Biomeccanica(pt.2)

S A

Con A: sistema assoluto;

T: sistema telecamera;

I: sistema immagine;

S: sistema sensore.

di camera

=matrice

Questo è il nuovo modello a partire dal quale è possibile risolvere il problema della

calibrazione e dell’intersezione.

La limitazione principale di una telecamera pin-hole è che l’intensità della luce che

attraversa il foro e che giunge sugli elementi fotosensibili del piano immagine è troppo

piccola per essere rilevata, per cui è necessario allargare il foro (diaframma) e ricorrere ad

un’ottica per mettere a fuoco l’immagine. Tuttavia questo strumento introduce ulteriori

fattori di deviazione dal modello ideale di proiezione. In particolare il gruppo ottico deforma

l’immagine introducendo distorsioni classificate in cromatiche che degradano la qualità o il

dettaglio dell’immagine, e in geometriche che causano lo spostamento del contenuto

dell’immagine. In questo secondo caso, ogni punto dell’immagine è spostato dalla sua

posizione nominale predetta dal modello ideale di proiezione prospettica secondo Sist. Rif.

Assoluto (O,X,Y,Z) Sist. Rif. Sensore (u,v) Sist. Rif. Telecamera Sist. Rif. Assoluto 6 una

specifica funzione a priori non nota. La stima delle distorsioni prevede naturalmente la

definizione di un opportuno modello per questa funzione. 14

Problema della corrispondenza tra punti immagine di due camere

Per ciascuna camera si conoscono il centro prospettico, il piano immagine, l’asse ottico. Si

assume, inoltre, che il sistema di riferimento della telecamera sia centrato nel centro

prospettico dell’ottica. Le 2 telecamere inquadrano lo stesso punto dando luogo alle

P,

immagini e Noi vogliamo, appunto, conoscere la relazione tra tali punti. Per far

̅ ̅

′.

questo è necessario conoscere l’orientamento di una camera rispetto all’altra. Per

semplificare l’intero problema, facciamo in modo che il sistema di riferimento assoluto

coincida con quello di una delle due telecamere, la camera 1.

Definiamo con matrice che fa passare dal sistema di riferimento assoluto ( ≡camera 1)

R

2

a quello della telecamera 2:

Definiamo con il vettore che definisce la posizione del centro prospettico della

2

telecamera 1 (C) (coincidente con l’origine del sistema di riferimento assoluto) rispetto al

centro prospettico della telecamera 2 (C’ ) e definito nel sistema di riferimento della

telecamera 2.

SI definisce piano epipolare il piano definito dai punti e Su di esso, giacciono,

Π P, C C’.

inoltre, i punti e L’intersezione del piano epipolare con ciascuno dei due piani

̅ ̅

′.

immagine delle camere dà origine alle rette epipolari. L’epipolo è la proiezione del centro

prospettico della camera 2 attraverso il centro prospettico della camera 1 sul piano

immagine della camera 1. Essendo e fissi, questo punto è fisso: è un invariante della

C C’

geometria epipolare. sarà, per simmetria, la proiezione di Le 2 rette epipolari

′ C. 15

passano rispettivamente per i punti ed e per i punti ed Un’altra invariante della

̅ ̅

′ ′ .

geometria epipolare è la base line, tra i punti e

’.

Consideriamo la camera 1; tra le varie matrici che definiscono la matrice ci sono le

matrici e con che fa passare da assoluto a telecamera. Avendo a che fare con 2

,

camere ci saranno delle matrici e . Per quanto riguarda , in virtù della

,

posizione scelta (il sistema assoluto coincide con il sistema della camera 1) si ha che:

= 0

1

= ′

2

Ricordiamo che per la relazione del modello della camera pin-hole:

= 1 0 u 0

k f 0 0 0

u (3 ) (3 1)

× 3 ×

[ ][

= = ]

1 0 f 0 0 ( 3)

0 1 × 1(1 × 1)

0 v

0 0 0 − 1 0

k v

[ 1]

0 0

(3 3) [ ]

= [ × 0(3 × 1)] 0 1

− 0 0

Con

0 −

0

[ 1]

0 0

Allora [ ]

= = [ 0] 0 1

[ ]

[ ] [ ] [ ]

= = +

1

1

Matrice a blocchi

[3x3] [3x1]

Particolarizziamo le due espressioni alle due camere, ottenendo:

con P in coordinate cartesiane

Per

[ ] [ ]

C1: = = + =

1 p in coordinate omogenee

invertibile

Si potrebbe pensare è invertibile, se conosco posso conoscere No, perché è in

P p? P

coordinate cartesiane, mentre è in coordinate omogenee: ci sono un’infinità di punti

p

corrispondenti in coordinate cartesiane. 16

′

con P in coordinate cartesiane

′

Per

′

[ ] [ ]

C2: = = + = +

p in coordinate omogenee

1 invertibile

Poniamo:

vale comunque quanto detto sopra, questo è solo un passaggio algebrico, che poi dovrà

essere interpretato in maniera opportuna.

rappresenta le coordinate del generico punto espresse nel sistema di riferimento della

P P

telecamera 1 (rif. assoluto).

rappresenta le coordinate dello stesso punto espresse nel sistema di riferimento della

P’ P

telecamera 2.

Per cui: Con: coordinate omogenee del sistema sensore nel piano immagine di C1

p

Quindi: espresso nel sistema di C1

P

Con: coordinate omogenee del sistema sensore nel piano immagine di

p’

C2

espresso nel sistema di C2

P’

Poiché i punti giacciono nello stesso piano, vale la seguente condizione, nota come

P, C, C’

vincolo epipolare:

′ ′

∙ × = 0

Questi 3 vettori sono complanari. Tramite prodotto misto è possibile esprimere la

condizione di complanarità.

N.B. Nel prodotto misto l’ordine delle operazioni è stabilito a priori: prima si fa il prodotto

vettoriale e poi il prodotto scalare, poiché il risultato del prodotto scalare è uno scalare;

quindi, se facessimo prima il prodotto scalare, poi non sarebbe possibile effettuare il

prodotto vettoriale.

La condizione di complanarità è legata al fatto che tramite prodotto vettoriale ottengo un

vettore perpendicolare ad entrambi; se il prodotto scalare è nullo allora i 2 vettori sono

ortogonali, questo è possibile se il terzo vettore giace sullo stesso piano su cui giacciono i

′

primi due. Cioè con allora

′ ⊥ = × , ′ ⊂ .

A questo punto dobbiamo tradurre tale equazione in un’equazione vettoriale, esprimendo

tutti i termini nello stesso sistema di riferimento: scegliamo di esprimerli nel sistema

assoluto.

Si ottiene: 17

• ′

Per

• ′

Per

• Per

Riscrivendo il vincolo epipolare, si ottiene:

′

∙ (− ) × = 0

2 2 2

Definisco rappresenta il vettore che, nel sistema di riferimento assoluto

= −

2

2

determina la posizione dell’origine della telecamera 2 rispetto all’origine del riferimento

assoluto, e quindi della telecamera 1.

Il prodotto vettoriale può essere riscritto per componenti come:

(− ) dove è la matrice assiale di vettore assiale

× = () ()

2

Da cui si ottiene:

′ ′ ′

( ) ( )

∙ () = () = () = 0

2 2 2 2 2

Ma: 18

Quindi:

dove p’ e p sono punti corrispondenti nella trasformazione epipolare.

Con matrice fondamentale che contiene i parametri interni e i

parametri esterni relativi tra le due camere.

Ed matrice essenziale che contiene solo i parametri esterni delle

telecamere.

Geometria epipolare

Il problema dell’Image Matching, ovvero di ricerca dell’immagine corrispondente, può

essere notevolmente semplificato se è nota l’orientazione relativa della coppia di

telecamere, in quanto lo spazio di ricerca si riduce da due ad una dimensione.

Siano ed le proiezioni prospettiche rispetto ai centri di proiezione e ,

m m C1 C

1 2

rispettivamente della telecamera sinistra e destra, di un punto M dello spazio

tridimensionale. I cinque punti: , C1, C2 giacciono su un piano detto piano

M, m , m ()

1 2

epipolare associato ad . Le due rette e originate dall’intersezione di

M () ()

con il piano immagine della camera sinistra e destra, rispettivamente, sono dette

()

rette epìpolari.

Si consideri la retta epìpolare : questa non è altro che la proiezione prospettica

con centro di proiezione C2 della semiretta avente origine in e passante per il

m 1

punto In altre parole, è il luogo di tutte le possibili corrispondenze nella vista

M.

destra della scena, del punto della vista sinistra. Analogamente è il luogo di tutte le

m

1

possibili corrispondenze nella vista sinistra del punto della vista destra della scena.

m 2

L’immagine di un centro di proiezione rispetto all’altro centro di proiezione è detta

epìpolo: è l’epìpolo della camera sinistra, ovvero la proiezione prospettica di C2

E1

rispetto al centro di proiezione C1 e viceversa per E2.

Al variare del punto le rette epipolari formano un fascio di rette centrate nell’epìpolo

M, 19

corrispondente, così come i piani epìpolari formano un fascio di piani centrati nella retta

congiungente i due centri di proiezione (baseline). Il principale vantaggio di queste

relazioni geometriche è che il piano epìpolare è definito, ad esempio, da , C1 e C2 .

m 1

Quindi, quando è data solo un’immagine del punto ad esempio quella sinistra , la<