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Bipoli impulsivi Appunti scolastici Premium

Appunti di Introduzione ai Circuiti del prof. De Magistris sui Bipoli impulsivi: gli ingressi impulsivi, la tensione sull’induttore, Metodo dell’integrale di convoluzione, linearità del circuito, integrali di convoluzione, risposta del circuito all’impulso unitario.

Esame di Introduzione ai circuiti docente Prof. M. De Magistris

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ESTRATTO DOCUMENTO

Per poter comprendere anche eventuali impulsi nell’origine o all’istante t

conviene esprimere gli estremi dell’intervallo di integrazione come:

+

t

∫ τ τ τ

= − =

i t e h t d e t h t

( ) ( ) ( ) ( ) * ( )

0

Si osservi, inoltre, che ponendo:  τ

= −

'

dt d

τ τ

= − ⇒ → ⇒ →

' '

t t t t

0

τ → ⇒ →

'

t t 0

l’integrale di convoluzione si può anche scrivere nella forma equivalente:

+

t

∫ τ τ τ

= −

i t h e t d

( ) ( ) ( )

0

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Interpretazione grafica dell’integrale di

convoluzione

L’integrale di convoluzione si presta ad una interpretazione grafica.

Si consideri la funzione h(t) rappresentata in figura.

h(t-ττ

Osserviamo che per ottenere la funzione ) occorre procedere a due

operazioni, una di ribaltamento rispetto all’asse delle ordinate, ed una di

traslazione nel tempo.

τ

h ( ) τ

h ( )

ribaltamento di h τ

τ

0 0

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τ

h ( ) τ

h t

( ) τ

τ t

0 0

traslazione di h

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La risposta del circuito attraverso

l’integrale di convoluzione può essere

+ circuito LTI “costruita” per via grafica.

i(t)

e(t) a stato zero Si supponga che l’ingresso e la risposta

impulsiva siano le funzioni mostrate in

figura. Per ottenere la risposta, dopo

aver effettuato il ribaltamento e la

traslazione di h, si considerano alcuni

istanti in cui essa deve essere valutata.

e (t ) τ

h ( )

[ ]

= − − −

e t E t T t T

( ) 1

( ) 1

( 3 )

E τ τ

0

T

2 T

3

T

0 Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno τ

τ

τ −

− τ

− h t

( )

( )

h t

h t

( ) h t

( ) 4

3

1 2 τ

e ( ) τ

t t

t

t

0 T

3

T T

4 T

5

T

2 3 4

2

1

i (t ) τ

t

t

t

t T

3 T

T 4

T

2 T

5

0 4

3

2

1

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τ τ

i ( ) h t

( )

τ

e ( ) τ

T

3

T T

4

T

2 T

5

0

La risposta impulsiva può essere interpretata come una proprietà descrittiva

della “memoria” del circuito.

Infatti, l’uscita, dovuta ad un ingresso di durata finita, assume valori

apprezzabili solo nell’intervallo di tempo in cui la risposta all’impulso è non

trascurabile. Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

Calcolo della risposta impulsiva

Proponiamoci di calcolare la risposta impulsiva di un circuito LTI a stato zero.

La difficoltà del calcolo consiste nella “singolarità” del tipo di forzamento.

Esistono tre possibili metodi per ottenere h(t):

1. derivata della risposta al gradino;

+ LTI

δ h(t)

(t) 2. metodo del bilanciamento degli impulsi;

a stato zero 3. metodo diretto.

Un ulteriore metodo per ricavare la risposta impulsiva, come antitrasformata

(di Laplace) della funzione di trasferimento, sarà illustrato nel seguito.

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Si osservi che si possono definire impulsi di ordine superiore.

Si chiama impulso del primo ordine la derivata prima dell’impulso di Dirac.

L’impulso del primo ordine viene anche chiamato “doppietto” e per esso si

ha: d

δ δ δ

= ⇒

' '

t

( ) ( ) ( )

t t

dt

ε

+

∫ δ τ τ δ

=

'

t d t

( ) ( )

ε

In generale, per l’impulso di ordine n si ha:

ε

+

d ∫

− −

δ δ δ τ τ δ

= ⇒ =

n n n n

1 1

t t d t

( ) ( ) ( ) ( )

dt ε

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1° Metodo

Indicata con g(t) la risposta a stato zero al gradino unitario, che risulta

semplice da calcolare, per la linearità del circuito e per la linearità

dell’operatore di derivata, si avrà che:

LTI LTI

+ + d

d

a a g (t )

t

1

( ) g (t ) t

1

( )

stato zero stato zero dt

dt

Ma poiché: d

d δ

= ⇒ =

g t h t

t t

1

( ) ( ) ( ) ( )

dt

dt

Pertanto la risposta impulsiva potrà essere ottenuta come derivata della

risposta al gradino.

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Applichiamo il metodo al circuito RC in figura,

assumendo la corrente come variabile di uscita.

La risposta (in termini di corrente) al gradino unitario

g

(t )

+ R si ottiene derivando la LKT applicata alla maglia:

t

1

( ) C t di d

1 1

1 ∫ + =

τ τ

+ = i e t

( )

( ) ( )

Ri i d e t

C dt RC R dt

0 = =

i i 0

La risposta, essendo l’integrale particolare nullo , risulta:

p t

 

RCt

− La costante di integrazione A si ottiene dalla

= =  

( ) ( ) 1

( )

i t g t Ae t ↔

v

condizione iniziale (la è nulla circuito a

C

  stato zero).  

  RCt

t v

1

( ) 1 ⇒ 1

= = = = ⋅

c  

i A g t e t

( ) 1

( )

 

+

=  

t 0  

R R R

+

=

t 0

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1.0

0.8  

g(t) RCt

1

0.6 ⋅

=  

g t e t

( ) 1

( )

 

R

0.4

0.2

0.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

t [ms]

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La risposta all’impulso si ottiene derivando la g(t) e ricordando la proprietà

di campionamento dell’impulso di Dirac: 

 RCt

h (t )

+ R −

1 ⋅

=

δ  

g t e t

( ) 1

( )

(t ) C  

R

 

t

1 1 δ

= − ⋅ +

 RC

h t e t t

( ) 1

( ) ( )

2

 

R C R

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1000 

 t

1 1 δ

⋅ +

= − 

 RC

h t e t t

( ) 1

( ) ( )

2 

 R C R

500 δ

(t)

1/R

0

-500 h(t)

-1000 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

t [ms]

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2° Metodo

Il secondo metodo consiste nel “bilanciare” i termini che compaiono nella

equazione differenziale risolvente: in particolare, occorre che la forma della

risposta i(t) sia tale da garantire impulsi di uguale ordine al primo ed al

secondo membro dell’equazione. di d

1 1

+ =

i e t

( )

h

(t )

+ R dt RC R dt

δ (t ) C dh d

1 1 δ

+ =

h t

( )

dt RC R dt

δ

Si osservi che la (t) agisce solo in t=0, quindi si estingue. Pertanto la

risposta impulsiva h(t) può differire dalla risposta in evoluzione libera,

per la eventuale presenza di termini impulsivi, solo nell’istante iniziale.

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Si procede, per approssimazioni successive.

La procedura si articola nei seguenti passi:

1. si sceglie una risposta di tentativo h (t)

0

h

(t )

+ coincidente con la evoluzione libera del

R

δ circuito;

(t ) C 2. se sono “bilanciati” i termini a primo e

secondo membro della equazione risolvente

la risposta è quella cercata, altrimenti si

passa al punto 3;

3. nel caso vi siano termini non bilanciati, si

aggiunge un termine impulsivo di ordine

crescente alla risposta di tentativo e si

ritorna al punto 2.

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Metodo del bilanciamento degli impulsi

h (t) di tentativo

0

(coincidente con

evoluzione libera)

k=0 Aggiungi impulso di

ordine k alla

risposta

no

Equazione risolvente k=k+1

soddisfatta?

si

h(t) trovata

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Nel caso del circuito RC serie la prima soluzione di tentativo (evoluzione

libera) sarà del tipo:

   

t t

− −

⇒ A

 

=   δ

= − +

'

RC

h t Ae t

( ) 1

( ) RC

h t e t A t

( ) 1

( ) ( )

   

0    

RC

0

Essa deve soddisfare l’equazione risolvente:

dh d

1 1 δ

+ =

h t

( )

dt RC R dt

   

RCt t

− −

1 1

A

   

δ δ

− + + = '

RC

e t A t Ae t t

1

( ) ( ) 1

( ) ( )

   

   

RC RC R

Si osserva che l’impulso di primo ordine a secondo membro non è

bilanciato: occorre aggiornare la h di tentativo aggiungendo un impulso di

primo ordine Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno

la seconda soluzione di tentativo sarà del tipo:

 

RCt

  δ

= + ⇒

h t Ae t B t

( ) 1

( ) ( )

 

1  

 

t

A

  δ δ

= − + +

' '

RC

h t e t A t B t

( ) 1

( ) ( ) ( )

 

1  

RC ⇒

dh d

1 1 δ

+ =

h t

( )

dt RC R dt

   

t t

− −

A B

1 1

   

δ δ δ δ

− + + + + = '

RC RC

e t A t B t Ae t t t

1

( ) ( ) ' ( ) 1

( ) ( ) ( )

   

  

 RC RC RC R

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la seconda soluzione di tentativo sarà del tipo:

 

 

t t

− −

A B

1 1

  

δ δ δ δ

+ =

+ + +

− '

RC RC

e t A t B t Ae t t t

1

( ) ( ) ' ( ) 1

( ) ( ) ( )

   

  

 RC RC RC R

Uguagliando i coefficienti dei termini impulsivi di uguale ordine si ottiene la

risposta cercata. 1

δ → =

' ⇒

per t B

( ) R

B 1

δ → + = ⇒ = −

per t A A

( ) 0 2

RC R C

 

t

1 1

  δ

= = − +

RC

h t h t e t t

( ) ( ) 1

( ) ( )

 

1 2

 

R C R

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Introduzione ai circuiti e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof De Magistris Massimiliano.

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