Biomeccanica del movimento

1. DETERMINAZIONE DELLA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA CINEMATICA MEDIANTE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

Problema Dato l'insieme di coordinate {xi, yi; i=1,...,m, m≥3} determinare la matrice di orientamento R e il vettore posizione p della relazione y = R x + p

Soluzione - Calcolare la matrice di cross-dispersione Σ

Σ = ¹⁄_m ∑ (yi - ŷ) (xi - ^-_x)^T

dove ^-_x = ¹⁄_m ∑ xi ; ŷ = ¹⁄_m ∑ yi.

- Effettuare la SVD di Σ

Σ = UΣV^T

dove U e V sono matrici ortogonali e Σ è una matrice diagonale.

- La soluzione è R = UV^T

p = ŷ - R ^-_x

Note 1.

• Se ^rg (Σ) = 3 allora i punti sono distribuiti nello spazio.
• Se ^rg (Σ) = 2 allora i punti sono distribuiti su un piano.
• Se ^rg (Σ) = 1 allora i punti sono allineati.

2. Se det(R) = -1 il sistema è sinistrorso. Affinché sia destrorso (det(R)=1), R è calcolato nel seguente modo:

R = U × &LeftBracketingBar; ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- diag(UV^T)

2. MATRICI DI ROTAZIONE ELEMENTARI E ALGORITMO DI FU GONZALES

Rotazione intorno all'asse x

R_x,α= &LeftBracketingBar; ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_-

Rotazione intorno all'asse z

R_z,θ= &LeftBracketingBar; ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_-

Rotazione intorno all'asse y

R_y,φ= &LeftBracketingBar; ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_- ^-_-

Algoritmo di Fu Gonzales

• I sistemi sono inizialmente coincidenti: R è una matrice identità 3×3.
• Se il sistema ruota intorno a un degli assi del sistema fisso, si preimposta la corrispondente matrice elementare.
• Se intorno al mobile, si postmoltiplica.

1. DETERMINAZIONE DELLA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA CINEMATICA MEDIANTE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

Problema

Dato l'insieme di coordinate (x_i, y_i) ; i = 1, ..., m ; m ≥ 3

determinare la matrice di orientamento R e il vettore posizione ρ

della relazione y = R x + ρ

Soluzione

• Calcolare la matrice di covarianza zeta

∑ zeta = 1/m ∑(y_i - ÿ)(x_i - &xuml;)^T

dove &xuml; = 1/m ∑x_i ; ÿ = 1/m ∑y_i

• effettuare la SVD di ζ

ζ = U Σ V^T dove U e V sono matrici ortogonali e

Σ è una matrice diagonale

• La soluzione è R = U V^T ρ = ÿ - R &xuml;

Note

• 1. Se rg(Σ) = 3 allora i punti sono distribuiti nello spazio
• 2. Se rg(Σ) = 2 allora i punti sono distribuiti su un piano
• 3. Se rg(Σ) = 1 allora i punti sono allineati

• 2. Se det(R) = -1 il sistema è sinistroso

Affinchè sia destrorso (det(Β) = 1), R è calcolata nel seguente modo

R = U   

[ 1     0     0 ]

[ 0   1   0 ] 0 det(U V^T)

[ 0     0     -1 ]

2. MATRICI DI ROTAZIONE ELEMENTARI E ALGORITMO DI FU GONZALES

Rotazione intorno all'asse x

• R_x,α =

[ 1     0      0 ]

[ 0  cosα    -sinα ]

[ 0  sinα    cosα ]

Rotazione intorno all'asse y

• R_y,φ =

[ cosφ         0   senφ ]

[ 0                1                0 ]

[ -senφ     0           cosφ ]