Calcolo della probabilità e statistica matematica, Malvestuto

RELAZIONI FONDAMENTALI FRA EVENTI: CLASSIFICAZIONE

Due eventi si dicono se si escludono a vicenda, cioè se il verificarsi dell'uno rende incompatibili impossibile il verificarsi dell'altro. Si noti che un evento A non può escludere il verificarsi di B, senza che accada il viceversa. Ciò dipende da una regola di logica, detta modus tollendo tollens: se A implica non-B, allora B implica non-A, la cui dimostrazione si consegue immediatamente per absurdum invocando il principio di non contraddizione: o B o non-B, ma non entrambi! Un esempio di eventi incompatibili è "maschio" e "femmina" per il sesso di un nascituro, oppure due diversi esiti per lo stesso lancio di un dado, oppure "testa" e "croce" in un dato lancio di una moneta. Più in generale, N eventi si diranno incompatibili se il verificarsi di uno di essi esclude la possibilità che si verifichi qualsiasi altro. Ne segue che N eventi

incompatibili saranno anche necessariamente a due a due incompatibili, e viceversa. Sedue eventi non sono incompatibili, essi si diranno compatibili. In tal caso i due eventi possono verificarsi simultaneamente.

Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell'uno non altera la probabilità che si verifichi l'altro. Anche in questo caso, per quanto meno intuitivo, vale la proprietà simmetrica, cioè l'indipendenza di un evento A da un evento B implica anche l'indipendenza di B da A.

Se due eventi non sono indipendenti, essi si diranno dipendenti.

Un esempio di eventi indipendenti si ha quando si lanciano due monete o due dadi: l'esito testa o croce sulla prima moneta non altera la probabilità di testa o croce sulla seconda, e così dicasi per l'esito che compare sull'uno e l'altro dado. Un altro esempio è l'evento "esce una carta di fiori" e l'evento "esce una figura".

"cioè un J, un Q o un K" quando si estrae a caso una carta da un mazzo di 52 carte francesi. Infatti, prima di pescare la carta, la probabilità che esca una figura è 12/52=3/13, poiché 12 sono le figure (casi favorevoli) e 52 le carte (casi possibili); se ammettiamo ora di sapere che la carta pescata è una carta di fiori (cioè il primo evento si è verificato) e proviamo a ricalcolare in base a questa informazione qual è la probabilità che quella carta sia anche una figura, il calcolo dei casi favorevoli e di quelli possibili restituisce ancora un valore pari a 3/13. Insomma la probabilità di estrarre una figura dal mazzo non è alterata dal fatto che si sia già verificato il primo evento. Lo stesso vale scambiando i due eventi: che si sappia o no se la carta estratta è una figura, la probabilità di estrarre una fiori resta sempre 1/4, per cui i due eventi considerati sono indipendenti."

Basta invece aggiungere uno o entrambi i jolly al mazzo di carte per distruggere questa indipendenza. Infatti, in presenza ad esempio dei due jolly, la probabilità di pescare una figura è 12/54=2/9, ma, dopo aver appreso che la carta pescata è una carta di fiori, tale probabilità sale da 2/9= 22,2% a 1/4 = 25%. Quindi gli stessi eventi di prima risultano dipendenti. La ragione di ciò che è cambiato l'esperimento aleatorio (per la precisione è cambiato il meccanismo aleatorio) e quindi solo insuperficie si sta parlando degli "stessi" eventi di prima. L'esempio precedente porta immediatamente a una presa di coscienza importante. La probabilità di un evento dipende in genere dall'informazione rilevante che si ha a disposizione. Prima di sapere che la carta pescata è una fiori, la probabilità di pescare una figura è 2/9, ma, dopo aver avuto accesso all'informazione supplementare.è doveroso ricalcolare la probabilità dello "stesso" evento. In realtà non si tratta dello stesso evento, ma di un evento condizionato dal fatto che ne sia accaduto un altro. Questo ci porta alla successiva importante definizione, cioè la definizione di eventi condizionati. L'evento A|B, leggasi "A condizionato a B", è definito come l'evento che consiste nel verificarsi di A a patto che si sia verificato già B. Per esempio, nel lancio di un dado, se l'evento A è l'uscita del 6 e l'evento B consiste nell'uscita di un numero pari, la probabilità P(A|B) è pari a 1/3 dal momento che, se sappiamo che il numero uscito sul dado è pari, restano solo 3 casi possibili dei 6 originari. Inoltre la probabilità P(B|A) è 1, perché se si sa che è uscito un 6, è ormai certo che il numero uscito è un numero pari. Usando la definizione digruppo A”. Supponiamo che la probabilità di essere maschio sia del 50%, la probabilità di avere il gruppo sanguigno 0 sia del 40% e la probabilità di essere maschio con gruppo 0 o femmina con gruppo A sia del 30%. Se consideriamo gli eventi A e B, la probabilità di essere maschio e avere il gruppo sanguigno 0 sarà data da P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.5 * 0.4 = 0.2. Se consideriamo gli eventi B e C, la probabilità di avere il gruppo sanguigno 0 e essere maschio con gruppo 0 o femmina con gruppo A sarà data da P(B ∩ C) = P(B) * P(C) = 0.4 * 0.3 = 0.12. Se consideriamo gli eventi A e C, la probabilità di essere maschio e essere maschio con gruppo 0 oppure femmina con gruppo A sarà data da P(A ∩ C) = P(A) * P(C) = 0.5 * 0.3 = 0.15. Osserviamo che P(A ∩ B) ≠ P(A ∩ C), quindi gli eventi A e C non sono indipendenti. In conclusione, la nozione di indipendenza fra eventi non si estende in modo diretto a più di due eventi.

gruppo diverso da 0”. Ora il fatto che un individuo sia maschio non influenza la sua probabilità di avere gruppo sanguigno 0 (almeno per quanto ne so). Quindi A e B sono indipendenti. Supponiamo ora che la probabilità di essere maschio sia esattamente ½ e così pure per la probabilità che un neonato abbia 0 come gruppo sanguigno (cose entrambe non vere). In tal caso anche la probabilità di C è uguale a ½, dato che fra i 4 casi possibili, tutti equiprobabili, due sono favorevoli a C. Inoltre sapere che un neonato è maschio non cambia la probabilità di C, perché si può sì escludere l’eventualità che si tratti di una femmina ma la richiesta che quel maschio sia di gruppo 0 è ancora ½, come prima di conoscerne il sesso. Quindi A e C sono eventi indipendenti. Lo stesso dicasi per B e C: infatti sapere che il gruppo sanguigno di un neonato è 0 lascia per l’evento C

sua probabilità condizionata al verificarsi di tutti gli altri eventi è uguale alla probabilità senza alcuna condizione. Quindi, possiamo dire che gli eventi A, B e C non sono mutuamente indipendenti, poiché la probabilità di C condizionata al verificarsi di A e B è diversa dalla probabilità di C senza alcuna condizione. Per formattare il testo utilizzando tag HTML, possiamo utilizzare il tag

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Solo la possibilità che si tratti di un maschio, ma tale possibilità ha ancora probabilità ½. Insomma A, B e C sono a 2 a 2 eventi indipendenti. Ma essi non sono tra loro indipendenti in senso lato, come si vede facilmente calcolando la probabilità di C, condizionata al fatto che si siano verificati sia A che B. Se A e B sono entrambi veri, allora C è un evento certo perché almeno una delle due eventualità da esso previste si è verificata, in altri termini si ha P(C|AB) = 1, e quindi la probabilità di C sale da ½ a 1 se si sa che sia A che B si sono verificati. Se ne conclude che C, per quanto indipendente da A e da B separatamente, non è indipendente dal loro simultaneo verificarsi. Non sembra quindi ragionevole affermare che A, B e C sono tre eventi mutuamente indipendenti.

Conviene quindi adottare la seguente definizione di N eventi sono fraindipendenza per N eventi: loro indipendenti quando la sua probabilità condizionata al verificarsi di tutti gli altri eventi è uguale alla probabilità senza alcuna condizione.

probabilità di ciascuno di essi non è alterata dal fatto che si sia verificato un numero qualsiasi dei restanti eventi. Concludiamo con alcune osservazioni banali, rese però necessarie dalla frequenza con cui i principianti tendono a confondere eventi indipendenti con eventi incompatibili. In quel che segue prescindiamo dal caso limite e banale di eventi che hanno, per loro stessa definizione, probabilità uguale a zero. Due eventi indipendenti non sono mai incompatibili, perché l’incompatibilità, al contrario, è il caso di massima dipendenza fra due eventi, il caso cioè in cui il verificarsi di un evento azzera del tutto la probabilità che si possa verificare l’altro. Se si lancia un dado una sola volta, non può uscire sia il 3 che il 6, e questi due eventi sono incompatibili. Il sapere che è uscito il 3 annulla la possibilità che possa essere uscito il 6. Purtroppo la confusione nasce.quando si pensa al caso in cui si stesso lanci due o più volte lo stesso dado (o che si lancino simultaneamente due o più dadi). In questo caso "l'uscita del 3 al primo lancio" e "l'uscita del 6 al secondo lancio" sono eventi indipendenti, perché normalmente le operazioni che si fanno quando si lancia ripetutamente un dado sono tali da rendere equiprobabili, ad ogni successivo lancio, tutte e sei le facce del dado. Questo esempio mostra l'importanza di utilizzare una formulazione linguistica non ambigua quando si definiscono uno o più eventi, altrimenti si potrebbe facilmente arrivare a conclusioni contraddittorie. Viceversa, due eventi incompatibili non possono mai essere indipendenti, perché se lo fossero, non potrebbe accadere che, dopo che si è verificato il primo evento, la probabilità del secondo si riduca a zero (come richiede l'incompatibilità), invece di restare la stessa di.

prima.Ovviamente due eventi possono essere né incompatibili né indipendenti. Per esempio, se si lancia undado una sola volta, l'uscita del 6 e l'uscita di un numero pari non sono eventi incompatibili, manemmeno indipendenti, perché da un lato l'uscita di un numero pari non preclude la possibilità che sitratti proprio del 6, ma d'altro canto tale eventualità non ha più la stessa probabilità di prima, bensì doppia.

PROBABILITÀ DELL'UNIONE DI PIÙ EVENTI

Per di più eventi A, B, C, ... si intende l'evento A+B+C+ .... , cioè l'evento che corrisponde all'unione verificarsi o di A o di B o di C etc., senza escludere che possano verificarsi anche più di uno degli eventi considerati. Ora, se gli eventi sono incompatibili, non è difficile intuire (o dimostrare) che la probabilità dell'unione di più eventi è semplicemente la somma delle

Probabilità dei singoli eventi, in formule:

(3.1) P(A+B+C+...) = P(A) + P(B) + P(C) + ...

Questa è la nel caso di eventi incompatibili.

Legge della probabilità totale

Se gli eventi non sono incompatibili, tale legge assume una forma