Appunti Biomeccanica

QUADERNO DEGLI APPUNTI

8 marzo 2021

BIOMECCANICA E SIMULAZIONE DEI DISPOSITIVI BIOMEDICI

Biomeccanica: studio della meccanica applicata alla biologia.

Simulazione numerica: implementazione di modelli matematici → scrivere equazioni che descrivono un sistema fisico che devono essere risolte in maniera:

• analitica,
• numerica (per problemi più complessi).

Dispositivi medici: qualsiasi dispositivo usato per scopi medici. Interagiscono con pazienti quindi forniscono diagnosi, trattamenti, cure.

Ingegneria: settore delle scienze e della tecnica che usano strumenti matematici per analizzare problemi e progettare soluzioni.

Si parte da un problema scientifico-tecnologico che deve essere trasformato in equazioni (modello matematico) per analizzare il problema e trovare soluzioni.

Meccanica: settore dell’ingegneria che riguarda il moto e le deformazioni di corpi sui quali agiscono delle forze.

TIPI DI MATERIALI

Un aspetto fondamentale è la natura dell'oggetto.

Un materiale è un qualcosa fatto di materia, costituito da una o più sostanze. Si hanno materiali:

• tradizionali dell’ingegneria: polimeri, metalli e leghe,
• innovativi dell’ingegneria: additivo, intelligenti e funzionali,
• biologici: che si adattano alle condizioni di carico, alle condizioni nelle quali vivono.

MATERIALI TRADIZIONALI DELL’INGEGNERIA

Noi studieremo modelli di meccanica, quindi di un corpo che si muove, soggetto a forze. Il modello meccanico è formato da una serie di equazioni e deve essere usato per risolvere un certo problema. Non esiste un unico modello per un determinato problema.

Le equazioni devono rappresentare tre differenti aspetti:

• cinematica → deformazione,
• equilibrio → bilancio delle forze,
• legami costitutivi → come si comporta un materiale.

Gli argomenti che affronteremo sono:

Corpo rigido (2D - 3D)

• Cinematica
• Equilibrio statico e dinamico

Corpo deformabile (3D)

• Cinematica
• Equilibrio statico e dinamico
• Equazioni costitutive

Trave rigida (2D - 3D)

• Cinematica
• Equilibrio statico e dinamico

Trave deformabile (1D - 2D)

• Cinematica
• Equilibrio
• Equazioni costitutive

BIOMECCANICA

La biomeccanica è:

1. la meccanica applicata alla biologia,
2. lo studio della struttura, funzione e moto degli aspetti meccanici di un sistema biologico in ogni livello dell'intero organismo dagli organi, alle cellule fino agli organismi cellulari, usando i metodi della meccanica,
3. studio dei dispositivi che interagiscono con i sistemi biologici.

È una scienza moderna che affonda le radici nell'antichità con:

• Leonardo Da Vinci,
• Galileo Galilei,
• Giovanni Alfonso Borelli, il quale schematizzò problemi complicati attraverso l'utilizzo di travi.

Gli obiettivi sono:

• studiare strutture/funzioni dei sistemi biologici, della cellula, del corpo umano,
• studiare le interazioni dei dispositivi in sistemi biologici, ad esempio le protesi.

10 marzo 2021

OGGETTO DI INTERESSE

Il corpo è un porzione di materia che, in un dato istante di tempo, occupa una certa regione di spazio. Se la regione occupata dal corpo è trascurabile (ed è riducibile a un punto) esso è chiamato particella.Tutti i corpi non riducibili a singola particella sono detti corpi finiti.Un corpo finito che occupa una certa regione di materia è detto corpo continuo.

Qualsiasi corpo soggetto a forze di nostro interesse è 3D. Il primo passaggio nella costruzione di un modello di meccanica è capire come identificare un corpo 3D con qualcosa di astratto.

PUNTO MATERIALE

Il modello più semplice è il punto materiale: oggetto che ha massa ma non volume.

SPAZIO DELLE CONFIGURAZIONI

Coordinate lagrangiane: numero di parametri indipendenti che definiscono la generica configurazione del mio sistema. Esse sono anche dette gradi di libertà (gdl).Si deve capire la posizione del punto nello spazio → si introduce il sistema di riferimento (SR).Un punto materiale che si muove nello spazio 3D è caratterizzato da 3 gdl.

ES: ho un sistema con 3 punti materiali che si muovono liberi nello spazio. Di quanti gdl è dotato il sistema?9

ES: ho un sistema con 1 punto materiale che si muove su un piano. Di quanti gdl è dotato il sistema?2

CINEMATICA

Studio del cambio delle configurazioni del sistema. Si può identificare la posizione del punto con un vettore. Si hanno 3 componenti → 3 gdl.

Posizione _x(t)Spostamento _x(t)-X(t0)Velocità _v(t)=X'(t)Accelerazione _{a(t)=v'(t)=d²x(t)/dt²}

N.B. posizione iniziale: scritto in maiuscolo,posizione finale: scritto in minuscolo.

FORZE

Per poi parlare di equilibrio devo prima sapere che forze agiscono sul punto.

Il tensore può essere descritto con tre notazioni:

INTRINSECA

INDICIALE

INGEGNERISTICA

DA QUESTO MOMENTO IN POI STUDIEREMO CORPI RIGIDI 2D CHE SI MUOVONO NEL PIANO E SI FARÀ L’IPOTESI DI PICCOLI SPOSTAMENTI.

Un corpo 2D ha 3 gdl:

• 2 traslazioni,
• 1 rotazione.

Supponiamo che il corpo rigido ruoti attorno a un punto. Facendo l’ipotesi di piccoli spostamenti si può approssimare la traiettoria circolare con la tangente nel punto. Quindi il corpo rigido si muoverà lungo la retta perpendicolare alla retta congiungente i due punti.

Quindi, per convenzione, quando un corpo ruota attorno un punto si considera una traiettoria rettilinea.

ES: supponiamo di avere un corpo rigido Ω libero di muoversi. Qual è una scelta ammissibile di coordinate lagrangiane?

CONVENZIONEu: spostamento orizzontalev: spostamento verticaleΦ: rotazione

Se consideriamo un punto A si ha:

Se consideriamo un punto B si ha:

Sono anche ammissibili:

Non sono invece ammissibili:

Le ultime non sono ammissibili perché non sono tre parametri indipendenti e quindi non si potrebbe scrivere tutto il campo degli spostamenti.

Consideriamo le coordinate . Per dimostrare che questa è una scelta corretta, prendendo un generico punto B, devo essere in grado di esprimere lo spostamento del punto B in funzione di

VINCOLO RELATIVO

Supponiamo di avere due corpi rigidi nel piano. La struttura è dotata di 6 gdl.

Un vincolo relativo è un qualcosa che limita lo spostamento relativo tra due punti del sistema. Esso può essere:

• semplice (S = 1), se elimina 1 gdl,
• doppio (S = 2), se elimina 2 gdl,
• triplo (S = 3), se elimina 3 gdl.

PENDOLO INTERNO: blocca degli spostamenti relativi lungo una direzione.

Vincolo semplice → ΔS_ef^d = 0

La struttura è dotata di 5 gdl.

ES: quanti gdl ha la seguente struttura?

Prendendo come gdl u_A, n_A, φ_A

Se conosciamo questi conosciamo anche lo spostamento verticale di B quindi anche di C; mancano quindi u_C, φ_C

→ la struttura ha 5 gdl.

CERNIERA INTERNA

Vincolo doppio → ΔS_CD = 0

La struttura è dotata di 4 gdl: inizio considerando solo il corpo I, scelgo come coordinate lagrangiane u_A, n_A, φ_A;

considerando ora il corpo II noto che esso può ruotare quindi le mie coordinate lagrangiane sono:

u_A, n_A, φ_A, Δφ₁-_II

DOPPIO PENDOLO INTERNO

Vincolo doppio → {

1. ΔS_ef^d = 0
2. Δφ_ef = 0

INCASTRO INTERNO

Vincolo triplo → {

1. ΔS_ef^d = 0
2. Δφ_ef = 0

Ogni vincolo assoluto ha il suo corrispondente vincolo relativo!

Un modo efficace per capire le coordinate di un sistema fatto da più corpi è quello di prendere gli spostamenti assoluti di un tratto e gli spostamenti relativi di un tratto rispetto all’altro.