Biomeccanica

TOT

contrario. In Fig. 7.23 è rappresentata la forza agente sulla vela per unità di mas-

sa d’aria. Questa forza si può scomporre in due parti, una secondo la direzione del

Fig. 7.24. Propulsione velica 7.9 Forze di campo 227

moto, la forza propulsiva P, l’altra secondo la direzione normale, T. È interessante

osservare che più la bolina è stretta, cioè minore è l’angolo formato dalla direzione di

avanzamento col vento, maggiore è la componente trasversale (che provoca soltanto

un moto di scarroccio della barca, contrastato dalla deriva) e minore quella propulsi-

va. Il lettore potrà esercitarsi ad indagare qual è la direzione del vento ottimale, per

ottenere la massima forza propulsiva. La facile risposta “col vento in poppa” è, contro

l’intuizione, errata.

7.9 Forze di campo

Tra le forze di campo più frequentemente trattate nei problemi di ingegneria trovia-

mo:

• forze di gravità;

• forze elettromagnetiche;

• forze d’inerzia.

Forze di gravità

Il campo della gravità dovuto all’attrazione terrestre su qualunque corpo dotato di

massa genera forze proporzionali alla massa del corpo e all’accelerazione di gravità,

variabile con la latitudine e con la quota. Il valore standard dell’accelerazione di gra-

= 2 . La variazione con la latitudine e la quota è ben approssimata

vità è g 9,80665 m/s

dalla formula: m

−8

= ∗ (1 + L ∗ (1 − ∗

2

g 9,78075 0,00524 sin 2,926 10 h) 2

s

L

in cui è la latitudine in gradi e h la quota, in metri sul livello del mare. La forza di

gravità di un corpo deve essere considerata come risultante delle forze elementari che

agiscono sulle sue particelle dotate di massa, ed è applicata nel baricentro. La forza

=

è diretta dal baricentro del corpo verso il centro della terra. Il suo valore è P mg.

Forze elettromagnetiche

Quando una particella elettrica con carica e si trova all’interno di un campo elettrico,

essa è soggetta ad una forza che vale: =

F eE

dove E è l’intensità del campo elettrico. Se la particella è mobile all’interno di un

campo magnetico con intensità H essa è soggetta ad una forza pari a:

= ×

F eV H

dove V è il valore del potenziale elettrico nel punto in cui si trova la particella.

228 7 Analisi delle forze

Forze d’inerzia. Il principio di d’Alembert

Per il secondo principio della dinamica, più estesamente illustrato nel seguito, un

corpo soggetto ad un sistema di forze acquista un’accelerazione data da:

∑ =

F ma. (7.9.1)

i

L’accelerazione assunta dal corpo è un vettore, con la stessa direzione del risultante

| |

∑ F = R

i . Se la risultante delle forze

delle forze agenti sul corpo e con modulo pari a m m

applicate non passa per il baricentro G e sul corpo sono applicate anche coppie C, si

ha, assumendo il baricentro come polo dei momenti:

∑ (C + × ) = Ḧ.

GP F J (7.9.2)

i i

Le equazioni del moto scritte precedentemente vengono riformulate, secondo il prin-

cipio di d’Alembert, come equazioni d’equilibrio portando al primo membro i termini

−ma −J

Ḧ

e che assumono il carattere di forza e coppia d’inerzia. Le equazioni del

moto diventano cosi equazioni di equilibrio dinamico:

∑ − =

F ma 0 (7.9.3)

i

∑ (C + × ) − Ḧ =

GP F J 0. (7.9.4)

i i

Un corpo dotato di un’accelerazione di traslazione e di un’accelerazione angolare è

−ma,

soggetto ad una forza d’inerzia pari a essendo a l’accelerazione del suo bari-

−J Ḧ,

centro e ad una coppia d’inerzia essendo J la sua matrice d’inerzia rispetto ad

assi baricentrici e convertire il vettore della sua accelerazione angolare.

Esempio 7.6. Un punto materiale si muove con velocità costante, di moto circolare.

2

− :

v

La sua accelerazione è puramente centripeta e vale . A questa accelerazione

r 2 :

−ma v .

corrisponde una forza d’inerzia (la forza centrifuga) di valore pari a cioè m r

In queste condizioni il punto non può essere in equilibrio senza una forza che equilibri

la forza centrifuga, diretta cioè dal punto verso il centro.

Fig. 7.25. Forze d’inerzia nel moto circolare

8

Elementi di statica

8.1 Equilibrio di semplici elementi strutturali

Leggi dell’equilibrio statico

Partiamo dalla seconda legge della dinamica, espressa per moti di traslazione e di

rotazione:

• l’applicazione di una forza produce in un corpo un’accelerazione tale che il

prodotto della massa del corpo per l’accelerazione è uguale alla forza agente.

Per moti di traslazione si ha: ∑ = =

F R ma. (8.1.1)

Per moti di rotazione: ∑ = = ".

¨

M M J (8.1.2)

R

"

¨

Con J matrice d’inerzia e accelerazione angolare. Se un corpo non trasla (o si

muove con moto rettilineo uniforme), sotto l’azione di di un sistema di forze esterne

=

e reazioni vincolari, avremo a 0 perché la sua accelerazione sarà nulla. Analoga-

mente se il corpo è in equilibrio alla rotazione (o ruota con moto circolare uniforme),

" =

¨

si avrà 0 Le relazioni precedenti diventano rispettivamente:

∑ ∑

= = = =

F R 0; M M 0. (8.1.3)

i R

Se un corpo è in equilibrio, o trasla con moto rettilineo uniforme, la risultante delle

forze e reazioni ad esso applicate è nulla. Analogamente se un corpo è in equilibrio

alla rotazione, il momento risultante di tutte le forze e coppie agenti è nullo.

Per scrivere le condizioni di equilibrio di un corpo, è necessario prima isolare

questo dall’ambiente esterno, sostituendo ai vincoli le reazioni vincolari. Come si è

detto in precedenza, gli schemi che cosi si ottengono, prendono il nome di diagrammi

di corpo libero. Si consideri ad esempio il caso della Fig. 8.1, che mostra come un

sistema composto da tre corpi, connessi con vincoli diversi, venga scomposto in tre

corpi semplici, sostituendo ai vincoli di connessione le relative reazioni vincolari, o

Picasso B.: Fondamenti di Meccanica e Biomeccanica. Meccanica dei corpi rigidi articolati.

DOI 10.1007/978-88-470-2333-8_8, © Springer-Verlag Italia 2013

230 8 Elementi di statica

Fig. 8.1. Diagrammi di

corpo libero di un sistema

azioni mutue. Nel caso in esame è facile vedere che il numero di componenti di for-

za incognite è sette, mentre le equazioni di equilibrio alla rotazione e alla rotazione,

sono tre per ciascun corpo, l’auto e l’uomo che spinge. La strada non è utilizzabile

come corpo libero, in quanto non è finito e determinabile il sistema di forze che agi-

sce su di essa. Esistono quindi sette incognite per sei equazioni. Il problema sarebbe

risolvibile con una condizione ulteriore, ad esempio ipotizzando una relazione di pro-

porzionalità tra le reazioni orizzontali H , H e le corrispondenti reazioni verticali,

3 4

attraverso il coefficiente di attrito volvente, esaminato nel seguito. Richiamando la

nozione di gradi di libertà di un sistema, già introdotta, si può definire il corpo iso-

statico, se i vincoli presenti sono in numero strettamente sufficiente per cancellarne i

gradi di libertà, labile se sono insufficienti, iperstatico se il numero dei gradi di libertà

cancellati dai vincoli è superiore a quello del sistema.

Se il sistema è isostatico, sarà possibile, isolando i corpi che lo compongono, scri-

vere tante equazioni di equilibrio quante sono le componenti incognite di forza da de-

terminare. Per i sistemi iperstatici occorrono condizioni addizionali che tengano con-

to della congruenza, cioè dello stato di deformazione del corpo e della compatibilità

di questo stato con i vincoli.

Alcuni semplici sistemi

Si considerino i sistemi semplici della Fig. 8.2. È agevole vedere che il primo sistema

è labile con un grado di libertà, il secondo è anch’esso labile con due gradi di libertà,

il terzo isostatico, il quarto iperstatico.

8.1 Equilibrio di semplici elementi strutturali 231

Fig. 8.2. Alcune strutture semplici vincolate

Fig. 8.3. Separazione della struttura nei suoi elementi

Problema a)

Considerando il caso a), se il sistema è in equilibrio sotto l’azione delle forze applica-

te e delle reazioni vincolari, supponendo che la forza P sia conosciuta, le componenti

incognite da determinare sono la componente verticale della reazione in B, le due

componenti della reazione in A, le due componenti della reazione in O e il momento

, complessivamente sei componenti di forza, numero eguale a quello delle equa-

C 1

zioni disponibili. Se guardiamo al sistema come il modello di una gamba, in cui viene

applicata una forza P nella caviglia, supponendo che la caviglia sia vincolata a scor-

rere su una guida orizzontale, vediamo che la coppia C è semplicemente la coppia

1

risultante delle azioni muscolari sull’anca che contrastano il movimento della gamba.

Per trattare il problema della determinazione delle componenti di forza e momento

incognite, occorre:

• eliminare i vincoli esterni ed interni, sostituendo a ciascuno di questi le due com-

ponenti orizzontale e verticale delle reazioni vincolari in O, A e soltanto verticale,

in B. Questo sezionerà il sistema in due segmenti indipendenti;

• scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione per ciascuno dei

corpi che compongono il sistema. Trattandosi di un sistema piano, le equazioni

per ciascun corpo saranno tre.

232 8 Elementi di statica

Fig. 8.4. Asta scarica

Si scriveranno quindi sei equazioni, che permetteranno di trovare facilmente le com-

ponenti incognite delle reazioni vincolari e il momento della coppia C . La Fig. 8.4

1

illustra il procedimento anche per via grafica. In effetti, nel caso di sistemi piani, per

imporre la condizione di annullamento della risultante del sistema di forze che agi-

sce sul corpo, si può costruire il poligono delle forze, riportando ciascuna delle forze

agenti, parallelamente a se stessa e tracciando un poligono che, per l’equilibrio, deve

essere chiuso.

Sempre con riferimento al caso a) si può considerare l’equilibrio, nonostante i vin-

coli siano insufficienti per garantirlo, se si ammette che il sistema delle forze esterne

e delle reazioni vincolari abbia risultante e momento risultante nulli. Le incognite

sono 6, essendo la forza P nota, H , V , H , V , V , C. Le equazioni sono sei,