Biomeccanica(pt.2)

Sommario

Stereofotogrammetria analitica ........................................................................................ 2

Metodo classico ......................................................................................................... 2

Modello della camera a foro stenopeico .................................................................. 10

Problema della corrispondenza tra punti immagine di 2 camere ............................. 15

Geometria epipolare ................................................................................................ 19

Stima dei parametri interni ed esterni ...................................................................... 20

Determinazione della matrice A............................................................................... 21

Intersezione ODLE .................................................................................................. 27

Telecamere ............................................................................................................. 38

Spot check............................................................................................................... 39

Metodo dei minimi quadrati ............................................................................................ 43

Stima ad un passo ................................................................................................... 43

Digital Signal Processing ................................................................................................ 47

Scelta della frequenza di taglio-metodo di Winter ................................................... 50

Filtri e derivate ......................................................................................................... 53 1

STEREOFOTOGRAMMETRIA ANALITICA

Dato un punto che si muove nello spazio del laboratorio, è possibile esprimere il

funzionamento di questo sistema come la ricostruzione della posizione che il punto

assume istante per istante, fornendo una terna spaziale caratteristica (x,y,z) rispetto alla

terna di riferimento del laboratorio stesso. Per poter definire la posizione spaziale di un

punto per mezzo delle sue coordinate, è necessario che il punto venga osservato

contemporaneamente da almeno due punti di vista distinti. La registrazione della posizione

permette di calcolare le velocità e le accelerazioni dei punti lungo la traiettoria. Sebbene la

stereofotogrammetria optoelettronica sia un potente mezzo per la quantificazione della

cinematica segmentale ed articolare finalizzata alla valutazione della funzionalità motoria,

essa è affetta da diverse tipologie di errori: errori strumentali, artefatti da tessuto molle,

errori nella determinazione dei punti di repere. La ricostruzione di un movimento oltre

all’impiego di un numero opportuno di telecamere, richiede l’uso di markers; essi si

distinguono in markers attivi e passivi. I markers attivi sono costituiti da LED che generano

autonomamente il segnale luminoso e vengono posizionati in specifici punti di repere dei

quali si vuole definire la traiettoria. Questi dispositivi necessitano però di alimentazione e

sincronizzazione via cavo. I marker passivi sono costituiti da materiale catarifrangente in

grado di riflettere luci di lunghezza d’onda caratteristica compresa tra i 780-820 nm; sono

di forma sferica e vengono posizionati a livello dei punti di repere per mezzo di un

supporto platico. Le luci vengono emesse da illuminatori coassiali con le telecamere e

situati posteriormente ad esse, costituiti da opportuni filtri ottici e in grado di localizzare i

markers nel volume di misura.

In questo capitolo saranno illustrati i metodi classici o più moderni che permettono di

ricostruire la posizione di un marker opportunamente inquadrato.

Metodo classico

Supponiamo di avere un sensore () posto su un segmento corporeo. Esso è inquadrato

da una telecamera. Un fascio proveniente da si stampa sulla lastra fotografica passando

attraverso il centro prospettico dell’ottica della camera stessa (O) e dando luogo al punto

p.

Definiamo: 2

= punto corrispondente al foro stenopeico, al centro del sistema di lenti = centro

O

prospettico dell’ottica;

proiezione di sul piano immagine = punto principale;

O’= O

= distanza distanza principale; in questo caso, coincide con la distanza focale, dato

d OO’=

che stiamo considerando un sistema approssimato, in cui le lenti non introducono alcuna

distorsione.

Tale modello si basa sulla ipotesi di collinearità tra i punti O, P, p.

Come si esprime geometricamente tale condizione di collinearità?

Per poter effettuare la differenza tra due vettori, è necessario che siano espressi nello

stesso sistema di riferimento. Esprimiamo e entrambi nel sistema di riferimento

p O

immagine. Le coordinate di coincidono con quelle di per x e y, mentre per z saranno

O O’

pari a d. ′

−

=[ ′ ]

p-O= r −

0−

e sono, invece, espressi nel sistema oggetto.

P O −

[ ]

P-O= R= −

−

Come faccio a dire che sono allineati? Devo imporre la condizione di uguaglianza a meno

di un fattore moltiplicativo. Ma i 2 vettori non sono espressi nello stesso sistema di

riferimento. Ci sarà di mezzo una matrice che esprime la relazione tra sistema immagine

R

e fisso. Quello che facciamo è ruotare il sistema oggetto per far sì che i 2 sistemi siano

equiversi.

Definiamo la matrice che fa passare dal sistema oggetto al sistema immagine.

M

Per cui:

R’=[M]R

Posso allora scrivere: RELAZIONE DI COLLINEARITÀ

R’=kr ′

−

− ′

[ ]=k [ ]

M − −

− 0− ′

−

− (i)

′

[ ]=k [ ]

M T

− −

− 0−

Supponiamo di conoscere tutti i parametri interni delle telecamere (coordinate di e d) ed

O’

esterni (coordinate di e matrice in altre parole, supponiamo di aver già risolto il

O M);

problema della calibrazione, il sistema che abbiamo appena definito diventa un sistema di

3 equazioni in 4 incognite (xp, yp, zp, k). 3

È evidente, quindi, come per risolvere il problema della ricostruzione o intersezione

stereofotogrammetrica non mi basta una telecamera, ma ho bisogno di 2 telecamere

calibrate che inquadrino lo stesso punto, in questo modo otterrei un sistema in 6 equazioni

e 5 incognite (xp, yp, zp, k1, k2). Un sistema di questo genere è ridondante, ma la

ridondanza puo' essere sfruttata per ridurre gli errori di misura.

Sottolineiamo che l’ipotesi di collinearità è valida per telecamere ideali, senza lenti: se ci

sono lenti, esse introdurranno distorsione e quindi la congiungente i 3 punti non sarà una

retta, ma una linea.

Quindi per risolvere il problema della determinazione di un punto nello spazio 3D occorre

inquadrare il punto con almeno 2 telecamere; se ce ne sono 3 o più, tanto meglio.

Queste telecamere devono, però, essere calibrate. Prima di risolvere il problema della

ricostruzione, bisogna risolvere quello della calibrazione. Vediamo come fare.

La calibrazione si basa su delle equazioni definite da Abdel-Aziz e Carara che

costituiscono la Direct Linear Trasformation (DLT).

Si tratta di una coppia di equazioni ottenute dalle 3 equazioni (i), dividendo la prima e la

seconda per la terza. In questo modo, invece dei parametri interni ed esterni compaiono

11 parametri (non 12 come ci aspetteremo perché l’ultimo termine è normalizzato

all’unità).

La conoscenza dei parametri interni ed esterni delle camere consente l’immediata

conoscenza degli 11 parametri della DLT. Il viceversa è meno immediato ed occorre far

riferimento a procedure numeriche di “orthogonal triangularization” e “back-substitution”. Il

vantaggio della rappresentazione della DLT, sta nella relativa facilità con la quale

possiamo stimare gli 11 parametri della DLT data una distribuzione di almeno 6 punti di cui

conosciamo sia le coordinate nel sistema di riferimento oggetto che nel sistema di

riferimento immagine.

Supponendo di conoscere sia le coordinate immagine (xp, yp) che oggetto (xP, yP, zP),

come posso trovare i 12 parametri della DLT? In teoria, infatti, ho 2 equazioni in 11

9

incognite, cioè soluzioni. Questo mi permette di capire come il numero minimo di punti

∞

di cui devo conoscere le coordinate per risolvere il problema è 6. Allora posso pensare di

ottenere una stima degli 11 parametri che sono legati ai parametri interni ed esterni delle

camere, posso così risolvere il problema della calibrazione e accedere a quello della

collinearità. Anche qui, se ho un numero maggiore di punti, tanto meglio.

Come detto, tuttavia, i parametri della DLT sono legati ai parametri interni ed esterni

tramite equazioni altamente non lineari. È possibile, però, ricavare i secondi dai primi

procedendo in questo modo.

Organizzo i 12 parametri della DLT in una matrice [3x4] in cui:

-la prima riga contiene i coefficienti del numeratore della prima equazione;

-la seconda riga contiene i coefficienti del numeratore della seconda equazione; 4

-la terza riga contiene i coefficienti del denominatore, comune ad entrambe le eq.ni e con

l’ultimo elemento normalizzato a 1.

Allora si può scrivere la relazione: Matrice a blocchi, con

primo blocco [3x3],

Matrice triangolare invertibile con secondo blocco [3x1]

d=distanza focale (diverso da 0, MATRICE DEI

altrimenti il centro focale sarebbe PARAMETRI ESTERNI

schiacciato sul piano

immagine assurdo!)

→

MATRICE DEI PARAMETRI INTERNI

Poiché è più facile conoscere e stimare i parametri della DLT rispetto a quelli interni ed

esterni, posso prima ricavare quelli della DLT e poi tramite tale relazione determinare i

parametri effettivi della telecamera.

Vediamo innanzitutto come determinare gli 11 parametri della DLT.

Date le eq.ni:

Moltiplichiamo ambo i membri per il denominatore e portiamo tutto a primo membro,

cambiando di segno. [ ]

Raccogliamo le incognite in un vettore [11x1]: e riscriviamo le 2 eq.ni in

… .

1 2 11

forma matriciale: 5

Per costruire tale matrice posso ragionare così:

Qual è il coefficiente che moltiplica ? quello che moltiplica ? quello che

Xp; Yp;

1 2

moltiplica ? ecce cc.

Zp

3

Quello che resta da tale prodotto, viene portato al secondo membro e diventa il termine

noto.

Ma questo sistema non è risolvibile con un singolo control point. Maggiore sarà il numero

di punti più precisa sarà la stima dei parametri.

Ma come possiamo avere un numero sufficientemente alto di punti di controllo?

Fino a 20 anni fa ogni laboratorio di analisi del movimento era provvisto di un oggetto di

calibrazione con un reticolo fisico di aste intersecate che ad ogni incrocio recano un

marker. Si tratta di un oggetto assai preciso, ma anche pesante e ingombrante, difficile da

spostare. Il sistema di riferimento viene fatto coincidere con gli spigoli dell’oggetto di

calibrazione che ha forma rettangolare. Il sistema di riferimento dell’oggetto diventa il

sistema di riferimento (perciò dev’essere ubicato in maniera opportuna). Possiamo

pensare che, poi, su questo oggetto cadano le piattaforme di forza per l’analisi del

movimento. Dopo la definizione del sistema di laboratorio, l’oggetto di calibrazione è

portato via, ma è come se nel volume da esso occupato rimanesse la sua ‘impronta’. In tal

caso parliamo di calibrazione statica.

I sistemi di calibrazione attuali sono molto più semplici, basta una sola persona. Si tratta di

un oggetto costituito da 3 aste con un numero diverso di marker su di esse, a distanza

nota tra loro e dal fulcro. Tali aste costituiscono gli assi del sistema di laboratorio.

Successivamente un’asta viene rimossa e mossa in modo da spazzare in maniera più

uniforme possibile il volume di misura (calibrazione dinamica). Tramite procedimenti

iterativi, posso minimizzare l’errore quadratico medio a partire da una stima grezza dei

parametri iniziali, fino a quando non sia avrà la convergenza delle coordinate stimate dei

punti con quelle inquadrate.

Abbiamo finora sempre detto che l’avere a disposizione le coordinate di un numero

maggiore di punti rispetto a quelli strettamente necessari, cioè disporre di un sistema

ridondante va a nostro vantaggio, ma perché? Vediamolo con questi esempi.

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di m equazioni lineari in n incognite, che può

essere scritto nel modo seguente:

Se il sistema è determinato, cioè m=n, la soluzione, unica, del sistema è data da:

−1

= −

Se il sistema è sottodeterminato, cioè m<n, allora ammetterà soluzioni;

∞

se il sistema è sovradeterminato, allora m>n. In tal caso, potremmo pensare di non

considerare una delle equazioni ridondanti. Cioè: 6

Il sistema è equivalente a uno dei 3:

In tal caso, si otterrebbe sempre la stessa soluzione, ma questo è possibile perché stiamo

considerando un problema matematico e non reale, un problema, cioè, in cui l’errore è

nullo. In altre parole ci siamo posti in una situazione ideale, che non si verifica nella realtà,

Nella realtà, infatti, l’errore, in certa misura, sarà sempre presente. Nei casi reali, con cui

abbiamo a che fare la ridondanza può essere sfruttata proprio per ridurre l’errore,

procedendo in questo modo:

In forma matriciale, il problema precedente è dato da T

Il sistema non è invertibile, perché A non è una matrice quadrata. Premoltiplicando per A

ambo i membri si ottiene:

Così facendo ottengo una matrice quadrata invertibile (A, infatti, ha rango pieno), allora

posso calcolare x come:

In tal caso si ottiene esattamente lo stesso risultato che otteniamo eliminando una delle

equazioni. Nei casi reali, però, non è così.

Assumiamo che i dati siano affetti da rumore

Se trascuriamo una delle equazioni, si ottiene: Facendone

la media 7

Con l’algoritmo della pseudo-inversa, invece, si ottiene:

Nel primo caso si commette un errore in media pari a 0.3095, nel secondo pari a 0.2101.

Tale errore è stato stimato calcolando la differenza tra la soluzione ottenuta in assenza di

rumore (primo sistema) e quella ottenuta in presenza di rumore (secondo sistema);

dopodiché della differenza tra le soluzioni è stata calcolata la norma.

Una volta stimati i parametri della DLT si può risolvere il problema della ricostruzione, o

intersezione. Per far questo linearizzo le due equazioni della DLT, come visto in

precedenza. Ottengo un sistema in 2 eq.ni e 3 incognite:

Riscrivo le equazioni in forma matriciale:

Con una sola telecamera che inquadra un punto non riuscirò mai a risolvere tale

problema. Ho un sistema in 2 eq.ni e 3 incognite, otterrei soluzioni: tutti i punti dell’asse

∞

del raggio ottico perché tutti questi punti danno luogo alla stessa proiezione. Quindi

occorrono almeno due telecamere, in modo che l’intersezione dei loro raggi ottici mi

permetta di determinare le coordinate del punto. Per la seconda camera saranno diversi

gli 11 parametri della DLT e le coordinate xp, yp, ma poiché il punto inquadrato è lo

stesso, le incognite saranno le stesse. Se le telecamere sono di più, tanto meglio: ho un

sistema ridondante, quindi mi aspetto che la soluzione migliori avvicinandosi sempre più

alla soluzione vera.

Stimati i parametri della DLT, posso determinare anche i parametri interni ed esterni.

Dalla:

Ottengo:

Il primo termine è noto, perché assumiamo di aver già risolto il problema della DLT. 8

• 2

Calcolo s

−

Dove = = Per ora siamo interessati

Mentre = solo all’elemento (3,3)

Da cui: . . .

1x . . .

2

[ ] [ ]

[ ] =

1y 1 1 1

. . 1

1

1z

2

= 1

1z

1z 1

2

= 2 2 2

+ +

9 10 11

2

Conosco , calcolandobe la radice posso determinare s. Per quanto riguarda il segno

vedremo tra poco come detreminarlo.

• Calcolo C

Da cui:

Sul segno di d, a differenza di quanto visto per s, non si hanno incertezze. Fisicamente,

infatti, d rappresenta una distanza, quindi avrà segno positivo.

• Calcolo M

Poiché è non singolare, quindi invertibile:

C 9

Per quanto riguarda il segno, si sceglie arbitrariamente un segno di s (+ o -,

indifferentemente). Si verifica il segno del determinante di (che, essendo una matrice

M M

di rotazione, deve essere uguale a +1); se è negativo si cambia il segno di s.

• Calcolo Xco

Poiché

Dove è invertibile in quanto è il prodotto di due matrici, ed entrambe con

A C M,

1

determinante diverso da zero.

Ripetendo questo ragionamento per tutte le camere posso concludere il processo di

calibrazione.

Modello della camera a foro stenopeico

Questo modello è un modello più moderno; in tal caso, abbandoniamo la geometria

classica in cui le coordinate sono coordinate cartesiane per passare alle coordinate

omogenee. Vediamo come impostare il problema della collinearità con questo nuovo

approccio.

Definiamo: sistema di riferimento assoluto, o di laboratorio = XYZ;

sistema di riferimento immagine = xyz;

+

sistema di riferimento della telecamera: l’origine co