Biomeccanica dei Solidi - Appunti

H(λ),

Moltiplicare il vettore per che è un numero complesso, significa

intervenire sul modulo e sulla fase:

() ⋅ = ℜ{()} ⋅ + ⋅ ℑ{()} ⋅

0 0 0 (1. 130)

Si noti la componente immaginaria, che sarà “in quadratura” rispetto

al vettore di partenza .

0

Nella figura si evidenzia la soluzione particolare:

1

() = ⋅ ℜ{() ⋅ }

0

(1. 131)

26

1.3.4.2. Funzione di risposta in frequenza

Si riportano le formulazioni di modulo e fase del rapporto di amplificazione relativo ad una forzante armonica:

−2 ⋅

1

−1

|()| ⌊()

= = tan 2

2

2 2 1−( )

[ ]

√[1 − ( ) ] + (2 ⋅ )

(1. 132)

,

Dal grafico del modulo della risposta in frequenza si nota che, al crescere dello smorzamento relativo il

picco di risonanza si sposta verso valori sempre più bassi della frequenza della forzante e l’ampiezza del

picco diminuisce. Si valuta, quindi, per quale valore di il rapporto di amplificazione è massimo studiandone

la derivata: 2

|()| 1

2

= ⋅ [2 ⋅ − ⋅ ⋅ + 8 ⋅ ] =

(1 ) (−2 )

2 2 2

2

2 2

√(1 2

2 ⋅ − ) + 4 ⋅

2 2

2 ⋅ ⁄ 2

2

2

= ⋅ [ + 2 − 1]

2

2

2 2

√[1 2

− + 4 ⋅

]

2 2

2

|()| 2

√

= 0 ↔ + 2 − 1 = 0 ↔ = −

2

(1. 133)

27

La frequenza del picco di risonanza è: 2

) √1

(|| = ⋅ − 2

(1. 134)

Mentre l’ampiezza del picco sarà: 1 1

|| = ≈

2

2

2 ⋅ −

√1 (1. 135)

=

Si osserva, dal grafico della fase del rapporto di amplificazione che, quando , la risposta del sistema è

in quadratura (sfasata di 90°) rispetto alla forzante.

Si definiscono:

• Frequenza propria / naturale del sistema libero:

2

√1

= ⋅ −

(1. 136)

• Frequenza di risonanza in ampiezza: 2

) √1

(|| = ⋅ −

(1. 137)

È la frequenza per la quale la risposta in frequenza è massima (N.B. è poco più bassa di , mentre, in assenza

di smorzamento, coincide con la pulsazione naturale).

• Frequenza di risonanza in fase: = (1. 138)

È la frequenza per la quale la risposta del sistema è esattamente in quadratura rispetto alla forzante. 28

≪ 1,

Osservazione: per sistemi poco smorzati, allora l’ampiezza del picco di risonanza sarà approssimabile

con: 1 1

|| ||

= → ≈

2

2

2 ⋅ − 2

√1 (1. 139)

Il modulo del rapporto di amplificazione tenderà all’infinito se lo smorzamento relativo tende ad annullarsi

(caso non smorzato).

|| ”

Il valore è spesso definito come “fattore di qualità e l’ampiezza dell’oscillazione della risposta del

sistema in corrispondenza della frequenza di risonanza in ampiezza sarà:

2√

0 0

() = → = ⋅ = ⋅ =

,

2 ⋅ ⋅

0

⁄

(1. 140)

Della funzione di risposta in frequenza del sistema si possono studiare i diagrammi di Bode di modulo e fase,

oppure i grafici delle componendi reale e immaginaria o, ancora, il diagramma di Nyquist: il diagramma della

parte immaginaria, in funzione della parte reale. 29

1.3.4.3. Eccitazione del vincolo

Si ipotizza una eccitazione del vincolo del tipo: ∗

()

= ⋅ cos() = ℜ{ ⋅ }

(1. 141)

∗ ∗

2

() ()

̇ = ⋅ → ̈ = − ⋅

(1. 142)

Sostituendo l’espressione dell’eccitazione nell’equazione differenziale non omogenea relativa alla sola

eccitazione del vincolo (nel sistema di riferimento inerziale) si ottiene:

∗ ∗

̈ + ̇ + = ⋅ + ⋅ (1. 143)

In termini di parametri intrinseci: ∗ ∗

2 2

̈ + 2 ̇ + = ⋅ + 2 ⋅

∗

2 2

(

̈ + 2 ̇ + = + 2 ) ⋅

(1. 144)

Si cerca quindi una soluzione del tipo:

0∗ 0∗ 0∗

2

= → ̇ = ⋅ → ̈ = − ⋅ (1. 145)

Sostituendo la soluzione proposta nell’equazione si trova:

0∗ 0∗ 0∗ ∗

2 2 2

(

− ⋅ + 2 ⋅ + ⋅ = + 2 ) ⋅

0∗ ∗

2 2 2

(− ) (

+ 2 + ⋅ = + 2 ) ⋅

(1. 146)

Il “rapporto di amplificazione” risulterà dunque essere:

1 + 2 ⋅

0∗ 2

+ 2

() = = =

∗ 2

2

2

− + 2 +

1−( ) + 2 ⋅

(1. 147)

Si separano la parte reale e la parte immaginaria: 2 2

1 + 1 + − − + + + −

= ⋅ = = −⋅

2 2 2 2 2 2

+ + − + + + (1. 148)

Se si pone: 2

=1−( ) 3 3

→ − + = −2 ⋅ + 2 ⋅ − 2 ( ) = −2 ( )

= 2 ⋅

{ 30

Il rapporto di amplificazione sarà: 2 2 3

1−( ) + (2 ⋅ ) −2 ( )

() = +⋅

2 2

2 2 2 2

[1 − ( ) ] + (2 ⋅ ) [1 − ( ) ] + (2 ⋅ )

(1. 149)

Si definiscono quindi Modulo e Fase e se ne studiano i diagrammi di Bode. 2

1 + (2 ⋅ )

2 2

|()| √ℜ{()}

= + ℑ{()} = √ 2

2 2

[1 − ( ) ] + (2 ⋅ )

(1. 150)

3

−2 ( )

ℑ{()}

−1 −1

⌊() = tan = tan

( ) 2 2

ℜ{()}

1 − ( ) + (2 ⋅ )

[ ]

(1. 151)

Osservazione: si ha un’intersezione tra le curve del modulo e non più tra quelle della fase.

1.3.4.4. Smorzamento ottimo

Si dimostra, tramite un bilancio energetico, che il valore dello “smorzamento ottimo” è:

√

= =

2 2√2 (1. 152)

31

1.3.5. Metodo dei punti di metà potenza Si tratta di un metodo sperimentale per

ricavare lo smorzamento relativo di un

sistema, di cui si conosce solo la sua

risposta in frequenza (spettro).

Si analizza lo spettro e si individua la

“frequenza di risonanza in ampiezza”: la

frequenza per la quale il modulo dello

spettro è massimo.

̅ 2

√1

= − 2

(1. 153)

Si individuano quindi i “punti di metà

potenza” e , corrispondenti ai due

1 2

punti in cui il modulo della risposta in

frequenza vale: ̅

|| = ⁄

,

1 2 √2 (1. 154)

Si individuano quindi le rispettive frequenze e . Si avrà:

1 2

1 1 1

= = ⋅ 2

√2 √2 2 ⋅ −

√1

2

2 2

√[1 − ( ) ] + (2 )

̅

2 2 2

= ± 2

1,2 (1. 155)

̅ ≅

Per sistemi poco smorzati , quindi le pulsazioni dei punti di metà potenza saranno circa:

̅√1

= − 2 ≅ ⋅ √1 − 2

1

{ ̅√1

= + 2 ≅ ⋅ √1 + 2

2 (1. 156)

All’aumentare dello smorzamento, il picco sia allarga e la “distanza”, in termini di frequenza, tra i due punti

di metà potenza aumenta. È quindi la distanza in frequenza tra i punti e che da informazioni circa lo

1 2

smorzamento del sistema: √1 + 2 + √1 − 2 4

Δ = + 2 − √1 − 2) ⋅ = ⋅

(√1

√1 + 2 + √1 − 2 √1 + 2 + √1 − 2

± 2 ≅ 1”

Approssimando “1 si ottiene:

Δ ≅ 2 → =

⋅ (1. 157)

32

1.3.6. Smorzamento Strutturale

Sperimentalmente si osserva la relazione tra la forza trasmessa e la deformazione lungo l’asse longitudinale

di un provino trazionato in una macchina di prova.

è la “forza trasmessa”, ovvero quella misurata dalla cella di carico. Si diagramma quindi l’andamento della

(),

forza misurata dalla