Base dimensione codimensione e componenti coordinate

Base, dimensione, codimensione e componenti (coordinate)

Definizioni

Base: Un insieme di vettori si dice base dello spazio vettoriale se:

• L'insieme {v₁, …, v_n} è linearmente indipendente.
• Genera V, ovvero V = span{v₁, …, v_n}.

Una base è un insieme minimale di vettori generatori di V e un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.

Basi canoniche per i più comuni spazi vettoriali

Per Rⁿ:

Per M_m×n:

Dimensione

Il numero di vettori (linearmente indipendenti) che compongono qualsiasi base di uno specifico spazio vettoriale.

Importante: Ne segue che tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori (linearmente indipendenti e che generano V). L'unico spazio vettoriale con dimensione zero è lo spazio vettoriale banale, ovvero quello che contiene solo l'insieme nullo.

Codimensione

Dati uno spazio vettoriale V e un suo sottospazio E, con dim(V) = n e dim(E) = k, allora n - k si dice codimensione di E in V. La codimensione è anche il numero di equazioni cartesiane che ho bisogno per descrivere un sottospazio vettoriale di dimensione k di uno spazio vettoriale di dimensione n.

Coordinate (o componenti)

Vedi Teorema sull'unicità delle componenti.

Proposizioni

Uno spazio vettoriale si dice finitamente generato se esiste un insieme finito di generatori.

⚠ Non tutti gli spazi vettoriali sono finitamente generati, ad esempio Rⁿ. Infatti, la base canonica di Rⁿ dovrebbe essere costituita da infiniti vettori: {1, x₂, x₃, …}

Se uno spazio vettoriale V ammette una qualsiasi base {v₁, …, v_n}, allora è finitamente generato; se esiste un finito numero di vettori generatori per V, allora ammette sicuramente una base.

Ogni spazio vettoriale non nullo e finitamente generato ammette almeno una base, che non è unica.