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Biomeccanica (Appunti)

Appunti del corso di Biomeccanica (12CFU) tenuto dal prof. Migliavacca per Ingegneria Biomedica. Il documento, oltre agli elementi teorici corredati di immagini e formule, contiene foto degli esercizi più noti richiesti all'esame svolti a mano, dimostrazioni e crocette dedicate ad ogni argomento. Argomenti trattati: 1 - Tessuto Osseo 2 - Muscoli 3 - Tendini e Legamenti 4 - Cartilagine e disco... Vedi di più

Esame di Biomeccanica docente Prof. F. Migliavacca

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ESTRATTO DOCUMENTO

La non omogenea distribuzione delle deformazioni all’interno del campione è legata

alla presenza di strati che, impoveritisi di fluido, presentano elevate deformazioni, a

fianco di altri che, ancora ritenendo elevati quantitativi di fluido, tendono ad essere

poco deformati dalla compressione.

I fenomeni di redistribuzione interna conducono ad uno stato finale di equilibrio in

cui tutte le porzioni della cartilagine sono ugualmente deformate. Questo

comportamento tempo dipendente mette in luce l’aspetto viscoelastico della

cartilagine.

Studi sulla permeabilità hanno consentito di valutare l’entità del flusso Q di acqua

ECM attraverso un’area A nella matrice solida della cartilagine sotto un gradiente di

∆p

pressione imposto ad uno spessore H.

La relazione che lega la portata Q al gradiente di pressione è la legge di Darci:

legge che si applica ad un moto viscoso laminare attraverso un mezzo poroso.

L’equazione contiene il coefficiente di permeabilità (K). Nella cartilagine, questo

coefficiente è proporzionale alla porosità della matrice solida, e quindi in ultima

analisi è inversamente proporzionale alla densità della struttura della rete di

A.A.

collagene e al contenuto di PG e alla viscosità del fluido.

I coefficienti di permeabilità K variano in condizioni fisiologiche tra 10 e 10

-14 -16

4

m /Ns. Questo valore di permeabilità è molto basso e sta a significare che elevati

gradienti di pressione sono necessari per muovere apprezzabili quantitativi di fluido

attraverso questo tessuto. Esprimendo la (1) in termini di relazione tra velocità e

gradiente di pressione e supponendo che la cartilagine abbia uno spessore pari a 2

mm poiché le pressioni di contatto nei giunti articolari presentano valori

mediamente compresi tra 3 e 20 MPa (valori che corrispondono a carichi di circa

100- 600 kg nell’ipotesi che l’area di contatto sia di 3 cm ), possiamo giungere a

2

calcolare che gli sforzi che agiscono sul fluido interstiziale non sono in grado di

produrre rapidi spostamenti del fluido: nella ipotesi di utilizzare un coefficiente di

4

permeabilità di 10 m /Ns, introducendo il coefficiente di porosità pari al

-14

rapporto acqua/volume totale (compreso tra 60 e 85%), e calcolando la pressione

del fluido attraverso la relazione: dove p è la pressione esercitata

a

dal contatto articolare e p è la pressione del fluido, si ottiene una velocità di

f

migrazione inferiore o pari a 170 µm/s.

Proprietà meccaniche della cartilagine

È stato calcolato che in caso di un carico applicato istantaneamente ad una carti-

lagine, il 95% del carico è sostenuto dalla fase fluida. Quanto affermato vale in

generale per qualsiasi materiale bifasico, dove alla matrice solida viene attribuito un

comportamento elastico (la molla). La deformazione della cartilagine può essere

imputata principalmente alla essudazione del liquido interstiziale. Le proprietà

meccaniche della cartilagine decadono all’aumentare della facilità con cui il

fluido può essudare ed essere riassorbito dalla matrice. Quando si sottopone a

sollecitazione una cartilagine, maggiore è la velocità di efflusso, maggiore risulta la

velocità di deformazione della cartilagine e quindi minore risulta il modulo elastico a

parità di sollecitazione. Si può ritenere che i proteoglicani si comportino come una

matrice elastica sottoposta a compressione ma con un modulo elastico assai

modesto; viceversa è presumibile che il collagene sia sottoposto a trazione.

Apporto di elementi nutritivi

La cartilagine è un tessuto privo di vascolarizzazione. Questa caratteristica rende

particolarmente difficoltosa la rigenerazione di tessuto cartilagineo a fronte di traumi

o infiammazioni con esito distruttivo. I nutrienti vengono prodotti dalla matrice sino-

viale. In assenza di moti convettivi, l’unico meccanismo disponibile per raggiungere

i condrociti è la diffusione dei nutrienti nel liquido sinoviale, un meccanismo estre-

mamente lento.

Distribuzione dei carichi

Il fatto che il fluido sostenga quasi interamente il carico applicato ha una

implicazione importantissima: se si applica un carico ad un solido si crea una

concentrazione di sforzi in prossimità del suo punto di applicazione; se viceversa si

A.A.

applica un carico ad un mezzo fluido interposto, questo si traduce in una pressione

idrostatica che a sua volta il fluido distribuisce sulle pareti che lo delimitano in modo

isotropo e uniforme.

Effetti sui condrociti

L’attività dei condrociti dipende sia dalla morfologia della struttura in cui opera no

sia dagli stimoli meccanici cui sono sottoposti.

Al fine di individuare l’effetto degli stimoli elettrochimici e meccanici sui condrociti

sono stati sviluppati modelli sia teorici sia sperimentali. In particolare, l’attività

biosintetica dei condrociti sembra essere regolata prevalentemente da segnali

meccanici quali la pressione isotropa e la deformazione della matrice che agiscono

sulla configurazione del citoscheletro cellulare determinando la funzione cellulare.

Effetti sulla lubrificazione

Gli effetti legati alla permeabilità che possono influenzare la lubrificazione sono

tre. Per illustrarli occorre premettere che, in generale, due ossa di un articolazione

inizialmente non sono in contatto. Applicato il carico, l’approssimazione delle due

ossa richiede che il fluido frapposto venga spostato; più è lento il movimento del

fluido più tardi arriveranno in contatto le due ossa. Al limite, se il carico è impulsivo

o di breve durata, può non esservi contatto. La permanenza dello strato di fluido tra

le ossa è benefico per l’attrito. La velocità con cui lo strato di fluido diminuisce

dipende dalle direzioni verso cui può effluire.

Possiamo quindi in primo luogo concludere che bassi valori di permeabilità com-

portano una più lenta estinzione dello strato di fluido in quanto esso fluisce

prevalentemente in direzione laterale a causa delle difficoltà che incontra nel

penetrare nella cartilagine. Quindi bassi valori di permeabilità generano una più

efficace azione di lubrificazione.

Caratterizzazione meccanica della cartilagine

Come descritto precedentemente, la cartilagine articolare può essere considerata

composta da due fasi, una fase liquida costituita da una soluzione acquosa di

elettroliti, ed una fase solida costituita dalla matrice di collagene e proteoglicani.

La caratterizzazione delle proprietà macroscopiche della cartilagine viene condotta

mediante prove mirate alla analisi dei contributi delle singole fasi e del sistema

complessivo, quali le prove di permeabilità, le prove di rilassamento, le prove di

scorrimento viscoso (creep), le prove dinamico-meccaniche.

In generale si distingue tra prove confinate e prove non confinate. Le prime sono

condotte utilizzando un dispositivo di prova che permette al fluido di fuoriuscire solo

nella direzione di applicazione del carico in quanto l’essudazione è consentita o

attraverso un filtro poroso posto sotto il campione.

Viceversa la parete laterale è impermeabile e rigida; di conseguenza si tratta di una

prova “monodimensionale” per le quali esistono soluzioni analitiche. Come

A.A.

vedremo nel prossimo paragrafo questa configurazione è utilizzata per effettuare

misure di permeabilità. Nelle prove non confinate la fuoriuscita del fluido è

permessa così pure la dilatazione radiale (o laterale), ed il comportamento è più

simile a quello in vivo.

Permeabilità

Le prove di permeabilità, misurando il flusso di liquido che attraversa campioni di

cartilagine sottoposti a diversi livelli di pressione idrostatica ed estratti a diversi

livelli di profondità, permettono di valutare il coefficiente di permeabilità tramite la

legge di Darci. La figura

mostra un apparato

sperimentale per la stima

della permeabilità; si tratta

di un punzone

impermeabile di dimensioni

note che comprime in una

prova confinata la

essudazione del fluido nella

sola direzione verticale,

attraverso un filtro poroso

di caratteristiche note. A.A.

misura del carico applicato e della

velocità del fluido in uscita permette il

calcolo del coefficiente di

permeabilità. Il risultato tipico di

questo esperimento è che il

coefficiente non è costante in quanto

la permeabilità diminuisce

all’aumentare del carico applicato, a

causa del compattamento della fase

solida. Poiché la composizione della

cartilagine varia lungo lo spessore,

anche la permeabilità e

conseguentemente le proprietà

meccaniche della cartilagine variano

allontanandosi dalla superficie

articolare. A.A.

Rilassamento

Su materiali cartilaginei articolari precondizionati i risultati degli esperimenti di

rilassamento sono descritti in figura. La prova è condotta permettendo al fluido

di fuoriuscire mette in evidenza l’eleva o

comportamento viscoelastico della

cartilagine, con valori di funzione di

rilassa

mento ridotta inferiori a 0.3.

Creep

La prova di creep è estremamente

interessante in quanto permette di valutare il

comportamento della matrice solida. Nella sua

configurazione tipica, viene condotta

applicando un carico costante, tramite un

piattello poroso, sul campione da testare e

mantenendolo fino a quando la deformazione

non arriva a regime. Il campione viene

appoggiato su un piano impermeabile e

confinato all’interno di una camera che ne

impedisce deformazioni trasversali. Si possono

distinguere due differenti fasi dell’esperimento.

La prima fase di deformazione del tessuto è

legata alla perdita di fluido. Durante il processo

di creep, la matrice solida si compatta,

aumentando la resistenza al flusso di fluido e

limitando successive deformazioni.

All’equilibrio, si raggiunge una deformazione

omogenea del tessuto, il creep cessa e l’intero

carico è sostenuto dalla matrice solida. A.A.

Attrito delle cartilagini articolari

La cartilagine articolare che costituisce il rivestimento dell’osso nei giunti sinodali

possiede eccezionali caratteristiche di autolubrificazione allo scopo di rendere bassi

i coefficienti di attrito. Il coefficiente di attrito è una grandezza adimensionale ed è

definito come il rapporto tra la forza di taglio e la forza ortogonale che due superfici

si scambiano all’interfaccia. In meccanica si distingue tra coefficiente di attrito

statico, che caratterizza due superfici inizialmente ferme, e coefficiente di attrito

dinamico misurato durante il moto relativo delle due superfici. Il primo coefficiente è

più elevato del secondo. Nella cartilagine articolare non esiste questa distinzione

per cui nel seguito parleremo in generale di coefficiente di attrito.

Il coefficiente di attrito del tessuto cartilagineo è estremamente basso (0.001).

Meccanismi di lubrificazione

I meccanismi che permettono la lubrificazione delle articolazioni sono sostanziai,

mente tre tipi:

- la lubrificazione di strato limite,

- la lubrificazione idrodinamica,

- la lubrificazione squeeze film.

1) La lubrificazione di strato limite si verifica in condizioni statiche ed è realizzata

grazie alla presenza di una particolare molecola, la lubricina, ed alla presenza di

ialuronani. La lubricina è una glicoproteina ed ha una struttura molto simile ai

proteoglicani ed è caratterizzata da catene di zuccheri legati covalentemente ad

una proteina centrale. La lubricina, che risulta ancorata alla superficie della

cartilagine, e gli ialuronani, che nella fase di approssimazioni delle due superfici

rimangono intrappolati, trattengono un sottile film di fluido promuovendo così la

lubrificazione di strato limite.

Esperimenti hanno confermato la presenza e il mantenimento di un film di liquido

sinoviale spesso 10-30 nm, fatto questo dovuto principalmente alla presenza delle

grandi molecole di ialuronano ed alla lubricina. La presenza di queste molecole

impedisce il reale contatto tra le superfici che quindi scorrono su un cuscinetto

molecolare di spessore estremamente ridotto (1-100 nm). Il coefficiente di attrito

A.A.

che si misura in queste condizioni è il più elevato che si possa misurare in una

articolazione ed è pari a circa 0.01.

2) La lubrificazione idrodinamica è la lubrificazione che si verifica in condizioni di

elevate velocità relativa e in presenza di un fluido lubrificante (nel caso della

cartilagine il fluido sinoviale). Il

meccanismo di lubrificazione si esplica

per effetto della formazione di un meato

di fluido che si interpone tra le due

superfici. Il meato ha uno spessore

variabile tra i 10 ed i 50 µm. I

coefficienti di attrito sono in questo caso

molto bassi e raggiungo no il valore di

0.001. 3) La lubrificazione squeeze

film si verifica quando le

superfici articolari non sono

inizialmente in contatto (ad

esempio per la presenza di una

lubrificazione idrodinamica nella

fase immediatamente

precedente) ed in presenza di

un fluido lubrificante. Essa

interviene nel caso di basse

velocità ed alti carichi. Il principio di questa tipologia di lubrificazione è legato alle

resistenze che il fluido lubrificante offre durante l’approssimazione relativa tra le

superfici e quindi in ultima analisi alla sua viscosità. Se il carico è di tipo impulsivo

le superfici non arrivano a toccarsi e quindi l’attrito che si sviluppa è modesto. Il

coefficiente di attrito è anche in questo caso molto basso (0.001).

Prove di attrito

Tre tipi di esperimenti possono essere condotti per valutare il coefficiente di attrito

della cartilagine articolare: il primo è mostrato in figura.

In questo primo esperimento la capsula sinoviale è

A.A.

mantenuta intatta preservando la cartilagine in tutte le

sue caratterizzazioni geometriche, cinematiche,

biologiche.

Nel secondo tipo di esperimento, il comportamento della

cartilagine articolare è valutato in rapporto ad un

materiale non

biologico, di

caratteristiche note,

imponendo peraltro

condizioni di

funzionamento

diverse da quelle

naturali.

Un terzo tipo di esperimento consiste nella enucleazione dalla articolazione

naturale di un campione di dimensioni note, e in particolare di aree di contatto note,

preservando peraltro le condizioni di ambiente biologico al fine di ottenere

prestazioni simili a quelle del primo esperimento. La differenza tra il primo

esperimento e quest’ultimo consiste nell’aver ottenuto per quest’ultimo esperimento

A.A.

sia condizioni simili alle biologiche, sia peraltro aree di contatto, movimenti, misure

di forza e altri parametri meccanici perfettamente e pre cisamente misurabili.

Gli esperimenti che possono esser compiuti sono di apposizione di una forza di

contatto e di valutazione dell’attrito in termini di resistenza alla rotazione imposta

sul campione dell’omero.

È evidente che con questa configurazione i risultati dell’esperimento sono assai

più facilmente correlabili con le caratteristiche meccaniche e di comportamento di

attrito delle cartilagini articolari rispetto al set-up sperimentale riportato nella prima

figura. I risultati relativi ad un esperimento condotto con il set-up sperimentale

illustrato figura 3 è riportato qui di seguito. In questo

esperimento, un

numero

statisticamente

significativo di

campioni appartenenti

a diverse paia di

cartilagini articolari

sono sottoposti ad un

precarico di 53 kPa e

ruotati in continuità a

A.A. 0.7 rad/s. In seguito il

carico viene portato al

valore di 204 kPa,

mantenendo la

rotazione; infine il

carico è riportato al

valore di precari

co iniziale. L’asse delle ordinate riporta i valori dello sforzo tangenziale dovuto

all’attrito. Nei primi istanti, in presenza del precarico, gli sforzi tangenziali sono

piuttosto bassi; applicando il carico gli sforzi tangenziali si incrementano sino a

raggiungere un valore asintotico; rimosso il carico tornano a valori sostanzialmente

indistinguibili da quelli iniziali.

È importante notare come la variazione di sforzo tangenziale non sia istantanea; di

conseguenza nei primi istanti le prestazioni lubrificanti del giunto sono estrema

mente elevate. Questo tipo di comportamento risulta molto utile in condizioni di

impatto come ad esempio durante la corsa.

Matrice e fluido sinoviale

Le articolazioni basano la loro funzionalità sulla presenza di diverse tipologie di

tessuto. L’accostamento di due cartilagini articolari, nell’accoppiamento cinematico

della articolazione tra due ossa, non consente una funzionalità adeguata se non in

presenza di un fluido sinoviale.

Questo fluido ha importantissime funzioni, non solo di tipo meccanico, in quanto

costituisce l’elemento di trasporto e di scambio con la cartilagine articolare.

Ricordiamo infatti che la cartilagine articolare presenta una zona di fissaggio

sull’osso sano che è altamente impermeabile e che pertanto i suoi processi

metabolici, riparativi e adattativi non possono fare conto sull’apporto di sostanze

dalla parte ancorata sull’osso. È quindi solo il fluido sinoviale che consente alla

cartilagine articolare di possedere una capacità crescita, evoluzione e adattamento.

I fluido sinoviale viene prodotto da uno specifico tessuto chiamato matrice

sinoviale. II fluido sinoviale d’altra parte deve avere caratteristiche reologiche tale

da con sentire il funzionamento ottimale delle articolazioni.

Come tutti i tessuti ECM la matrice sinoviale è composta da collagene, proteogli-

cani, ialuronano, proteine e fluido ECM. Sono stati individuati collagene di tipo I, III

e V. Tra i numerosi proteoglicani presenti in questo tessuto il più importante è lo

ialuronano, o acido ialuronico, una molecola di grandi dimensioni molto importante

per il comportamento reologico del liquido sinoviale.

A.A.

Composizione del fluido sinoviale

Il fluido sinoviale è il prodotto di una ultrafiltrazione del plasma attraverso i capillari

della matrice sinoviale in cui il tessuto sinoviale introduce, attraverso una

secrezione attiva due importanti sostanze: lo ialuronano e la lubricina.

La configurazione spaziale dello ialuronano è costituita da eliche disposte casual-

mente nello spazio del diametro di 50 nm, che giungono a toccarsi quando la

concentrazione dell’acido ialuronico supera la concentrazione di 1 mg/ml.

Di conseguenza, poiché la concentrazione di ialuronano nel liquido sinoviale è

intorno ai 3 mg/ml, il fluido sinoviale è occupato con continuità da una matrice di

catene di ialuronano compenetrate le une nelle altre.La presenza dello ioluronano

nel fluido lo rende “sinoviale” nel senso di syn + oviale, ovvero di simile al bianco

dell’uovo, e cioè molto viscoso. La viscosità è non newtoniana e cresce

marcatamente al diminuire dello scorrimento, ovvero del gradiente di velocità.

A causa della configurazione a elica della molecola, una parte di energia è accu-

mulata sotto forma di energia elastica, in occasione di flussi viscosi e questa

energia viene restituita quando la causa del flusso viscoso viene a cessare; ciò

produce un ritorno elastico da parte del liquido sinoviale.

È stato calcolato che per sollecitazioni caratterizzate da una frequenza di 2.5 Hz,

l’energia fornita al fluido è immagazzinata per più del 70% sotto forma di deforma-

zione elastica dallo ialuronano.

Disco Intervertebrale

Il disco intevertebrale è costituito da una struttura di tipo cartilagineo che presenta

dimensioni assai notevoli se paragonata ad altre strutture cartilaginee presenti

nell’organismo; il disco intervertebrale giace tra vertebre contigue e le ancora

vicendevolmente.

La struttura del disco è composta da tre elementi: il piano limitante cartilagineo, il

nucleo polposo e l’anulus fibroso. Il piano limitante cartilagineo è uno strato di

cartilagine ialina che copre la maggior parte della limitante vertebrale. Intorno alla

limitante cartilaginea c’è un anello di osso denso, l’apofìsi anulare, che si fonde alla

vertebra nella seconda decade di vita. Il piano limitante cartilagineo è saldamente

attaccato all’osso del piano limitante per mezzo di numerose fibre di collagene;

L’anulo fibroso è costituito da una complessa struttura fibrosa e fibrocartilaginea, si

sviluppa tra la prima e la seconda decade di vita e consta di 15 o 25 strati ognuno

con ben sviluppate dense lamine fibrose parallele. Le lamelle consistono quasi

esclusivamente di collagene di tipo I. Le cellule presenti sono quasi esclusivamente

fibroblasti.

Il nucleo polposo è costituito da cartilagine simile alla cartilagine ialina. Sebbene

con un contenuto d’acqua ECM superiore e quindi più cedevole rispetto alla cartila-

gine articolare. La differenziazione di struttura è finalizzata alle prestazioni

meccaniche richieste al disco intervertebrale e, sia pure in modo generico,

A.A.

possiamo identificare per le lamelle dell’anulo la funzione di contenere il nucleo

polposo in modo tale che le sollecitazioni di compressione, dovute al carico sulle

vertebre, si trasferiscono sul nucleo polposo nei termini di compressione isobarica.

Il disco manca di innervazione e vascolarizzazione. La nutrizione del disco interver-

tebrale, come in altre strutture cartilaginee, è fornita per diffusione.

Composizione

Il disco intervertebrale è costituito, come tutte le cartilagini, da acqua ECM che

contiene sia soluti sia macromolecole con funzione strutturale: collagene e

proteoglicani.

Collagene

Nel disco intervertebrale sono presenti almeno sette tipi di collagene. Collagene di

tipo I e II sono presenti in grande quantità in tutto il tessuto, ma il nucleo polposo

contiene soprattutto collagene di tipo II in fibrille di piccole dimensioni. Ricordiamo

che il collagene di tipo II è il collagene tipico delle cartilagini articolari ed è stato

riconosciuto da molti ricercatori come il collagene associato a tessuti destinati a

sopportare carichi di compressione.

Nell’anulo fibroso le fibrille nelle lamelle sono organizzate in

fibre e hanno un orientamento di circa 30° ad eccezione della

lamina più esterna che ha un orientamento verticale. Esse

sono organizzate in strati cilindrici concentrici in numero

variabile da 15 a 25.

Proteoglicani

I proteoglicani sono presenti in grande quantità nel disco

intervertebrale come in tutte le altre cartilagini. Il contenuto di

proteoglicani è più elevato all’interno del nucleo. I proteoglicani

presenti si dividono in due categorie: proteoglicani di grande e

di piccolo peso molecolare. I proteoglicani con alto peso

molecolare sono l’aggrecano ed il versicano. Essi sono

presenti in prevalenza nel nucleo. Quelli di piccolo peso

molecolare stono principalmente decorina e biglicano e si trovano in prevalenza

nell’annulo.

Dimensioni

Nella spina dorsale i dischi rappresentano il 25% della lunghezza della stessa e

questa percentuale varia durante la giornata in funzione degli sforzi su di essa

applicati. Il contenuto di acqua ECM può essere inferiore alla sera del 20% rispetto

ai valori riscontrati al risveglio e questa variazione comporta una differenza di

altezza per gli individui adulti nell’ordine di uno o due centimetri.

A.A.

In condizioni di assenza di gravità il contenuto di acqua ECM può ulteriormente

incrementarsi al punto che si sono riscontrati per gli astronauti dello Skylab incre-

menti di altezza fino a cinque centimetri.

Sollecitazioni

La funzione principale del disco

intervertebrale è quella di

trasmettere il carico meccanico di

compressione che agisce sui vari

segmenti della colonna spinale.

Questi carichi non sono solo causati

dal peso dell’individuo ma

dipendono anche dalle attività

muscolari, dalla tensione dei

legamenti, dai carichi esterni posti

all’individuo, dalla postura e dai

movimenti.

Un modo di individuare il carico di

compressione imposto consiste nel

misurare la pressione all’interno del

disco intervertebrale in una zona

prossima al nucleo polposo. A.A.

La misura di pressione ovviamente per essere correlata al carico deve essere

messa in relazione con le dimensioni del disco stesso.

In generale il carico agente sul disco intervertebrale è proporzionale all’area del

disco stesso come risultato di un adattamento funzionale.

Considerando 100 il valore della pressione all’interno del terzo disco lombare in un

soggetto in posizione eretta, sono stati misurati i valori di pressione in differenti

posture come mostrato in figura.

Un calcolo di prima approssimazione degli sforzi agenti nell’anulo può essere

condotto utilizzando la legge di Laplace per la quale in un cilindro cavo la

direzione circonferenziale è pari al rapporto tra la pressione transmurale

moltiplicata per il raggio interno e lo spessore del cilindro. Si consideri che il carico

sia sostenuto interamente dalla generazione di una pressione idrostatica all’interno

del nucleo. Posto F il carico di compressione agente su un disco intervertebrale

schematizzato secondo una semplice geometria cilindrica con raggio esterno

dell’anulo R e raggio al confine tra nucleo e anulo pari a kR, e posto p il valore della

pressione interna, un'analisi elementare conduce alle seguenti relazioni:

A.A.

dove sigma è lo sforzo circonferenziale sostenuto dalle fibre dell’anulo.

Combinando le due relazioni si ottiene:

e quindi lo sforzo circonferenziale di trazione nell’anulus risulta direttamente propor-

zionale al carico ed inversamente proporzionale all’area del nucleo polposo ed al

rapporto tra lo spessore del disco e la dimensione del nucleo polposo.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

A.A.

VASI SANGUIGNI

La parete vascolare è costituita da un tessuto dalla struttura particolarmente com-

plessa e diversificata da zona a zona in relazione alla specifica funzione richiesta.

In termini generali la parete di ogni segmento vascolare è costituita da tre strati

concentrici che dall’interno verso l’esterno sono la tunica intima, la media e

l’avventizia.

L’intima è costituita da un singolo strato di cellule endoteliali, che

sono direttamente in contatto con il sangue che scorre nel vaso, e

da un sottile

strato subedoteliale contenente fibre di collagene (membrana

basale). Fra l’intima e la media è interposta la lamina elastica

interna costituita da lamine di elastina.

La media costituisce generalmente lo strato più spesso della parete ed ha strutture

differenti nelle diverse parti del sistema vascolare. Nelle grandi arterie più prossime

al cuore la media è costituita da lamine elastiche fenestrate alternate a fibre di

collagene e cellule muscolari lisce. Queste grandi arte rie sono note anche come

arterie elastiche grazie all’alto contenuto di elastina nella media. Uno dei loro ruoli è

quello di accumulare un importante volume di sangue durante la sistole cardiaca

A.A.

(fase di eiezione

ventricolare) e di

espellerlo verso la peri

feria durante la

successiva diastole

cardiaca (fase di

riempimento

ventricolare). Nelle

arterie più piccole e

nelle vene la media è

costituita soprattutto da

cellule muscolari lisce

e da una piccola parte

di tessuto connettivo,

collagene ed elastina.

La tunica avventizia è

separata dalla tunica

media da una ulteriore

lamina elastica, può

avere lo stesso

spessore della media ed è composta prevalentemente da fasci di fibre di collagene

non compatti in direzione longitudinale. Sono presenti in minore misura anche fibre

di elastina e cellule muscolari. Questo strato protegge il vaso e permette

l’ancoraggio ad altre strutture formando una sorta di continuità tra vaso e altri

tessuti del corpo.

La tunica avventizia è attraversata inoltre da fibre nervose e vasi linfatici. Nel caso

di vasi di grandi dimensioni la tunica avventizia è perfusa da un sistema di piccoli

vasi detti “vasa vasorum” deputati al trasporto di 02 e sostanze nutrienti ai tessuti

della parete del vaso. I vasa vasorum sono presenti quando le dimensioni del vaso

sono tali che la distanza tra le cellule della parete e il sangue che scorre all’interno

del vaso risulti superiore a circa 25 µm.

Arterie

Le arterie sono preposte alla distribuzione del sangue verso la periferia. In base

alle loro dimensioni, si possono distinguere tre principali tipi di arterie.

1) Le grandi arterie elastiche (aventi diametro d > 7-8 mm) sono essenzialmente

l’aorta e i suoi rami principali; sono caratterizzate da una parete molto spessa.

Nella tunica media sono presenti quasi esclusivamente lamine elastiche. Il numero

di strati lamellari cresce al crescere dello spessore della parete che a sua volta è

proporzionale al diametro del vaso. La tunica avventizia è sottile, e formata

prevalentemente da collagene; in essa sono presenti vasi e nervi. In virtù della

A.A.

propria elasticità, esse svolgono l’azione di secondo cuore: durante la sistole

cardiaca sequestrano, dilatandosi per effetto dell’aumento di pressione arteriosa,

parte del sangue dettato dal ventricolo, restituendolo nella fase successiva di

diastole quando tornano al loro calibro iniziale. In questo modo smorzano la natura

pulsatile del flusso sanguigno generato dalla pompa ventricolare. Il risultato netto

dal punto di vista energetico è l’abbassamento delle resistenze all’efflusso sistolico

in quanto le arterie accolgono parte rilevante (30-40%) della gettata cardiaca e

quindi il sistema vascolare a valle (capillari e vene) è soggetto a un flusso continuo,

situazione che comporta nella media del ciclo cardiaco minori perdite di carico

rispetto ad una situazione pulsatile.

2) Le arterie muscolari o di distribuzione (omerale, radiale, femorale, carotidea,

etc.) distribuiscono il sangue ai vari organi. Esse svolgono una importante funzione

di vasoregolazione attiva. Queste arterie hanno in proporzione la tunica media più

spessa rispetto alle arterie di grande calibro; la tunica media è costituita

prevalentemente da cellule muscolari lisce ad andamento circolare e a spirale, il cui

numero aumenta con l’aumentare dello spessore del vaso. Viceversa, l’elastina

progressivamente diminuisce all’aumentare della distanza dall’aorta.

Compito delle cellule muscolari è quello di ridurre il lume del vaso e quindi

aumentare le resistenze al flusso nel caso che si renda necessaria una minore

perfusione del distretto servito dalla arteria (o equi valentemente che sia richiesta

una maggiore perfusione di un altro distretto).

3) Le piccole arterie o arteriole hanno un calibro che varia tra i 20 e i 100 µm. La

tunica media è formata da uno o due strati di muscolo liscio con poche fibre

elastiche. Tutte e tre le tuniche sono presenti.

Capillari

I capillari sono i vasi più piccoli della circolazione, hanno un calibro compreso tra 5

e 20 µm e una lunghezza media di circa 1 mm; i più piccoli si trovano nel polmone, i

più ampi nel midollo osseo. Essi costituiscono il sito di scambio di gas e nutrienti tra

i tessuti e il sangue. Sono costituiti da endotelio e lamina basale. Non sono presenti

negli epiteli di rivestimento, nella cornea, nel cristallino, e nelle cartilagini.

Si distinguono tre tipi di capillari:

1) i capillari continui sono i più diffusi e si trovano

principalmente nei muscoli, nei polmoni, nella pelle e in

generale nei tessuti connettivi; essi presentano un

endotelio continuo fatto di cellule unite da giunzioni strette;

tra le cellule rimane comunque uno spazio (intracellular

A.A.

cleft) attraverso il quale è permesso il passaggio di fluidi;

2) i capillari fenestrati sono presenti nel rene, nei villi

dell’intestino e nelle ghiando le endocrine; la continuità

dell’endotelio è interrotta da pori (finestre) dal diame tro di

20-120 nm;

3) i capillari sinusoidi sono i più permeabili grazie ad una

parete endoteliale con poche giunzioni e grandi spazi

intracellulari. In generale formano ampie reti tridi

mensionale. Sono localizzati principalmente nel fegato,

nel midollo osseo e nelle ghiandole endocrine.

I capillari formano reti tridimensionali dette letti capillari che hanno origine da una

arteriola e terminano in una venula. In realtà si distingue tra meta-arteriole e

capillari veri e propri. L’arteriola terminale porta ad una meta-arteriola che risulta

direttamente connessa alla venula. Collegati ad una meta-arteriola ci sono da 10 a

100 capillari in funzione dell’organo perfuso. Scopo della meta-arteriola è

bypassare il letto capillare nel caso non sia necessaria una perfusione accentuata.

Il bypass del letto capillare è realizzato

mediante cellule muscolari liscie. Le meta-

areriole sono infatti ricoperte in modo

discontinuo da cellule muscolari lisce che

possono essere attivate al fine di diminuire

il lume del vaso limitando così il passaggio

di sangue nel bypass arterio-veno

so. Analogamente anche i capillari

collegati alla meta-arteriola sono dotati di

un anello di cellule muscolari (sfintere

precapillare) che circonda ogni capillare a

livello della giunzione con la meta

arteriola; quando gli sfinteri sono rilassati il sangue scorre nei capillari e quindi il

tessuto viene perfuso. Al contrario, quando sono contratti il sangue passa nello

shunt e il tessuto è bypassato. La quantità di sangue che entra in un letto capillare

è regolata dai muscoli lisci e di conseguenza dal sistema simpatico e parasimpatico

e da segnali biochimici rilasciati dalle cellule endoteliali.

I capillari terminano nelle venule, che hanno un diametro che varia tra i 20 e i 200

µm. Anche le venule, come i capillari, sono fenestrate.

Vene

Le vene sono i vasi che conducono il sangue dalle reti dei capillari dei diversi

A.A.

organi al cuore, hanno forma cilindrica, parete relativamente sottile e lume ampio. Il

calibro delle vene è sempre

maggiore di quello delle arterie del

medesimo distretto (vedi figura).

La struttura delle vene è simile a

quello delle arterie; in generale,

comunque, lo spessore è minore,

la media contiene molta meno

elastina la tunica avventizia si

presenta molto spessa, di

frequente molto più di quella

media. Nelle vene il rapporto

elastina/collagene è circa 1/3.

Le vene accolgono il 65% del

sangue totale che scorre nel

nostro corpo e, a differenza delle

arterie, possono facilmente

collassare per effetto di una

pressione esercitata dall’esterno. Esse rappresentano una riserva di sangue per

l’organismo, infatti sono definite “vasi capacitori’.

Si distinguono in vene recettive e vene propulsive. Queste ultime mostrano tipi-

camente una media più sviluppata e ricca di cellule muscolari e devono il loro nome

al fatto che contribuiscono alla propulsione del sangue vincendo la forza di gravità.

Un’ulteriore classificazione: vene superficiali e vene profonde.

Si distinguono in funzione delle dimensioni tre tipi di vena:

1) Le vene di piccolo calibro presentano, oltre all’endotelio e alla lamina basale,

uno o due strati di cellule muscolari. L’endotelio può apparire fenestrato nelle

più sottili, mentre per diametri maggiori al mm diviene continuo; l’avventizia è

sottile con connettivo lasso.

2) Le vene di medio calibro hanno una tunica intima ricca di tessuto connettivo e

provvista di una lamina elastica interna, una tunica media molto sottile costituita

di tessuto muscolare liscio e una tunica avventizia più spessa della tunica

media costituita da tessuto muscolare liscio e collagene.

3) Le vene di grosso calibro hanno una tunica intima simile alle vene di medio

calibro, una tunica media costituita da quattro cinque strati di tessuto muscolare

liscio e collagene ed una tunica avventizia spessa con poco tessuto muscolare

liscio, molto collagene e alcune fibre elastiche.

Composizione

La dimensione e la composizione delle tuniche si modificano notevolmente lungo il

A.A.

sistema vascolare. In figura si può riconoscere come le arterie di grosso calibro

(aorta, succlavia, ecc.),

abbiano una tunica media

prevalentemente elastica,

le arterie di medio e

piccolo calibro (omerale,

radiale, femorale,

poplitea, ecc.), abbiano

una tunica media

prevalentemente musco-

lare e come le arteriole,

che hanno il ruolo di

regolare la distribuzione di

sangue nei differenti

distretti restringendosi o

dilatandosi, abbiano

anch’esse una tunica

media ad elevato

contenuto muscolare.

Sub-struttura e proprietà meccaniche

Uno schema di massima della organizzazione delle substrutture all’interno della

parete di vasi è quello proposto nel 1973 da

Azuma e Hasegawa, secondo cui le fibre

muscolari sono avvolte ad elica a passo piccolo,

l’elastina forma una lamina con fenestrature in

direzione longitudinale e le fibre di collagene

formano una rete disordinata e increspata in

condizioni di basso stress, che si ordina e si

estende progressivamente all’aumentare delle

A.A.

sollecitazioni.

Per quanto riguarda i singoli componenti ricordiamo le loro principali caratteristiche

meccaniche:

- l’elastina ha basso

modulo elastico pari

indicativamente a 1

MPa,

comportamento in

prima

approssimazione

elastico lineare, bassa isteresi e basso rilassamento;

- il collagene ha una risposta elevata già per valori modesti di deformazione con

un modulo elastico

tre ordini di

grandezza superiore

a quello del l’elastina,

un comportamento

non lineare causato

dalla non linearità del materiale e dal fatto che le sue fibre generalmente entrano

in azione progressivamente, moderata isteresi e moderato rilassamento;

- il muscolo ha caratteristiche meccaniche modeste, un loop di isteresi molto

elevato in condizioni di

carico ciclico e una

caratteristica di

rilassamento che

tende a zero se il

tempo è

sufficientemente

elevato.

Dalla osservazione di una curva

sforzo deformazione della parete di

un vaso relativa ad una prova di

trazione in direzione circonferenziale,

si può attribuire alla elastina l’iniziale

comportamento elastico lineare a

ε

basso modulo elastico ( <0.35) ed al A.A.

collagene il comportamento non

lineare alle deformazioni più elevate.

A livello qualitativo si può ipotizzare

che elastina e muscolatura liscia

agiscano a bassi livelli di deformazio-

ne, o in altre parole, nelle normali condizioni di esercizio, mentre il collagene inter-

venga in condizioni limite ed in generale per preservare la integrità della parete. Le

modifiche indotte dalla contrazione delle cellule muscolari lisce sono osservabili

nella figura di seguito,

dove, relativamente a

due arterie muscolari

sono riportate le curve

sforzo deformazione in

condizioni di riposo ed

in condizioni tetaniche

in direzione

circonferenziale.

Elastina

Come visto l’elastina è la principale responsabile del comportamento meccanico

dei vasi arteriosi in condizioni di esercizio. In generale l’elastina rappresenta la

proteina responsabile delle proprietà elastiche dei strutture sottoposte a carichi di

bassa intensità quali appunto i vasi sanguigni o il polmone, ma si trova, in quantità

variabile, nelle matrice extracellulare di quasi tutti i tessuti sotto forme che variano

di caso in caso: nei vasi sanguigni, come scritto in precedenza, l’elastina si dispone

in lamelle concentriche di spessore di 0.1-10 µm; in altri tessuti, quali tendini,

legamenti o pelle è organizzata in fibre che possono essere ramificate o lineari e

che sono caratterizzate da un diametro che varia da 0.2-1.5 µm; nella cartilagine

che compone le orecchie o nella laringe infine può assumere una struttura

tridimensionale retiforme. La componente predominante delle strutture di elastina è

la componente amorfa.

Prove meccaniche su vasi sanguigni

Come per ogni tessuto biologico, anche per i vasi non esiste uno stato ‘naturale’,

uno stato definito univocamente a cui il materiale ritorna quando le sollecitazioni

esterne vengono rimosse. Viceversa, in condizioni di esercizio, è possibile definire

una condizione di omeostasi nella quale il tessuto raggiunge un equilibrio

meccanico e biochimico, per il

quale cause ed effetti sono A.A.

univocamente correlati.

Ovviamente al variare delle

condizioni di vita cambia il punto di

funzionamento omeostatico.

In laboratorio prima di procedere a

test sui vasi occorre quindi innanzi

tutto riprodurre una condizione

naturale omeostatica che si ottiene

caricando ciclicamente il

provino. Anche in questo caso è

fornito un esempio relativo ad un

vaso arterioso in quanto questa

tipologia di vasi è soggetta in vivo a carichi ciclici e quindi l’osservanza di questa

procedura in fase di valutazione sperimentale risulta di fondamentale importanza

per il corretto ottenimento dei dati come evincibile dal grafico (si noti la differenza

tra primo e secondo ciclo).

Test di carico uniassiale

Il test di carico uniassiale a trazione è il più semplice esperimento che si possa

realizzare. Vi sono principalmente due possibilità per realizzare provini per prove di

carico uniassiale cui corrispondono due diverse modalità di test: i test di striscia e

i test di anello.

Il test di striscia presenta la difficoltà di

realizzare il vincolo tra i supporti che

trasferiscono lo sforzo di trazione e il tessuto del

vaso. Il test di anello è influenzato dalla

presenza di sollecitazioni flessionali e dalla non

perfetta geometria anulare del campione; inoltre

il test di anello non consente ovviamente prove

lungo direzioni diverse da quella

circonferenziale.

In figura (sotto) sono riportati i risultati di test di allungamento compiuti su campioni

di aorta ascendente umana rispettivamente in direzione longitudinale (a sinistra) e

circonferenziale (a destra). Le prove sono

compiute estraendo

per ogni aorta un

campione in

A.A. direzione longi-

tudinale ed uno in

direzione

circonferenziale e

imponendo una

velocità di

allungamento

costante di 0.5 cm al

minuto.

Le prove sono compiute fino al raggiungimento della rottura del provino. In

generale, per questo vaso si può osservare che i valori di sforzo e deformazione a

rottura risultano più elevati in direzione circonferenziale che in direzione longi-

tudinale (si apprezzino le differenti scale utilizzate nei due grafici). Per quanto

riguarda il modulo elastico l’analisi è meno risolutiva: nella maggior parte dei casi

il modulo elastico longitudinale

risulta significativamente più elevato

del modulo elastico circonferenziale

per valori intermedi di deformazione,

o, in altre parole, il plateau a basso

modulo è modesto nel caso di prove

condotte con campioni estratti

in direzione longitudinale. D’altro canto, nella maggior parte dei casi il modulo

elastico in direzione circonferenziale risulta più elevato in prossimità del punto di

rottura.

Quanto affermato è osservabile nella figura (sotto) dove gli andamenti sforzo

deformazione per due provini ottenuti dalla stessa radice aortica, uno estratto in

direzione circonferenziale ed uno estratto in direzione longitudinale, sono

confrontati per un numero limitato di casi.

La Figura 20 si riferisce ad esperimenti condotti su vene, secondo modalità simili a

quelle prima descritte. Ogni curva rappresenta il valor medio dei risultati ottenuti da

dieci provini. In questo caso il comportamento è differente e per certi aspetti duale

A.A.

rispetto al caso delle arterie; infatti, sforzi e deformazioni a rottura nelle due

direzioni sono paragonabili, mentre il modulo elastico ad elevate deformazioni

risulta più elevato in direzione longitudinale. Questa seconda caratteristica è dovuta

alle differenti condizioni di funzionamento di arterie e vene. Sia per le vene sia per

le arterie (per queste in misura un poco inferiore) la collocazione in vivo è

pretensionata. In situ le vene sono deformate in direzione longitudinale di circa il

100-150%, valore

superiore a quello

riscontrato per le

arterie (30-50%).

L’entità del

pretensionamento

è tale per cui in

occasioni di traumi

la accidentale

rescissione di vasi

comporta la

ritrazione degli

stessi all’interno

dei tessuti

circostanti.

Il pretensionamento è dovuto ad una specifica esigenza. Infatti, poiché i vasi sono

immersi in tessuti generalmente molli, e poiché questi tessuti, a causa dei

movimenti e delle posture, possono subire rilevanti variazioni di forma, se questi

vasi non fossero pretensionati potrebbero formarsi delle pieghe occlusive nel caso

il movimento dei tessuti circostanti comportasse una diminuzione della loro

lunghezza. Mentre per le arterie questo inconveniente sarebbe in parte contrastato

dai valori interni di pressione, per le vene, mancando una significativa pressione

interna, l’evenienza di una occlusione sarebbe pressoché inevitabile.

Coerentemente, i dati di pretensionamento per le vene sono, come visto, maggiori.

Per quanto riguarda le vene, si può pertanto concludere che, in vivo, il tessuto

vascolare sarà sottoposto ad uno stato di sollecitazione molto debole

circonferenzialmente, a causa della bassa pressione interna, e assai più elevato

assialmente a causa del pretensionamento; con riferimento alla Figura 20, il

modulo elastico circonferenziale corrisponderà al valore tangente rilevato all’origine

degli assi e quindi risulterà inferiore al modulo elastico assiale, che, per effetto del

pretensionamento, sarà indicativamente il valore tangente misurato oltre il gomito

della curva sforzo deformazione.

Le prove dinamico-meccaniche

Anche nell’ambito della caratterizzazione delle pareti dei vasi, così come per le

cartilagini, vengono utilizzate prove che consentono la determinazione di parametri

direttamente correlabili al fenomeno viscoelastico. In particolare anche in questo

caso il rapporto fra sforzo e deformazione avrà la forma matematica di un numero

A.A.

complesso, in cui si potranno individuare una parte reale (o modulo elastico E’),

correlata alla risposta deformativa in fase con lo sforzo applicato, ed una parte

immaginaria (o

modulo viscoso E”),

correlata alla risposta

deformativa in

controfase. Come

indica il loro nome E’

ed E” sono

rispettivamente

espressione della

componente

puramente elastico-

conservativa e di

quella viscosa-

dissipativa del modulo

complesso.

A titolo di esempio si riporta in Figura 21 un caso relativo all’aorta addominale dal

quale si può osservare la predominanza del comportamento elastico a fronte di un

comportamento viscoso comunque non trascurabile soprattutto alle alte frequenze.

A.A.

Modelli per il calcolo di sforzi e deformazioni nella parete vascolare

Applicare una pressione interna ad un tubo elastico significa generare uno stato di

sollecitazione complesso nella parete del tubo; questo stato di sollecitazione è

caratterizzato da sforzi che agiscono, rispetto ad un sistema di riferimento

cilindrico, nelle tre direzioni circonferenziale, radiale e assiale.

L’analisi di questo stato di sollecitazione risulta notevolmente semplificata nel caso

di vasi di piccolo spessore per i quali è possibile introdurre delle approssimazioni.

Nella pratica ingegneristica un rapporto spessore/diametro s/d = 0.1 è considerato

il valore discriminante tra i vasi a piccolo spessore (s/d < 0.1) e vasi a

parete spessa (s/d > 0.1). Il significato di questa distinzione riguarda l’ambito in cui

la teoria delle pareti a piccolo spessore è in grado di produrre valutazioni

quantitative dei valori di sforzi e deformazioni in direzione circonferenziale

sufficientemente corrette e cioè caratterizzate da errori ancora ragionevolmente

contenuti (inferiori al 5%). Al di fuori di questo ambito il ricorso alla teoria delle

parete spessa è necessario per eseguire valutazioni quantitative affidabili.

Riportiamo qui a seguito i valori del rapporto spessore/diametro per alcune arterie:

Teoria dei vasi a parete sottile

La teoria dei vasi, a parete sottile sottoposti a pressione interna prende il nome di

legge di Laplace o di Mariotte. Con riferimento alla figura sottostante, in cui un

vaso è stato idealmente sezionato in senso longitudinale, la forza in senso verticale

dovuta alla pressione del fluido che agisce sulla parete interna del vaso è in

equilibrio con la forza che le pareti tagliate si trasmettono:

A.A.

A sinistra sistema cilindrico utilizzato; a destra dimensioni e azioni agenti sull’emivaso ottenuto

sezionando idealmente il vaso in direzione longitudinale.

F = 2F

pressione parete

Nella (4) la forza di parete è data dallo sforzo circonferenziale moltiplicato per l’area

su cui agisce (SL); l’approssimazione introdotta in questa assunzione è l’ipotesi

implicita che lo sforzo abbia valore uniforme nella parete indipendentemente dalla

porzione di parete considerata (interna, media o esterna).

La forza dovuta alla pressione è data da:

Si ottiene quindi:

l'espressione dello sforzo circonferenziale è:

vale a dire uno sforzo di trazione tanto maggiore quanto maggiore è il valore di

pressione e di raggio inversamente proporzionale allo spessore.

Per quanto riguarda lo sforzo in direzione radiale, la teoria della parete sottile non

fornisce alcuna stima. Sapendo che per l’equilibrio esso assume il valore -p sulla

parete interna, e il valore zero sulla parete esterna. Si può ipotizzare in prima

approssimazione che esso vari linearmente tra questi due valori (vedi figura).

A.A.

Per, lo sforzo assiale possiamo scrivere la equazione di equilibrio: 2

la quale, nell’ipotesi di parete a piccolo spessore, tale per cui il termine S può

essere trascurato, diventa:

Le deformazioni in un sistema di riferimento cilindrico

Si consideri un settore circolare di parete di raggio r e spessore infinitesimo dr (in

figura). Sia u lo spostamento del punto A (e per simmetria del punto B); nell’ipotesi

che u dipenda solo dalla coordinata radiale e vari con continuità, lo spostamento

del punto D (e C) risulterà essere u + du. A.A.

Settore circolare di un vaso di raggio interno r e spessore dr, utilizzato per definire lo stato deformativo in

simmetria cilindrica; linee tratteggiate: configurazione indeformata; linea continua: configurazione deformata.

Sotto le ipotesi di deformazioni infinitesime, la deformazione in direzione circon-

ferenziale e radiale sono ottenute come variazioni di lunghezze di segmenti o archi

di cerchio normalizzate rispetto alla lunghezza a riposo:

A.A.

Teoria dei vasi a parete spessa

Si riporta a seguito una trattazione semplificata del problema del cilindro a pare te

spessa in pressione. Esaminiamo l’equilibrio di una porzione elementare di tubo

spesso quale quella rappresentata nella figura sottostante.

Avendo utilizzato la convenzione di assumere positivi gli sforzi di trazione.

L’equilibrio statico proiettato in direzione radiale richiede che:

Si ottiene allora la (2): A.A.

Sforzi che agiscono sull’elementino di parete

Se chiamiamo u lo spostamento radiale rispetto alla posizione di riposo del

materiale indeformato le deformazioni, per quanto visto nel precedente paragrafo,

sono:

Considerando solo lo stato di sollecitazione in direzione circonferenziale e radiale:

l’equazione (2) diviene:

che sviluppata diventa: A.A.

dotata delle condizioni al contorno: A.A.

L’interale dell’equazione differenziale ricavata è (3):

Sostituendo la (3) nelle condizioni al contorno ottengo le costanti di integrazione:

per cui la (3) diventa: A.A.

Lo spostamento in corrispondenza del raggio esterno R vale:

e

Questa relazione consente di valutare in vivo il modulo elastico della parete del

vaso a partire da misure di deformazione radiale e di pressione. Vediamo nella

figura di fianco lo stato di sforzo nella parete. Questa figura descrive l’andamento

delle grandezze che abbiamo esaminato. E’ interessante notare che lo sforzo

circonferenziale calcolato tramite la teoria della parete sottile coincide con il valor

medio della distribuzione di sforzi circonferenziali appena ottenuta.

Infine è possibile calcolare la distribuzione degli sforzi radiali e circonferenziali:

A.A.

A.A.

SANGUE

1) Descrivere il legame tra densità del plasma e densità del sangue

Il legame tra massa volumica del sangue intero e l’ematocrito è fornito dalla media

ponderale: ρ = (1 - Hct)*ρ + Hct*ρ

s p gr

ρ ρ

dove è la massa volumica del plasma e è la massa volumica della parte

p gr 3 3

ρ ρ

corpuscolare. In condizioni normali = 1028 Kg/m e = 1090 Kg/m .

p gr

Ne consegue che il sangue di un soggetto adulto con Hct = 45% ha massa

3

ρ

volumica = 1056 Kg/m .

s

2) Esprimere un cPoise nel Sistema Internazionale

1cP = 10^-3 Pa*s

3) Introdurre la reologia del sangue

Il termine reologia deriva dal greco e significa scienza dello scorrimento. E’ la

disciplina che studia il comportamento dei liquidi e delle sospensioni, ed in generale

la loro attitudine a fluire.

Un fluido omogeneo è caratterizzato da due grandezze: la densità e la viscosità.

Entrambe sono in genere funzioni della temperatura; la viscosità può essere anche

A.A.

funzione dello stato di moto.

Lo stato di moto può essere definito come l’insieme dei vettori velocità dei singoli

elementi del fluido. Nell’ipotesi di moto laminare in condotti cilindrici rettilinei (un

caso che si incontra frequentemente nella pratica), le variazioni di velocità si

riscontrano lungo la direzione radiale (in particolare, al centro del condotto la

velocità è massima e alla parete è nulla). La variazione in direzione radiale della

velocità assiale del fluido nel seguito sarà indicata per brevità con l’espressione

gradiente di velocità o con l’omologa espressione anglosassone shear rate.

Se la viscosità è indipendente dal gradiente di velocità il fluido si dice newtoniano

ed in tal caso lo sforzo tangenziale è direttamente proporzionale al gradiente di

velocità attraverso la viscosità dinamica.

Il sangue a causa della sua natura particolata non può essere considerato un fluido

omogeneo e, a rigore, esso non presenta un comportamento newtoniano.

In pratica però, nei vasi aventi diametro superiore a circa 0.3 mm, considerare il

sangue un fluido omogeneo e newtoniano può essere ritenuto una valida

semplificazione. Il diametro medio di un eritrocita è infatti, in questo caso, di almeno

due ordini di grandezza inferiore alla dimensione caratteristica del condotto. In altre

parole, quindi, il sangue può essere trattato come un fluido omogeneo e in prima

approssimazione Newtoniano fino al livello delle arteriole.

4) Tracciare l'andamento dello sforzo di taglio in funzione dello shear rate per

il sangue e per un fluido newtoniano Il legame tra lo sforzo di taglio ed

il gradiente di velocità in un fluido

newtoniano è una relazione di

proporzionalità diretta il cui

coefficiente di proporzionalità è

per definizione la viscosità del

fluido. Nel piano sforzo di taglio-

gradiente di velocità, dunque,

questa relazione è

rappresentabile con una retta

che passa per l’origine e la

viscosità è data dal coefficiente

angolare di questa retta.

2

L’unità di misura della viscosità nel S.I. è [N s/m ], spesso indicata come [Pa s].

Per quanto riguarda la viscosità, il sangue può essere considerato un fluido

newtoniano, cioè a viscosità indipendente dal gradiente di velocità, nella maggior

A.A.

parte dei casi. Un range di valori normalmente accettati per la viscosità del sangue

intero è 3-4 cP.

Vi sono però situazioni nelle quali la viscosità risulta dipendere da altri parametri:

- moto in vasi di grande diametro (d > 0.3 mm) e a basso shear rate;

- moto in vasi di piccolo diametro (d < 0.3 mm);

Analizziamo i due casi.

1) Relativamente al primo, in figura è illustrato il comportamento del sangue a

bassi valori di shear rate, dove si intende per shear rate la variazione in

direzione radiale della velocità assiale del fluido. Come si osserva, per shear

-1

rate inferiori a 100 s il sangue tende a comportarsi in modo non newtoniano (in

particolare il suo comportamento è quello dei fluidi cosiddetti pseudoplastici) a

causa della formazione dei rouleaux.

2) Per quanto riguarda i vasi di piccolo diametro, se le loro dimensioni sono

confrontabili con il diametro del globulo rosso, l’ipotesi di fluido omogeneo non

consente una valutazione sufficientemente corretta dei fenomeni fluidodinamici

che hanno luogo. In tal caso è necessario ricorrere a modelli teologici più

complessi, in grado di tener conto della parte corpuscolare presente nel sangue

stesso (il che ci porta ai modelli di Bingham e Casson).

5) Discutere dell’influenze della temperatura sul plasma, introducendo le

espressioni della viscosità dell’acqua, del sangue e del plasma

Il plasma è costituito per il 90% da acqua. La viscosità dell'acqua dipende dalla

temperatura in accordo alla seguente relazione classica:

µ µ

dove è la viscosità dell’acqua e = 1.808 cP è la viscosità dell’acqua allo stato

w 0

liquido a T = 0 °C, mentre T è la temperatura espressa in °C.

A.A.

A sua volta, la viscosità del plasma (µ ) è legata alla viscosità dell’acqua secondo

p

una correlazione che, ai fini dei calcoli pratici, può essere espressa come:

La viscosità del sangue è invece data da:

6) Il comportamento non newtoniano del sangue a bassi shear rate

L’anomalia nel comportamento reologico a basso shear rate si verifica per valori di

ematocrito maggiori del 12% ed è governala dalla presenza di macromolecole, ed

in particolare, di fibrinogeno, che determinano l’aggregazione di globuli rossi in

rouleaux che, essendo di dimensioni maggiori, causano dal punto di vista

macroscopico un aumento della viscosità (nelle figure seguenti).

-1

Al di sotto della soglia di 100 s aumenti di ematocrito comportano notevoli aumenti

della viscosità (Fig. 2). I rouleaux si distruggono rapidamente se si applicano sforzi

di taglio dell’ordine di 0.1-0.2 Pa.

A.A.

7) Descrivere il modello di Bingham e la formulazione di Casson


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti del corso di Biomeccanica (12CFU) tenuto dal prof. Migliavacca per Ingegneria Biomedica. Il documento, oltre agli elementi teorici corredati di immagini e formule, contiene foto degli esercizi più noti richiesti all'esame svolti a mano, dimostrazioni e crocette dedicate ad ogni argomento. Argomenti trattati: 1 - Tessuto Osseo 2 - Muscoli 3 - Tendini e Legamenti 4 - Cartilagine e disco intervertebrale 5 - Vasi sanguigni 6 - Sangue


DETTAGLI
Esame: Biomeccanica
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria biomedica
SSD:
A.A.: 2017-2018

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher andrearmagno di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Biomeccanica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Migliavacca Francesco.

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