Bipoli impulsivi

Metodo dell'integrale di convoluzione

La risposta di un circuito lineare tempo invariante (LTI) del secondo ordine può essere ricavata dalla soluzione della seguente equazione differenziale:

(αω² + βω + γ)x(t) = 2!!x(t) + x(0) + x'(t) + x''(t)

dove f(t) è una opportuna funzione del "forzamento" presente nel circuito.

La risposta può essere espressa nella forma:

x(t) = x_p(t) + x_h(t)

Poiché l'equazione è lineare (per la linearità dei bipoli) ed a coefficienti costanti (per la tempo invarianza), è possibile applicare il principio di decomposizione:

x(t) = x_p(t) + x_h(t)

t( ) ( ) ( )so iodovex (t ) risposta con stato zerosox (t ) risposta con ingresso zeroio ( ) α ω+ + =α ω+ + = !! ! 22!! ! x x x2 0x x x f t2 io io io0so so so0+ + ==x ( 0 ) 0 x A( 0 )so io+ = + =! !x ( 0 ) 0 x B( 0 )so io

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La risposta con ingresso zero è la soluzione della equazione omogenea apartire dalle condizioni iniziali assegnate. Essa sarà del tipo:

λ λ= +t tx t k e k e( ) 1 2io 1 2

dove+ =k k A1 2λ λ+ =k k B1 1 2 2 λ λ= ⇒ˆ =k k̂

E’evidente che se: 2 1 2 1

La risposta del circuito deve essere, infatti, una funzione reale del tempo.

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La risposta con stato zero è la soluzione della equazione non omogenea apartire da condizioni iniziali nulle.

Nel caso il forzamento sia del tipo stazionario costante o sinusoidale

essasarà esprimibile come: λ λ= + +t tx t c e c e x t( ) ( )1 2so p1 2x (t) è una costante o una funzione sinusoidale dove pLa determinazione della risposta a stato zero risulta particolarmente complessa quando il forzamento non è di tipo “canonico” (costante, sinuoidale, …), ma risulta espresso da una funzione di forma qualsiasi.

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Un metodo generale per ottenere la risposta a stato zero di un circuito LTI è quello che prende il nome di integrale di convoluzione: tale metodo trova utilizzazione in diversi settori dell’ingegneria ogni qualvolta si voglia ottenere la risposta a stato zero di un sistema LTI a ingressi di tipo qualsiasi.

e(t), Si consideri il circuito LTI con un ingresso, rappresentato da e un ai(t) uscita (sistema SISO) rappresentata da e(t)+ circuito LTI i(t)e(t) a stato zero t L’ingresso è una funzione nulla per

(t)Consideriamo la funzione impulso rettangolare ∆ [ ]

1P (t)∆ = - - ∆P t t t( ) 1( ) 1( )∆ ∆∞1/∆ ∫ = ∀ ∆( ) 1P t dt∆- ∞ δ=P t tlim ( ) ( )∆∆ → 0∆ t

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno P (t)

Supponiamo di porre in ingresso al circuito un forzamento del tipo :∆h (t)indichiamo con la corrispondente risposta.

∆ h (t)∆P (t)∆1/∆ + circuito LTI h (t)∆P (t) a stato zero∆ ∆∆ tt

Il circuito è causale ovvero:= ∀

α α→P t h t( ) ( )Per la linearità del circuito ∆ ∆+ circuito LTIa stato zeroPer la tempo invarianza si ha:- → -P (t-t ) P t t h t t( ) ( ) h∆ (t -t )∆0 0∆ ∆0 01/∆ +∆t +∆t t t0 t t0 0 0

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Suddividiamo l'intervallo (0,T) in N intervalli di durata ∆T e consideriamo la funzione e*(t), e(t) approssimante l'ingresso dato:

e*(t) = ∆^T Ne*(t) = ∆^t k k=0, 1, 2, ...k e(t)

t = Tt/t = 0, t/t = N-1

∑ = ∆^k k=k 0

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Se in ingresso al circuito poniamo e*(t) per la linearità e la tempo invarianza, l'uscita si potrà ottenere come:

P(t) = ∆^∆+ circuito LTI i*(t)e*(t) a stato zero

*e(t) = i(t)

∑ = ∆^k k=k 0

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L'approssimazione risulterà tanto più accurata quanto più piccolo è ∆:

δ → ∞ → ∆ → → N P(t0) = ∆e*(t) e(t)

t = Tt/t = 0, t/t = N-1

tN∑ ∫ τ δ τ τ= − ∆ = − =*e t e t P t t e t d e tlim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆k k→ ∞ → ∞N N =k 0∆ → ∆ → 00 0

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Per quanto riguarda l’uscita si ha:+ circuito LTI i*(t)e*(t)e*(t) a stato zero tN∑ ∫ τ τ τ= − ∆ = − =*i t i t h t t e h t d i tlim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆k k→ ∞ → ∞N N =k 0∆ → ∆ → 00 0

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Gli integrali: t∫ τ δ τ τ δ= − =e t e t d e t t( ) ( ) ( ) ( ) * ( )0t∫ τ τ τ= − =i t e h t d e t h t( ) ( ) ( ) ( ) * ( )0vengono detti integrali di convoluzione.

Nell’integrale di convoluzione che fornisce l’uscita del circuito LTI a statozero: → h(t) viene detta risposta del circuitoh t h t( ) ( )∆ ∆

→ all’impulso unitario.

Nota la risposta impulsiva di un circuito è dunque possibile calcolare la risposta (a stato zero) per un qualunque ingresso.

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Per poter comprendere anche eventuali impulsi nell’origine o all’istante t conviene esprimere gli estremi dell’intervallo di integrazione come:

+t∫ τ τ τ= − =i t e h t d e t h t( ) ( ) ( ) ( ) * ( )−0

Si osservi, inoltre, che ponendo:  τ= −'dt dτ τ= − ⇒ → &Arr; →' 't t t t0τ → ⇒ →'t t 0l’integrale di convoluzione si può anche scrivere nella forma equivalente:

+t∫ τ τ τ= −i t h e t d( ) ( ) ( )−0

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Interpretazione grafica dell’integrale di convoluzione

L’integrale di convoluzione si