ASE: Analisi dei sistemi ad eventi, Reti di code, Automazione industriale (Esonero)

Formulario - reti aperte

Visit count

Della stazione è: Numero x clienti nel sist. Numero di clienti nella stazione e-esima M/M/1:

Tempi di attraversamento e servizio

Tempo che impegna un pezzo ad attraversare il sist. Tempo x attraversare la stazione e-esima M/M/1: Tempo di servizio x la stazione e-esima

Tempi d'attesa

Tempo che il cliente attende in coda nell'intero sist. Tempo che il cliente attende in coda nella stazione e-esima M/M/1: Tempo che il cliente attende in coda nella stazione e-esima M/H/1:

Produttività

Produttività reale del sist. Produttività reale di una stazione e-esima Produttività teorica del sist. Produttività teorica di una stazione e-esima

Condizione di stazionarietà

STAZIONI M/M/1 L=λW

STAZIONI M/M/∞

Formulario - reti aperte

V_i = λ_i/λ_sis Visit count della stazione i(λ_i si trova risolvendo il sist)

N = 1 / ∑ N_i^-1 Numero x clienti nel sist

N_i = λ_i/μ_i Numero di clienti nel stazione i-esima

W = ∑ W_i = ∑ W_qi + W_si Tempo che impiega un pezzo ad attraversare il sist

W_si = 1 / (μ_i - λ_i) Tempo x attraversare la stazione i-esima

W_i = L_i/λ_i Tempo attraversare stazione i-esima

W_s(i) = μ_i^-1 Tempo di servizio x la stazione i-esima

W_qi = W_i - W_si Tempo attende in coda nel intero sist

W_qi = 1 / (μ_i - λ_i) Tempo cliente attende in coda nella stazione i-esima

X_R = λ / ∑ λ_i Produttività reale del sist λ/μ

X_R = ∑ L_i Produttività reale di una stazione e-esima

X_T = min { Si μ_i } / V_i Produttività teorica del sist

X_T,i = Si μ_i / V_i Produttività teorica di una stazione i-esima

λ_i < Si μ_i Condizione di stazionarietà

STAZIONI M/M/1 P_m = P_m⁰

P₀ = 1-p = λ_i / μ_i

N_i = λ / μ-λ

W_i = W_qi + 1 / μ_i

W_qi = 1 / (μ_i - λ)

STAZIONI M/M/∞ L = 0

W_qi = 0

N = p = λ / μ

W = 1/μ

Sezioni: M/M/1/S

P₀ = Σ_m=0^s-11(λ/μ)^m + ¹/¯¹ - p

P_m = ^(λ/μ)mP₀ m ≤ S

P_m = ¹_{s! s^m} (^λ_μ)^mP₀ m > S

L = ^{p₀(λ/μ)s⊂} / _{s! (1 - p)²}

W_q = ¹◊

W = W_q + ¹μ

N = λW

Sezioni: M/M/1/k

P₀ = ^{1 - λ/μ} / _{1 - (λ/μ)^k+1}

P_m = ^(λ/μ)mP₀ 0 ≤ m ≤ k

P_m = 0 m > k

N = ^λ/μ1 - (^{k(λ/μ)k + 1}λ / _{1 - (λ/μ)^{k + 1}}

Leggi: De Little

1. W = W_q + W_s   W_s = ¹/μ
2. N = λx
3. L = W & Wlambda;q

Legenda

μ: Vel di servizio

I: Tempo di servizio

λ: Frequenza di arrivi

Formulario - reti chiuse

W₀ = ^{∑_s=1R V_i•W_i} / _XRi = N

Tempo che impiega un pezzo ad attraversare il sistema risolvendo il sistema. N = cost.

W_S = ^{∑_s=1S W_i} / _XRi = ^{∑_s=1S V_i•V_i}

Tempo di servizio del sist. V_q = ^{∑_i=2S V_i•V_q}

Tempo che il cliente attende in coda nell'intero sistema. X_R = ^G(M,N-1) / _G(M,N) Produttività reale del sist.

X_Ri = V_i•X_R Produttività reale di una stazione.

X_π = ^min_sS_iμ_i / _Vi Produttività teorica per stazione.

X_πi = ^S_iμ_i/_Vi Produttività teorica di una stazione i-esima.

λ_i = X_RiX_i = ^V_i / _λi Tempo speso in una stazione (W_S(i))

P(m_i = k) = ^{ϕ_iH(k)•G(M-1,N-k)} / _G(M,N) Probabilità che all'ultima stazione i-esima siano k clienti.

f_s(m_s) = ^m_s / _Xs m_s ≤ S_s m_s ≤ S_sX_s^m_s-S_s m_s > S_s S_s ≤ S_s

G(j,n) = ^N / _{∑k=0ⁿ ϕi(k)•G(s-1,n-k)}

N_M = ^{∑_k=1W k•P(m_i=k)} - ^{∑_i=0N k•p_n(k)•G(m-1,n-k)} / _G(H,N)

W_i = ^{N_i•V_i•N} / _XRi Tempo che impiega un pezzo ad attraversare una stazione.

W_q = ^N_i / _XRi - ¹ / _λi Tempo che un cliente attende in coda in una stazione i-esima.

V_i = ^N_i / _Xi TinputX_R2 = X_RX_π2 = ^S₂μ₂ / _V2 TuttoX_R2 = V₂ X_R2X_π2 = S₂μ₂

Processi di nascita e morte

La maggior parte dei modelli elementari di coda considerano che le entrate (unità di arrivo) e le uscite (unità di partenza) dal sistema si verifichino come un processo di nascita e morte. Il termine nascita si riferisce all'arrivo di una nuova unità e il termine morte alla partenza di un'unità servita. Le nascite e le morti si verificano a caso con una cadenza media che dipende dallo stato:

• Stato al tempo t
• Eventi da t a t + Δt
• Probabilità
• Em-1 un'entrata Pm,m-1(t) = λm-1 Δt + σ(Δt)
• Em+1 un'uscita Pm+1,m(t) = μm Δt + σ(Δt)
• Em eventi multipli o(Δt)
• Em nessun evento Pm,m(t) = 1 - λm Δt - μm Δt + σ(Δt)

Teorema di Jackson

HP: 1) La distribuzione esponenzialmente: ∀i V_i = 1 ... m; ∀i M_i V_i = 1 ... m 2) b_i 3) Code illimitate 4) Disciplina di servizio FIFO 5) Probabilità instradamento j ∈ ...; i = 1 ... m 6) λ s stazione del sistema VALO:

TEOREMA DI JACKSON P_J(m_J) = (m_J ^m_J) (λ_J ^m_J) e (- S_J) ≤ J ≤ J l p₀ ≤ S_J CONSEGUENZE: I sistemi possono essere trattati come indipendenti anche se non lo sono

p(m) = P(m1, m2, m3 ... mJ) = ∏^J_l=1 P_J(m_J) [JACKSON]

Equazione di equilibrio

M _J=1 PB. Uscita dallo stato m = (m1, ..., m_m) = PB. Ingresso dello stato m = (m1, ..., m_m) P(m) = Σ_J=1^J λ_jJ(m_J)

P(m_J0) = Σ_J=1^Jm_J P(m₀)

Dove: _J = min(m_{J, SJ}); m = (m1 ... m_J);_J(m_{J, SJ}); m = (m1 ... m_J⁺¹) ... m_J)

Nelle reti chiuse non ho gli arrivi dall'esterno (λ)(sono mascherati meccà; stazione di carico/scarico)

Teorema di Ordon

HP 1) _Parametro: Fissato distribuz esponenzialmente 2) _Code Illimitate; o unità di capacità N-S 3) _PB Instradamento j non per arrivi: 4) _FIFO: Tempo di servizio distribuiti esponenzialmente

X_E X_T F, () = X m_j ^{≤ S_J}; X_{Sj; Sj ≫ 3Sj ...} dove X₃ = V_j / _S Allora data una stazione di riferimento C/S

P(m) = P(m&om;(m...where...G(M=G(W) - Σ_J=1^T[,TUTTI GLI STATI POSSIBILI O P(m _{= -&eco; Un'ultima itinarkina} f_M(K) = K-1N-K)

Throughput (TP), produttività, si misura in pezzi/unità di tempo nelle reti aperte.

X_R = TP reale della rete, quanto effettivamente la rete produce X_R = Σ_iλ_i arrivi esterni. Se si volesse aumentare X_R senza modificare la rete bisognerebbe aumentare gli arrivi dall'esterno (aumento λ_i) mantenendo la stazionarietà del sistema (λ_i ≤ X_S/h_i)

X_T = TP teorica della rete, produttività massima teorica della rete X_T = min_∀i (X_S/h_i) di tutte le stazioni, se si volesse aumentare X_T senza modificare la rete bisognerebbe aumentare M della stazione più lenta (collo di bottiglia) fino a XL ti decca stazione con il valore più vicino a quello che voglio modificare

Nelle reti chiuse

X_R = G(N, M - 1) G(M - 1) che sono gli ultimi due valori della tabella. Per aumentare X_R senza modificare il sistema bisognerebbe aggiungere clienti al sistema (aumento N) mantenendo il sistema stazionario

X_T = Identico al prima per entrambe : Condizione di stazionarietà : X_R ≤ X_T Massimo X_R ammissibile : X_T - ε

Caratteristiche dei sistemi e condizioni di stazionarietà

M → Tempo di arrivi distribuiti esponenzialmente con parametro λ

M → Tempo di servizio μ

M → Numero di serventi = 1, lunghezza illimitata

C. Stazionarietà ρ = λ / μ M → // S → Numero di serventi = S ; capacità illimitata C. Stazionarietà ρ ≤ λ / Sμ = 1 S → Si riferisce al lavoro di tutti gli serventi in parallelo (la massima produttività possibile) M/A/1/K M → A → Numero di serventi ≥ 1 K → Clienti ammessi nel sistema = K C. Stazionarietà non sono necessarie, poiché il sistema si autolimita, sono accettabili solo K clienti

Leggi di Little

1. W = W_q + 1/ μ = Tempo speso nel sistema = tempo speso in coda + tempo speso in servizio
2. ^{# clienti nel sistema = frequenza degli arrivi} / _{tempo speso nel sistema}
3. ^{# clienti in coda = frequenza degli arrivi} / _{tempo speso in coda}