Biomeccanica del movimento

1. Determinazione della relazione fondamentale della cinematica mediante Singular Value Decomposition

Problema

Dato l'insieme di coordinate _i, _i ; = 1, ..., , ≥ 3

• determinare la matrice di orientamento e il vettore posizione della relazione = +

Soluzione

• Calcolare la matrice di cross-deposizione Ξ

Ξ = ¹/∑( - ̄) ( - ̄)

dove ̄ = ¹/∑ ; ̄ = ¹/∑

• Effettuare la SVD di Ξ

Ξ = Σ dove e sono matrici ortogonali e Σ è una matrice diagonale

La soluzione è = = ̄ - ̄

Note:

1. Se rg(Ξ) = 3 gl = m punti sono distribuiti nello spazio
2. Se rg(Ξ) = 2 gl = m punti sono distribuiti su un piano
3. Se rg(Ξ) = 1 gl = m punti sono allineati

Se det(R) = -1, cioè si stiamo fl invertendo Affinchè siano destrorso (det(R)=+1), R si calcola nel seguente modo

=

=

2. Matrici di rotazione elementari e algoritmo di Fu Gonzales

Rotazione intorno all'asse x

R_x,α =

Rotazione intorno all'asse y

R_y,ϕ =

Rotazione intorno all'asse z

R_z,θ =

Algoritmo di Fu Gonzales

• I sistemi sono inizialmente coincidenti. è una matrice identità 3x3
• Se il sistema ruota intorno a un degli assi del sistema fisso si precompila la corrispondente matrice elementare
• Se intorno al mobile si postmolte-plica

3. Convenzione di Grood & Suntay

Sistema di riferimento pelvico:

• O - origine: incrocio con il centro di rotazione d'anca destro
• Z - parallela alla linea passante per le ASIS, punta lateralmente
• X - perpendicolare alla linea orizzontale all'asse Z che giace sul piano definito dalle ASIS e punto medio PSIS, punta anteriormente
• Y - prodotto vettoriale Y = Z x X

Rotazioni di Grood & Suntay:

• Primo rotazione flesso-estensione (asse Z)
• Secondo rotazione esterno-interno-esterno (asse Y)
• Terza rotazione abduzione-adduzione (asse X flottante)

4. Protocolli

Plug-In Gait:

• Pro: pochi marker
• Affidabilità: anche nei bambini
• Limiti:
• Marker estesos:
• Durante l'abduzione l'ascella del marker esteso oscilla, dunque due assi: più corta e rigida possibile
• Il marker posteriore individua sia il femore sia la tibia
• Impatto (es. da misurare la flessione fra due segmenti ossei) debe accorte il pac
• Teleromare esita o flusso posizionale
• Il tempo di reazione è molto piccolo e la sua individuazione è difficile dal momento che più il soggetto è allenato dalla feleromaro posteriore più facile (es. invialse)

VCM = protocollo Davis: è il protocollo più diffuso

• Pro: pochi marker
• Affidabilità: anche nei bambini
• Limiti:
• Marker estesi (come nel plug-in):
• Analisi bilaterale con 3 telecamere (sinistra, destra, posteriore anteriore)
• Orientualmente anche nel Davis, come nel plug-in, un solo marker indica femore e tibia; il protocollo è stato recentemente aggiornato con l'aggiunta di un ulteriore marker.

7. Ricostruzione

Ripetendo il ragionamento, la può essere scritta come

[xp1-x01

[yp1-y01

[ _{1 xp1-x02} ]

3 Incognita

Dunque si devono avere almeno due camere per definire univocamente la posizione di un punto.

A = [3 3 _xp ] [3 1 ]

Anche in questo caso x si trova tramite la pseudo-inversa di A

8. Procedimento per il calcolo dei parametri interni ed esterni delle camere, noti i parametri della DLT

o₁ o₂ o₃ = (-¹_-mX₀)[1 0 0]

M = [M - MX_co] = A[-CM -MX_0]

Si assumono note A, e A9. Si vogliono ricavare i paramentri interni ed esterni della camera, Si nota che A_1=(-s)Ι¹CM

Calcolo di si:

- Si considera il prodotto A A1 A^T = (s)Ι2C¹M la do di po ll.

- Tendo conto della struttura di C, l'_elemento di posizione (3.3) della matrice

- Invertendo la relazione del primo punto si ottiene con pos.

(s1 Η 1 A_m T)

Re = complete Euclideans (distanza misurata fra l'origine e i markers)

Re = pure Euclideans (distanza netta fra l'origine e i markers)

Misura il bad degree of freedom di un sistema di misurazione

l’accuratezza della misura nell’intero volume di misurazione

Test 2: Mean Dynamic Noise Test

Si ha un semplice sistema da due aste rigide orizzontali perpendicolari fra

di 2m lunghe, 0,5m l'una. Nell punto d'intersezione è fissata una

fetta con larghezza di 0,5m e 1,5m e 0,5m

Su sistema delle aste si trovano fissati dei due

markers. Sulle aste verticali sono fissati i due

markers, uno a distanza di almeno 0,5m

l'uno dall'altro

La paletta viene fatta oscillare e viene misurata la distanza fra le coppie di

markers su ogni asse

mean dynamic noise

(deviazione standard)

• m: dati devono essere unsmoothed
• e uninterpolated
• se lo fossero la laghezza della banda
• del segnale potrebbe essere allargata
• in modo da impulse-like
• m: è fattore 1/12 introdotto per separato il rumore dei due markers
• è semplicemente il rumore misurato per un marker più rad-padrini
• dell rumore misurato per l'altro marker

Test 3: Full Volume Error Test

Un’asta rigida ha un marker fissato ad ogni estremità;

Vengono effettuati I test, nel quale l’asta è viene inclinata con le direzion

degli assi del sistema di riferimento di laboratorio:

Full volume error test

La scopo del Full Volume Error Test è di:

errore di quantizzazione e calibrazione locale

m: anche in questo caso i dati devono essere unsmoothed e

uninterpolated

m: anche in questo caso viene aggiunto un fattore 1/12

Esercizi

1. CAMERE

C₁ centro prospettico della camera 1

C₂ centro prospettico della camera 2

Per semplicità: il sistema di riferimento della camera 1 coincide con quello assoluto.

1. Sulla base della disposizione delle camere indicata in figura, determinare le matrici di camera A₁ e A₂

• A = HMD =

  • ⎡(1/K_w) u₀ -f 0 0⎤ ⎡R⎤
  • ⎢ 0 (1/K_v) v₀ 0 -f⎥ ⎢T⎥
  • ⎢ 0 0 1 0⎥ ⎢0⎥
  • ⎣ 0 0 0 1⎦ ⎣0⎦

• A₁ =

  • ⎡ 0 0 0⎤ ⎡-f 0⎤ ⎡R₁ T₁⎤
  • ⎢ 0 0 0⎥ ⎢ 0 -f⎥ ⎢ 0 0⎥
  • ⎢ 0 0 1⎥ ⎢ 0 0 ⎥ ⎢ 0 0⎥
  • ⎣ 0 0 0⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣0 1⎦

  =

  • ⎡-f 0 0⎤
  • ⎢ 0 -f 0⎥
  • ⎢ 0 0 1⎥
  • ⎣ 0 0 0⎦

• A₁ = {K, R, K, T}

• K₁^-1 =

  • ⎡ -1/f 0 u₀⎤
  • ⎢ 0 -1/f v₀⎥
  • ⎢ 0 0 1 ⎥
  • ⎣ 0 0 0⎦

• ...

• =

  • ⎡ f 0 ⎤
  • ⎢ 0 -f ⎥
  • ⎣ 0 0 1 ⎦