Base dimensione codimensione e componenti coordinate

Base, dimensione, codimensione

e componenti (coordinate)

Definizioni {v , … , }

Base: un insieme di vettori si dice base dello spazio vettoriale se:

v V

1 n

{v , … , }

l’insieme è linearmente indipendente;

v

1 n

= < , … , > , ovvero se generano .

V span v v V

1 n

Una base è un’insieme minimale di vettori generatori di e un’insieme

V

massimale di vettori linearmente indipendenti.

Basi canoniche per i più comuni spazi vettoriali:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 0 0

0 1 0

: …

n

R … … …

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 1

:

M

mn

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

1 0 … 0 0 1 … 0 0 0 … 0

0 0 … 0 0 0 … 0 0 0 … 0

…

… … … … … … … … … … … …

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 … 0 0 0 … 0 0 0 … 1

2 3

[x] : {1, , , … , }

n

R x, x x x

n

Dimensione: numero di vettori (linearmente indipendenti) che compongono

qualsiasi base di uno specifico spazio vettoriale

Base, dimensione, codimensione e componenti (coordinate) 1

Importante: ne segue che tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno

lo stesso numero di vettori (linearmente indipendenti e che generano )

V

L’unico spazio vettoriale con dimensione zero è lo spazio vettoriale

banale, ovvero quello che contiene solo l’insieme nullo. ⊆

Codimensione: dati uno spazio vettoriale e un suo sottospazio , con

V E V

) = = (n −

e , allora il valore si dice codimensione di in

dim(V n dim(E) k k) E

V La codimensione è anche il numero di equazioni cartesiane che ho

bisogno per descrivere un sottospazio vettoriale di dimensione di

W k

uno spazio vettoriale di dimensione .

V n

Coordinate (o componenti): vedi Teorema sull’unicità delle componenti

Proposizioni

Uno spazio vettoriale si dice finitamente generato se esiste un insieme finito di

generatori.

⚠ [x]

Non tutti gli spazi vettoriali sono finitamente generati, ad esempio .

R

n

[x]

Infatti, la base canonica di dovrebbe essere costituita da infiniti

R

n

2 3

{1, , , … }

vettori: x, x x {v , … , }

Se ammette una qualsiasi base , allora è finitamente generato; se

V v V

1 n

esiste un finito numero di vettori generatori per , allora ammette sicuramente una

V

base.

Ogni spazio vettoriale non nullo e finitamente generato ammette almeno una base,

che non è unica.

Base, dimensione, codimensione e componenti (coordinate) 2

⋅ = 0

Data una matrice invertibile tale che , ciò significa che è

A n n det(A) 

composta da un insieme di vettori linearmente indipendenti. Ciò significa che

n n

l’insieme dei vettori che compongo la matrice formano una base per .

A R

Dato uno spazio vettoriale di dimensione e un suo sottospazio qualsiasi di

V n W

≤

dimensione , allora abbiamo necessariamente che .

m m n

Un insieme di vettori di uno spazio vettoriale lo generano se e solo se le

V

componenti rispetto a qualsiasi base compongono anch’esse un insieme

linearmente indipendente.

Un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è linearmente indipendente se e solo

V = )

m

se le componenti rispetto a qualsiasi base generano , dove .

R m dim(V

) =

Dato un generico spazio vettoriale la cui dimensione , allora:

V dim(V n

un insieme di vettori che generano sono anche linearmente indipendenti, e

n V

viceversa >

un qualsiasi insieme di vettori in saranno sicuramente linearmente

k n V

dipendenti. ⊆

Se un sottospazio vettoriale è di codimensione , allora per descrivere quel

E V l

sottospazio avrò bisogno di equazioni.

l = 0 ∈ (R)

Dato un sistema lineare omogeneo con e l’insieme

A

x A M W

m,n

−

delle sue soluzioni, allora avrà dimensione .

W n rk(A)

IMPORTANTE: data una matrice ridotta a scala , il rango riga (o colonna) della

M

= , … , ])

matrice è , dove è la esima riga (o colonna)

rk(A) dim(L[R R R k−

1 k k

della matrice : il rango della matrice equivale alla dimensione del sottospazio

M

generato dalle righe (o colonne) che la compongono.

Teorema del completamento

{v , … , }

Sia un insieme di vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale

v

1 m = {w , … , } ≤

qualsiasi finitamente generato. Se è una base di , allora

V β w V m

1 n

ed esistono sempre .

n V

Teorema sull’unicità delle componenti

Base, dimensione, codimensione e componenti (coordinate) 3