Ma che fare se anche i casi favorevoli sono in numero infinito?

L’esempio dei multipli di 5 in realtà comporta qualche sottigliezza. Il numero dei casi favorevoli è

infinito. Ora si potrebbe sostenere che la probabilità in questione è 1, cioe 100%, perché i casi favorevoli

sono dello stesso numero dei casi possibili. Difatti, se si prendono tutti i multipli di 5 e si divide ciascuno

per 5, si riottiene la successione di tutti i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….

Questo ovviamente non è un caso isolato. Esiste un teorema che dice che ogni insieme infinito può

mettersi in corrispondenza biunivoca con qualche suo sottoinsieme. A volte questa viene assunta come la

definizione di insieme infinito. Il modo corretto per rispondere alla domanda posta è però un altro.

Consideriamo una stringa finita fatta dei primi N numeri naturali: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., N. Abbiamo N casi

possibili e circa N/5 casi favorevoli, l’approssimazione essendo tanto più precisa quanto più N è grande.

Al tendere di N all’infinito il rapporto fra casi favorevoli e casi possibili tende esattamente a 1/5, numero

che esprime il valore della densità dei multipli di 5 nell’insieme dei numeri naturali. Questo è allo stesso

tempo il valore della probabilità dell’evento considerato, stando all’unico senso ragionevole che può ad

essa attribuirsi. Consideriamo ora il problema dell’ago libero di ruotare nel cerchio (si intende che

un’estremità dell’ago sia imperniata nel centro del cerchio). Qual è la probabilità che l’ago si fermi in un

settore qualunque, ad esempio ampio 23 gradi? Qui, se prendessimo per casi possibili ed equiprobabili

tutti i punti della circonferenza e per casi favorevoli tutti i punti dell’arco che delimita il settore dato,

avremmo un’infinità di casi possibili e un’infinità di casi favorevoli. Ora risulta intuitivo superare questa

difficoltà facendo ricorso al concetto di misura di un insieme fatto di infiniti elementi. La misura

dell’intero cerchio, intesa come angolo, è 360 gradi, mentre la misura del settore è di 23 gradi. Inoltre

tutti i settori comunque piccoli ma di uguale ampiezza sono equiprobabili, almeno fino a prova contraria.

Quindi viene spontaneo valutare la probabilità richiesta col rapporto 23/360=6.39%. Ciò equivale in

realtà ad estendere la definizione classica come segue:

Probabilità = misura della totalità dei casi favorevoli / misura della totalità dei casi possibili

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a patto che, se due insiemi (anche infiniti) di casi hanno la stessa misura, comunque piccola, gli eventi

corrispondenti siano equiprobabili. Questa estensione, che fa intervenire il concetto di misura di una

totalità di casi o, il che è lo stesso, di un insieme di punti (contenuto in un universo ben definito), è l’idea

basilare a fondamento della generalizzazione del concetto di probabilità che caratterizza l’approccio della

cosiddetta scuola assiomatica. Questo punto di vista è stato presentato per la prima volta in forma

coerente e sistematica da Kolmogorov nel 1933 e resta tuttora l’approccio deduttivo più soddisfacente

alla definizione e all’uso del concetto di probabilità. Esso parte da tre definizioni e due assiomi, dai quali

è possibile dedurre tutti gli altri risultati, introdurre tutte le altre definizioni utili e calcolare ogni altro

valore di probabilità cui si possa essere interessati. Innanzitutto si definisce prova l’esecuzione di un

esperimento aleatorio dotato di un carattere di ripetibilità, nel senso che esso può essere eseguito o

osservato ripetutamente senza che si alterino le condizioni che ne determinano l’esito. Una prova è ad

esempio il lancio di un dado o l’estrazione di una pallina da un’urna o la rotazione casuale dell’ago

dentro il cerchio fino al suo arresto. Una prova genera un insieme di esiti possibili. La totalità di questi

esiti definisce l’universo ambiente. Questo va inteso come un insieme o uno spazio i cui punti sono tutti e

soli gli esiti possibili di una prova, e sono detti anche eventi elementari. Di solito, un esito può essere

caratterizzato associandogli uno o più numeri. Per esempio se si lanciano 3 dadi, ci sono 6x6x6 esiti

possibili, quindi l’universo è costituito da 216 punti, ognuno dei quali è caratterizzabile in modo

biunivoco con una terna di numeri interi (a,b,c), ciascuno compreso fra 1 e 6, dove a indica il numero

uscito sul primo dado, b quello uscito sul secondo, c quello sul terzo. A questo punto si definisce evento

un qualsiasi sottoinsieme dell’universo (in realtà per universi infiniti occorre limitarsi a una certa

collezione di sottoinsiemi, che sia dotata della proprietà di costituire una sigma-algebra, ma qui questi

dettagli non ci interessano). Infine si introduce una funzione d’insieme che ha le proprietà di una misura,

si introduce cioè una regola per associare ad ogni sottoinsieme E (ben fatto) dell’universo U un numero

P(E), non negativo, che goda delle seguenti proprietà (si pensi all’area di figure su un piano):

1) la misura dell’universo è 1: P(U)=1

2) se due eventi sono incompatibili (insiemi disgiunti), la misura della loro unione è la somma delle

rispettive misure: AÇB =Æ Þ P(A È B) = P(A)+P(B), e lo stesso vale per un’infinità di eventi a due a

due incompatibili.

La probabilità di un evento E viene definita ora come la misura dell’insieme corrispondente, cioè P(E).

Da queste definizioni e assiomi si può derivare tutto ciò che serve. La prima cosa che si dimostra, per

esempio, è che la misura dell’insieme vuoto è zero (cioè una prova, per sua definizione, un qualche esito

lo deve pur avere), e, più in generale, che la misura dell’insieme complementare a E è 1 – P(E), vale a

dire, se un evento ha probabilità 30%, l’evento contrario ha probabilità 70%.

Il successo della teoria assiomatica risiede nella possibilità di assimilare gli eventi a insiemi misurabili.

Questo consente di usare l’armamentario matematico già sviluppato per la teoria generale degli insiemi

per dedurre elegantemente e rapidamente tutte le proprietà implicate dal concetto di probabilità.

L’assimilazione di eventi a insiemi si può fare perché tutte le relazioni significative fra eventi che ci

interessano sono traducibili come relazioni fra insiemi e viceversa. Per esempio due eventi incompatibili

corrispondono a due insiemi che non hanno punti in comune, cioè disgiunti; il verificarsi simultaneo di

due eventi è un evento ben descritto dall’insieme intersezione dei due insiemi corrispondenti; il

verificarsi dell’uno o dell’altro di due eventi è un evento ben descritto dall’insieme unione dei due

insiemi corrispondenti; il fatto che un insieme A sia contenuto in un altro B equivale al fatto che il

verificarsi dell’evento A comporta automatica-mente il verificarsi di B (ma non necessariamente il

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viceversa), e così via.

Si noterà che la definizione assiomatica di probabilità, come ogni buona teoria matematica, prescinde

totalmente dal significato del termine probabilità. A questo proposito è bene ricordare la famosa

definizione che Bertrand Russell diede di tutta la matematica come “la scienza in cui non si sa di che si

parla nè se quel che si dice è vero”. La definizione assiomatica di probabilità lascia a voi la responsabilità

di assegnare in modo sensato la misura ai vari eventi. Se tale assegnazione rispecchia la realtà, tutte le

conclusioni che si traggono dalla teoria saranno vere, altrimenti non serviranno a nulla. In ogni caso, il

controllo di validità non è compito del calcolo delle probabilità. Questo compito appartiene alla statistica,

che combina un uso continuo e pesante del calcolo delle probabilità con l’analisi dei fatti osservati, al

fine di accertare se questi ultimi avvengono conformemente alle assunzioni fatte circa la misura (o

probabilità) introdotta nell’universo degli eventi. Il calcolo della probabilità è una teoria deduttiva. La

statistica è una scienza induttiva. Senza il primo, la seconda sarebbe disarmata, ma senza quest’ultima il

primo si ridurrebbe a uno sterile esercizio.

Esaminiamo ora due aspetti di questo approccio assiomatico. L’esperimento di cui si parla nella

definizione assiomatica di probabilità, da cui origina il concetto di prova e, quindi, di universo degli

eventi, si è pattuito che sia aleatorio e ripetibile. Il paradosso di Bertrand nasce da una critica all’uso

ambiguo dell’attributo “aleatorio”. La scuola soggettivistica nasce da una critica molto più sostanziale

alla necessità dell’attributo “ripetibile”.

Vediamo prima il paradosso di Bertrand. Quando si dice che un esperimento ha un esito casuale,

possiamo voler dire cose diverse. Un’accezione, la più debole, implica che, comunque si esaminino le

circostanze che lo accompagnano, risulta impossibile prevedere con certezza quale dei suoi vari esiti

possibili si produrrà. Un’accezione più forte consiste nell’aggiungere la condizione che ogni esito

dell’esperimento è tanto probabile quanto qualsiasi altro. Se estraiamo “a caso” una carta da un mazzo,

con tutta probabilità intendiamo l’accezione forte. Se estraiamo “a caso” una lettera dell’alfabeto da un

testo di italiano, non presupponiamo invece che la lettera “e” sia altrettanto probabile della lettera “z”. E’

bene quindi precisare, quando si usa l’espressione “a caso” o una simile, chiarire esattamente le

operazioni che si compiono per eseguire l’esperimento aleatorio. Difatti, due soggetti, pur avendo

entrambi in mente l’accezione forte del termine “casuale”, potrebbero avere in mente procedimenti

diversi che portano a stime di probabilità differenti per lo stesso evento. Un esempio che chiarisce bene

questa sottile ambiguità insita nel termine “casuale” è il seguente problema che apparentemente può

essere risolto in diversi modi, ognuno impeccabile, ma ognuno con una risposta diversa.

“Si traccia a caso una corda in un cerchio di raggio r. Qual è la probabilità che la corda sia più lunga del

lato del triangolo equilatero inscritto nel cerchio dato?”

Si possono esibire almeno quattro modi (e ce ne sono anche altri) per tracciare a caso una corda, e

ognuno risponde alla percezione intuitiva che abbiamo circa il significato della locuzione “traccia-mento

casuale di una corda”.

Un primo modo è scegliere un punto qualsiasi sulla circonferenza e, fissato questo come primo estremo

della corda, scegliere il secondo estremo facendo ruotare casualmente un ago imperniato al centro del

cerchio, che al suo arresto indicherà un altro punto della circonferenza, da prendere come il secondo

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estremo della corda.

Un secondo modo è, fermo restando il modo di scegliere il primo estremo della corda, scegliere il

secondo estremo facendo ruotare l’ago non attorno al centro del cerchio ma attorno al primo estremo.

Quando l’ago si sarà fermato, la retta che contiene l’ago intersecherà la circonferenza data in un solo

punto, che sarà il secondo estremo della corda.

Un terzo modo consiste nel prendere a caso (accezione forte) un numero L compreso fra zero e la

lunghezza del raggio e nel far ruotare un ago di lunghezza L attorno al centro del cerchio. La punta libera

dell’ago si fermerà in un punto del cerchio, per il quale si condurrà la retta perpendicolare all’ago. Questa

individuerà sul cerchio la corda casuale cercata.

Un quarto modo consiste nello scegliere a caso (accezione forte) un numero A compreso fra zero e l’area

del cerchio e nel tracciare un cerchio di area A concentrico a quello dato. Si traccia poi la retta tangente

al cerchio di area A in un punto qualsiasi della sua circonferenza. Tale retta taglierà una corda sul cerchio

originario.

Ora, se si fanno i conti nei quattro casi, nei primi due la risposta viene uguale a 1/3, nel terzo viene

uguale a 1/2, nel quarto viene uguale a 1/4. Questa pluralità di risposte è paradossale. Solo una dovrebbe

essere quella giusta. Eppure il procedimento è ineccepibile in ognuno dei quattro casi. Dov’è l’errore?

L’errore sta a monte, cioè nel pensare che basti dire “estrarre a caso” perché ogni soggetto razionale

interpreti tale espressione in modo univoco. L’errore sta insomma nell’ambiguità insita nella

formulazione linguistica del problema. Occorre specificare con maggiore precisione il modo con cui si

deve procedere nell’estrazione casuale. Ognuno dei quattro modi indicati è perfettamente legittimo come

metodo di estrazione casuale di una corda e, a seconda di quale metodo si usi, la risposta trovata è quella

giusta. Il paradosso di Bertrand non ha quindi una soluzione univoca. Esso illustra il pericolo di un uso

troppo leggero dei termini e mostra in modo esemplare come sia privo di senso parlare di probabilità di

un evento, qualora l’esperimento aleatorio di cui si parla nella definizione assiomatica non sia stato

chiaramente specificato.

Esaminiamo infine la critica della scuola soggettivistica alle altre definizioni di probabilità. La nascita di

questo approccio si deve al lavoro svolto indipendentemente dal logico inglese Frank Ramsey e dal

matematico italiano Bruno de Finetti. Ammettiamo di chiederci la probabilità che:

a) domani piova

b) l’Ulivo vinca le elezioni del 13 maggio

c) la Roma vinca lo scudetto dell’attuale campionato

d) il prossimo papa non sia europeo

e) le quotazioni della azioni FIAT a fine anno valgano la metà di adesso

A tutte queste domande non si riesce ad associare un esperimento aleatorio che sia ripetibile. Quindi il

metodo assiomatico non è in grado dare risposte. Per lo stesso motivo fallisce il metodo frequentistico, a

meno di farne un uso completamente scorretto (per es.: in passato la Roma ha vinto solo 3 scudetti sui 60

campionati di calcio cui ha partecipato, quindi ha solo una probabilità del 5% di vincere quest’anno lo

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scudetto! Oppure: non c’è mai stato un papa che non sia europeo, quindi la probabilità che il successore

di Woytila sia non europeo è nulla).

La conclusione di chi aderisca alla scuola assiomatica o alla scuola frequentistica è pertanto la stessa, e

cioè che per i problemi (a)-(e) non si possa parlare di probabilità, se mai di plausibilità di un evento, e

che tale plausibilità non possa essere misurata quantitativamente senza cadere in seri errori.

Al contrario i sostenitori del punto di vista soggettivistico definiscono provocatoriamente :

“Probabilità di un evento è la massima somma di denaro che un soggetto razionale è disposto a

scommettere a fronte di una vincita lorda unitaria”.

Per esempio, se si lancia un dado, un soggetto razionale cui si prospetti una vincita lorda di un milione

nel caso che esca il 6, non dovrebbe accettare di versare una posta maggiore della sesta parte di un

milione per entrare nella scommessa, quindi 1/6 è la probabilità dell’evento dato. Questa definizione

alquanto spregiudicata di probabilità in realtà non è in contrasto con le due precedenti ma le supera e le

sussume entrambe. In sostanza essa non pone limiti, oltre alla richiesta di razionalità del soggetto, sul

modo in cui si perviene ad un’assegnazione di probabilità agli eventi elementari. In particolare non

richiede che l’evento in questione sia dotato di ripetibilità. E’ ovvio che nei casi in cui si applica il

metodo classico (cioè speculativo) o frequentistico, la valutazione sarà la stessa. Ma quando entrambi

falliscono, per esempio a causa della non ripetibilità dell’evento in questione, talora l’informazione

disponibile sulle circostanze che precedono l’evento, consente al soggettivista ugualmente di esprimere

quantitativamente, sebbene con un grado di approssimazione più o meno alto, il grado di fiducia che

ripone nel verificarsi del dato evento. A riprova di ciò si noti che tutti e cinque gli eventi su elencati,

tranne il primo, sono oggetto di scommesse presso i bookmakers professionisti che da vari decenni

esercitano la loro attività traendo lauti profitti dalle loro stime soggettivistiche di probabilità. L’approccio

soggettivistico non è in realtà alternativo all’approccio assiomatico: una volta assegnate le probabilità

basilari agli eventi elementari, il resto segue automaticamente come nel metodo assiomatico. L’unica

differenza sta nel fatto che nei casi in cui la natura dell’esperimento aleatorio esclude la ripetibilità,

l’universo degli eventi è, per così dire, puramente ipotetico, invece che concretamente generabile dagli

esiti delle prove ripetute. Di tali prove se ne potrà fare in realtà solo una nel corso di tutta l’esistenza del

cosmo, ma ciò non toglie la possibilità che un soggetto razionale, sulla scorta di un certa quantità di

informazione acquisita non importa come, possa trovare vantaggiosa una scommessa che in caso di

successo paghi 1 a fronte di una posta per esempio di 0.34.

Quanto poi al controllo degli assunti fatti, qualunque sia il punto di vista che si adotta, resta sempre

imperativo il dovere di confrontare le proprie previsioni con le osservazioni fattuali future. La parola

finale spetterà dunque in ogni caso all’analisi statistica . Allora perché accettare a priori inutili restrizioni

sulla natura dell’esperimento aleatorio o più in generale sul metodo di assumere la distribuzione iniziale

di probabilità per gli eventi elementari? Anche se l’esperimento aleatorio non fosse ripetibile, un

soggetto razionale può trovarsi nelle condizioni di poter fornire una buona stima quantitativa della

probabilità dell’evento. In realtà, ognuno di noi ogni giorno fa decine di valutazioni del genere, per

esempio quando decide se prendere o no l’ombrello uscendo di casa, se prendere il raccordo o tagliare

per il centro, se investire i risparmi in buoni del tesoro o in azioni, se ritenere colpevole o innocente

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Corso di Calcolo di Probabilità e Statistica Matematica di V

l’imputato di un processo, a quale ora uscire per arrivare puntuale ad un appuntamento, quale partito

votare, quale carriera di lavoro intraprendere o a che tipo di scuola iscrivere i propri figli. Tutte queste

scelte riguardano eventi unici, irripetibili, eppure l’uomo medio non se la cava poi così male nel

prendere decisioni ragionevoli in tutti questi casi (tranne forse nel caso del gioco in Borsa). Potremmo

dire quindi che, se non altro grazie alla pressione selettiva subita durante l’evoluzione, il nostro cervello è

stato costretto ad elaborare dei metodi efficaci per valutare la probabilità di eventi futuri da cui può

dipendere la nostra sopravvivenza. Se questa capacità esiste, perché vietarsene per principio l’uso? Tanto

vale metterla alla prova, quando non si ha niente di meglio, ed affidare alle verifiche a posteriori la

conferma della nostra presunta efficienza nel fare previsioni. Tutto sommato, una conoscenza

approssimata e soggettiva dei fatti è in genere meglio che il non conoscerli affatto, specialmente nei casi

(e sono tanti) in cui si scopre che i risultati finali del calcolo (cioè le probabilità derivate, che serviranno

a prendere le decisioni) sono in fin dei conti poco influenzati dai valori iniziali che il soggetto ha dovuto

assegnare alle probabilità elementari, da cui il calcolo stesso dipende. In questi casi, casi che sarebbero

stati respinti tout cours come non matemazzibili nell’ambito degli altri approcci, l’approccio

soggettivistico ha avuto il merito (e il coraggio) di applicare ugualmente i metodi di calcolo quantitativi,

così consentendo per un verso scoperte interessanti che non si sarebbero altrimenti mai fatte, e per l’altro

verso fondando a posteriori le ragioni della propria validità e fecondità.

BIBLIOGRAFIA rd

Feller W. , 1957 : An introduction to probability theory and its applications - Vol. 1. J.Wiley & Sons, 3

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italiana di M. Bozzini e R. Tirani, Boringhieri, 1973), Capitolo 1.

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Braitwaite). Routledge & Keagan, London. Traduzione italiana: Verità e probabilità: I fondamenti della

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Corso in Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica (V. Malvestuto)

LEZIONE 3

Le leggi della probabilità e la combinazione di eventi.

Eventi incompatibili, indipendenti e non.

Eventi condizionati e la formula di Bayes

Nella lezione precedente si è introdotta la nozione di esperimento aleatorio e di prova, quest’ultima definita

come un’esecuzione del primo, e infine di evento elementare come di uno dei possibili esiti semplici di una

prova. E’ il caso ora di approfondire questi concetti. Un esperimento aleatorio non consiste unicamente

nella scelta di un meccanismo aleatorio, ma anche nella prescrizione di ben precise modalità d’uso dello

stesso, cioè di un protocollo rigido che va scrupolosamente ripetuto dall’inizio alla fine ad ogni prova.

Un meccanismo aleatorio è un sistema fisico, come un dado, un’urna, un dado, il cestello ruotante del

lotto con le 90 sfere, una roulette, un mazzo di carte o un materiale radioattivo, in grado di produrre

una serie di eventi che hanno la caratteristica di non essere esattamente prevedibili. Un meccanismo

aleatorio di per sé è una condizione necessaria per l’esistenza di un esperimento aleatorio, ma non

sufficiente. La prescrizione di un procedimento rituale che detti l’uso del meccanismo è il secondo

ingrediente essenziale per la definizione completa di un esperimento aleatorio. Due esperimenti aleatori

possono infatti basarsi sullo stesso meccanismo aleatorio ed essere completamente diversi. Per esempio

un semplice dado può essere lanciato una volta sola, due volte, o lanciato fino a che non si ottengano

due 6 consecutivi. Nei tre casi il meccanismo aleatorio è lo stesso ma è diversa la definizione di prova.

Nel primo caso una prova consisterà in un singolo lancio del dado e i possibili esiti sono 6 e sono tutti

equiprobabili. Nel secondo caso il dado va lanciato due volte e i possibili esiti sono 36, ancora tutti

equiprobabili. Nel terzo caso una prova consisterà in una serie di lanci di lunghezza non predeterminata

che ha fine solo quando due lanci consecutivi mostrano lo stesso esito, il numero 6. In questo caso la

prova ha un’infinità di possibili esiti, non tutti equiprobabili.Si può fare un altro esempio che implica

l’uso della roulette: un esperimento aleatorio può consistere nel far funzionare la roulette 10 volte di

seguito, un altro nel continuare fino a che non compaia lo zero, un altro ancora nel continuare fino a

che non si ottengano tanti “rouge” che “noir”. E così via. Ricordiamo ora che è stato definito universo

degli eventi la totalità degli esiti semplici possibili di una prova, ed evento un qualsiasi sottoinsieme

dell’universo. Si vede quindi che la definizione di evento è strettamente legata alla natura della prova,

perciò sia il significato di un evento che le relazioni fra esso e gli altri eventi dipendono fortemente dal

contesto operativo con cui si fissano le modalità della prova. Come si vedrà fra breve, due eventi basati

sul lancio di un dado, come “esce il 6” e “esce il 3”, possono essere fra loro incompatibili o, al

contrario, indipendenti, a seconda di come sia stata definita la prova che caratterizza il dato esperimento

aleatorio. Si noti poi che un esperimento aleatorio può coinvolgere l’impiego di più meccanismi aleatori,

come ad esempio due dadi, un dado e una roulette, una moneta e un mazzo di carte, ma, fissati questi,

resta ovviamente infinita la possibilità di prove che si possono definire usando i vari meccanismi

aleatori coinvolti. Viceversa, due esperimenti aleatori, pur usando diversi meccanismi aleatori o un

numero diverso di essi, e pur essendo le relative prove definite secondo protocolli diversi, possono

risultare identici. Questo accade quando c’è una corrispondenza isomorfa fra i relativi universi degli

eventi, cioè quando non solo c’è corrispondenza biunivoca fra i rispettivi eventi elementari (cioè gli esiti

semplici della prova) ma accade anche che insiemi comunque scelti di questi ultimi (cioè eventi) fra

loro corrispondenti abbiano la stessa misura (leggi, probabilità). E’ il caso per esempio della prova

definita come “lancia due volte di seguito un dado”, oppure “lancia simultaneamente due dadi”.

Quando due esperimenti aleatori sono identici, è solo questione di gusto ragionare in un ambito

semantico o nell’altro. Sta di fatto che qualsiasi esperimento aleatorio che generi un universo discreto di

eventi è identico ad un esperimento aleatorio che usi come meccanismo un’urna riempita con palle di

diverso colore, o ad un esperimento che consista nel disporre a caso N palle in M buche.

Si noti infine che la procedura che definisce una prova deve o attribuire a priori una certa probabilità ad

ogni esito della stessa o fornire sufficienti indicazioni per consentire a un soggetto razionale di

assegnare la suddetta distribuzione di probabilità fra ciascuno degli esiti possibili.

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Una volta assegnate o determinate tali probabilità elementari, sorge il problema di calcolare la

probabilità di un qualsiasi evento composito che possa essere associato dalla stessa prova. Per esempio,

se sappiamo che ogni faccia di un dado ha probabilità 1/6, dovremmo essere in grado di calcolare che

la probabilità di ottenere un numero dispari è uguale al 50%, oppure che, lanciando due dadi, la

probabilità che la somma delle due facce superi 6 è 21/36, cioè circa 58,3%. Questo è appunto lo scopo

del calcolo delle probabilità. Non si mette per ora in discussione l’assegnazione iniziale di probabilità

agli eventi elementari (questo sarà compito dell’analisi statistica). Si presume che essa sia stata fatta

correttamente e si procede a dedurne tutte le conseguenze, cioè a calcolare tutte le probabilità che ci

possono interessare. Queste probabilità si riferiscono di norma agli eventi che possono ottenersi come

combinazioni o associazioni degli eventi elementari. Gli strumenti per portare a termine tale compito,

spesso non banale, sono alcune leggi la cui enunciazione richiede la previa introduzione di alcune

definizioni, che evidenzino le relazioni possibili fra due o più eventi qualsiasi.

Innanzi tutto, introduciamo una notazione abbreviata. Se A e B sono due eventi, allora indicheremo

con

AB l’evento che corrisponde al verificarsi simultaneo di A e B

A+B l’evento che corrisponde al verificarsi o di A o di B (eventualmente di entrambi)

A – B l’evento corrisponde al verificarsi di A ma non di B

A|B l’evento che si verifichi A, ammesso che si sia già verificato B

¬A l’evento contrario di A, detto anche evento di A

complementare

Si noti che le prime due notazioni si estendono naturalmente ad un numero qualsiasi di eventi.

RELAZIONI FONDAMENTALI FRA EVENTI: CLASSIFICAZIONE

Due eventi si dicono se si escludono a vicenda, cioè se il verificarsi dell’uno rende

incompatibili

impossibile il verificarsi dell’altro. Si noti che un evento A non può escludere il verificarsi di B, senza

che accada il viceversa. Ciò dipende da una regola di logica, detta modus tollendo tollens: se A implica non-

B, allora B implica non-A, la cui dimostrazione di consegue immediatamente per absurdum invocando il

principio di non contraddizione: o B o non-B, ma non emtrambi! Un esempio di eventi incompatibili è

“maschio” e “femmina” per il sesso di un nascituro, oppure due diversi esiti per lo stesso lancio di un

dado, oppure “testa” e “croce” in un dato lancio di una moneta. Più in generale, N eventi si diranno

incompatibili se il verificarsi di uno di essi esclude la possibilità che si verifichi qualsiasi altro. Ne segue

che N eventi incompatibili saranno anche necessariamente a due a due incompatibili, e viceversa. Se

due eventi non sono incompatibili, essi si diranno In tal caso i due eventi possono

compatibili.

verificarsi simultaneamente.

Due eventi si dicono se il verificarsi dell’uno non altera la probabilità che si verifichi

indipendenti

l’altro. Anche in questo caso, per quanto meno intuitivo, vale la proprietà simmetrica, cioè

l’indipendenza di un evento A da un evento B implica anche l’indipendenza di B da A. Se due eventi

non sono indipendenti, essi si diranno Un esempio di eventi indipendenti si ha quando si

dipendenti.

lanciano due monete o due dadi: l’esito testa o croce sulla prima moneta non altera la probabilità di

testa o croce sulla seconda, e così dicasi per l’esito che compare sull’uno e l’altro dado. Un altro

esempio è l’evento “esce una carta di fiori” e l’evento “esce una figura, cioè un J, un Q o un K” quando

si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte francesi. Infatti, prima di pescare la carta, la

probabilità che esca una figura è 12/52=3/13, poichè 12 sono le figure (casi favorevoli) e 52 le carte

(casi possibili); se ammettiamo ora di sapere che la carta pescata è una carta di fiori (cioè il primo

evento si è verificato) e proviamo a ricalcolare in base a questa informazione qual è la probabilità che

quella carta sia anche una figura, il calcolo dei casi favorevoli e di quelli possibili restituisce ancora un

valore pari a 3/13. Insomma la probabilità di estrarre una figura dal mazzo non è alterata dal fatto che

si sia già verificato il primo evento. Lo stesso vale scambiando i due eventi: che si sappia o no se la carta

estratta è una figura, la probabilità di estrarre una fiori resta sempre ¼ , per cui i due eventi considerati

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sono indipendenti. Basta invece aggiungere uno o entrambi i jolly al mazzo di carte per distruggere

questa indipendenza. Infatti, in presenza ad esempio dei due jolly, la probabilità di pescare una figura è

12/54=2/9, ma, dopo aver appreso che la carta pescata è una carta di fiori, tale probabilità sale da 2/9

= 22,2% a 1/4 = 25%. Quindi gli stessi eventi di prima risultano dipendenti. La ragione di ciò che è

cambiato l’esperimento aleatorio (per la precisione è cambiato il meccanismo aleatorio) e quindi solo in

superficie si sta parlando degli “stessi” eventi di prima.

L’esempio precedente porta immediatamente a una presa di coscienza importante. La probabilità di un

evento dipende in genere dall’informazione rilevante che si ha a disposizione. Prima di sapere che la

carta pescata è una fiori, la probabilità di pescare una figura è 2/9, ma, dopo aver avuto accesso

all’informazione supplementare, è doveroso ricalcolare la probabilità dello “stesso” evento. In realtà

non si tratta dello stesso evento, ma di un evento condizionato dal fatto che ne sia accaduto un altro.

Questo ci porta alla successiva importante definizione, cioè la definizione di eventi condizionati.

L’evento A|B, leggasi “A condizionato a B”, è definito come l’evento che consiste nel verificarsi di A a

patto che si sia verificato già B. Per esempio, nel lancio di un dado, se l’evento A è l’uscita del 6 e

l’evento B consiste nell’uscita di un numero pari, la probabilità P(A|B) è pari a 1/3 dal momento che,

se sappiamo che il numero uscito sul dado è pari, restano solo 3 casi possibili dei 6 originari. Inoltre la

probabilità P(B|A) è 1, perché, se si sa che è uscito un 6, è ormai certo che il numero uscito è un

numero pari.

Usando la definizione di eventi condizionati, la definizione di indipendenza fra due eventi A e B

equivale a richiedere che sia P(A)=P(A|B), ovvero che P(B)=P(B|A). L’una delle due uguaglianze

implica l’altra, anche se la cosa non appare intuitiva (sarà dimostrata più oltre).

Se si desidera estendere la nozione di indipendenza a N eventi, occorre tenere presente che, al contrario

di quanto accade per gli eventi incompatibili, se la proprietà in questione vale per gli N eventi, presi a

due a due, ciò non comporta che essa valga in un senso più globale. Si possono cioè avere 3 eventi A, B

e C, tali che A è indipendente da B, B lo è da C e C lo è da A, ma A non è indipendente dall’evento BC,

cioè dal verificarsi simultaneo di B e C. Facciamo un esempio concreto basato sulle cartteristiche di un

neonato. A sia “maschio”, B sia “gruppo sanguigno 0”, C sia “maschio con gruppo 0 oppure femmina

con gruppo diverso da 0”. Ora il fatto che un individuo sia maschio non influenza la sua probabilità di

avere gruppo sanguigno 0 (almeno per quanto ne so). Quindi A e B sono indipendenti. Supponiamo

ora che la probabilità di essere maschio sia esattamente ½ e così pure per la probabilità che un neonato

abbia 0 come gruppo sanguigno (cose entrambe non vere). In tal caso anche la probabilità di C è uguale

a ½, dato che fra i 4 casi possibili, tutti equiprobabili, due sono favorevoli a C. Inoltre sapere che un

neonato è maschio non cambia la probabilità di C, perché si può sì escludere l’eventualità che si tratti di

una femmina ma la richiesta che quel maschio sia di gruppo 0 è ancora ½, come prima di conoscerne il

sesso. Quindi A e C sono eventi indipendenti. Lo stesso dicasi per B e C: infatti sapere che il gruppo

sanguigno di un neonato è 0 lascia per l’evento C solo la possibilità che si tratti di un maschio, ma tale

possibilità ha ancora probabilità ½. Insomma A, B e C sono a 2 a 2 eventi indipendenti. Ma essi non

sono tra loro indipendenti in senso lato, come si vede facilmente calcolando la probabilità di C,

condizionata al fatto che si siano verificati sia A che B. Se A e B sono entrambi veri, allora C è un

evento certo perché almeno una delle due eventualità da esso previste si è verificata, in altri termini si ha

P(C!AB) = 1, e quindi la probabilità di C sale da ½ a 1 se si sa che sia A che B si sono verificati. Se ne

conclude che C, per quanto indipendente da A e da B separatamente, non è indipendente dal loro

simultaneo verificarsi. Non sembra quindi ragionevole affermare che A, B e C sono tre eventi

mutuamente indipendenti.

Conviene quindi adottare la seguente definizione di N eventi sono fra

indipendenza per N eventi:

loro indipendenti quando la probabilità di ciascuno di essi non è alterata dal fatto che si sia verificato un

numero qualsiasi dei restanti eventi.

Concludiamo con alcune osservazioni banali, rese però necessarie dalla frequenza con cui i principianti

tendono a confondere eventi indipendenti con eventi incompatibili. In quel che segue prescindiamo dal

caso limite e banale di eventi che hanno, per loro stessa definizione, probabilità uguale a zero.

Due eventi indipendenti non sono mai incompatibili, perché l’incompatibilità, al contrario, è il caso di

massima dipendenza fra due eventi, il caso cioè in cui il verificarsi di un evento azzera del tutto la

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Appunti completi di Calcolo della probabilità e statistica matematica, del Professor Malvestuto. Il file contiene la spiegazione esaustiva dei concetti cardine della materia, tra i quali: gli inizi (Cardano, Pascal, Newton e il gioco dei dadi), la definizione classica generale di probabilità e il paradosso di Bertrand, le tre scuole (assiomatica, frequentistica, soggettivistica), le leggi della probabilità e la combinazione di eventi (eventi incompatibili, indipendenti e non), eventi condizionati e la formula di Bayes.