Bipoli impulsivi

Comportamento dei bipoli dinamici

in presenza di ingressi impulsivi

Lo studio di circuiti dinamici nei quali siano presenti generatori impulsivi

può essere semplificato considerando il comportamento “limite” esibito da

condensatori e induttori in tali circostanze. - +

In particolare si può mostrare che, nell’intervallo di misura nulla (0 ,0 ), il

condensatore può essere sostituito con un corto circuito:

i C

- +

C (0 ,0 )

i ⇔ C

C v

C

v

C

e l’induttore può essere sostituito con un circuito aperto:

L - + i

,0 )

(0

i L

⇔ L

L v

v L

L

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Tali proprietà possono essere dimostrate utilizzando un ragionamento per

assurdo.

Si consideri il circuito RLC serie in cui sia presente il generatore di tensione

δ Applicando la LKT alla maglia si ottiene

impulsivo (t).

E

R L δ = + +

E t v v v

( ) R L C

+ v

v Affinché l’equazione sia soddisfatta

L

R

δ C

E (t ) occorre che almeno uno dei termini a

v

C secondo membro sia un impulso: si vuole

dimostrare che l’unico termine impulsivo è

la . Supponiamo, per assurdo, che tutti i

v

L

termini della LKT siano impulsivi:

δ αδ βδ γδ

= + +

E t t t t

( ) ( ) ( ) ( )

α β γ

= + +

E

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Se tale relazione fosse verificata dovrebbe anche valere:

α α

di

αδ δ δ

= ⇒ = ⇒ = = '

v t i t v L L t

( ) ( ) ( )

R L

R dt R

di

γδ γδ γδ

= ⇒ = ⇒ = =

' '

'

v t i C t v L LC t

( ) ( ) ( )

C L dt

La tensione sull’induttore risulterebbe un impulso di primo o secondo

ordine.

Poiché tale impulso di ordine superiore non risulta bilanciato da un

analogo termine a primo membro, ne consegue che l’unica tensione

impulsiva possibile è quella sull’induttore: questo bipolo pertanto,

- +

nell’intervallo (0 ,0 ), si comporta come un circuito aperto.

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Si consideri, per dualità il circuito RLC parallelo in cui sia presente il

δ

I (t) Applicando la LKC al nodo si ottiene:

generatore di corrente impulsivo . δ = + +

I t i i i

( ) R L C

i i

i

C R

L

δ

I (t ) C Affinché l’equazione sia soddisfatta

R

L occorre che almeno una delle correnti a

secondo membro sia un impulso: si

vuole dimostrare che l’unico termine

impulsivo è la .

i

C

Supponiamo, per assurdo, che tutti i termini della LKC siano impulsivi:

δ εδ ηδ λδ

= + +

I t t t t

( ) ( ) ( ) ( )

ε η λ

= + +

I

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Se tale relazione fosse verificata, dovrebbe anche valere:

dv

εδ εδ εδ

= ⇒ = ⇒ = = '

i t v R t i C CR t

( ) ( ) ( )

R C dt

dv

ηδ ηδ ηδ

= ⇒ = ⇒ = =

' '

'

i t v L t i C LC t

( ) ( ) ( )

L C dt

La corrente nel condensatore risulterebbe un impulso di primo o secondo

ordine.

Poiché tale impulso di ordine superiore non risulta bilanciato da un analogo

termine a primo membro, ne consegue che l’unica corrente impulsiva

possibile è quella nel condensatore: questo bipolo pertanto, nell’intervallo

- +

(0 ,0 ), si comporta come un corto circuito.

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A causa del comportamento precedentemente illustrato per i due bipoli

dinamici, i circuiti RLC serie e RLC parallelo nell’intervallo si semplificano

come illustrato nelle figure:

v v

R L i

i

i R

L L

R

+ C

δ

I (t ) L

C

δ R

v

C

E (t ) C ( )

− +

∈ 0 , 0

t

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+

Nel caso del circuito RLC serie, detta la corrente a t=0 , si avrà pertanto:

I 0 +

( ) 0

1 ∫

− + +

δ δ τ τ

∀ ∈ ⇒ = ⇒ = =

t v t E t i E d I

0 ,

0 ( ) ( ) ( 0 ) ( )

L L 0

L −

0

E

dove si osserva che deve avere le dimensioni di un flusso:

= → ∝

E LI E Wb

[ ]

0 -1

]:

e l’impulso quelle del reciproco di un tempo [s

−

δ ∝ 1

t s

( ) [ ]

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V +

Nel caso del circuito RLC parallelo, detta la tensione a t=0 , si avrà

0

pertanto: +

( ) 0

1 ∫

− + +

δ δ τ τ

∀ ∈ ⇒ = ⇒ = =

t i t I t v I d V

0 ,

0 ( ) ( ) ( 0 ) ( )

C C 0

C −

0

I

dove si osserva che deve avere le dimensioni di una carica:

= → ∝

I CV I C

[ ]

0 -1

e l’impulso quelle del reciproco di un tempo [s ].

−

δ ∝ 1

t s

( ) [ ]

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Metodo dell’integrale di convoluzione

La risposta di un circuito lineare tempo invariante (LTI) del secondo

x(t)

ordine può essere ricavato dalla soluzione della seguente equazione

differenziale: ( )

α ω

+ + =

2

!

! !

x x x f t

2 0

+ =

x A

( 0 )

+ x(t) + =

!

x B

( 0 )

dove f(t) è una opportuna

funzione del “forzamento”

presente nel circuito.

La risposta può essere espressa nella forma:

= +

x t x t x t

( ) ( ) ( )

t p

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Poiché l’equazione è lineare (per la linearità dei bipoli) ed a coefficienti

costanti (per la tempo invarianza), è possibile applicare il principio di

scomposizione: = +

x t x t x t

( ) ( ) ( )

so io

dove

x (t ) risposta con stato zero

so

x (t ) risposta con ingresso zero

io ( ) α ω

+ + =

α ω

+ + = !

! ! 2

2

!

! ! x x x

2 0

x x x f t

2 io io io

0

so so so

0

+ + =

=

x ( 0 ) 0 x A

( 0 )

so io<