Appunti del corso Analisi dei sistemi ad eventi

Name: Appunti del corso Analisi dei sistemi ad eventi
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Author: -valeriap

Revisionato il 31/05/2026

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gli appunti sono ancora validi per gli anni successivi di corso in quanto gli argomenti non sono cambiati.comprende la teoria trattata in aula, con esercitazioni dimostrazioni e guide per lo …

Esame analisi dei sistemi ad eventi

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Adacher Ludovica

Università Università degli Studi Roma Tre

A.A. 2016-2017

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LEGGI DI LITTLE

W = W_s + W_q

servizio
queue

Tempo di attraversamento dipendente dal valore atteso di W_s e W_q

N = λ W_s

Numero di clienti nel sistema è in base alla loro frequenza di arrivo e da quanto in media ognuno resta dentro

L = λ W_q

Numero dei clienti in coda legato alla frequenza di arrivo e al tempo di attesa.

1^a ipotesi di funzionamento: Processi di nascita e morte

NON SONO AMMESSI SALTI MULTIPLI

Sistema chiuso, i modi per entrare nello stato sono pochi e semplici.(Distribuzione)

Per calcolare la probabilità devo calcolare tutti i modi possibili. Prendo un intervallo Δt molto piccolo per verificare la precedente condizione di non esistenza di stati multipli

t Δt P_n(t+Δt) n-1 NASCITA λ_n-1 Δt P_n-1(t) + o(Δt) n+1 MORTE μ_n+1 Δt P_n+1(t) + o(Δt) CASO GENER. MULTIPLI n [1-(λ_n Δt P_n(t) + μ_n+1 Δt P_n+1(t) + o(Δt)) + o(Δt)]

P_n(t)

Che evento si deve verificare?(per entrare in n)

LEGGI DI LITTLE

W = W_s + W_q

Tempo di attraversamento dipendente dal valore atteso di W_s e W_q

N = λ W_s

Numero di clienti nel sistema è in base alla loro frequenza di arrivo e da quanto in media ognuno resta dentro

L = λ W_q

Numero dei clienti in coda legato alla frequenza di arrivo e al tempo di attesa.

1^er IPOTESI DI FUNZIONAMENTO: Processi di nascita e morte

NON SONO AMMESSI SALTI MULTIPLI

SISTEMA chiuso, i modi per entrare nello stato sono pochi e semplici. (distribuzione)

Per calcolare la probabilità devo calcolare tutti i modi possibili. Prendo un intervallo Δt molto piccolo per verificare la precedente condizione di non esistenza di stati multipli

tΔtP_n(t+Δt)n-1NASCITAλ_n-1 Δt P_n-1(t) + σ(Δt)n+1MORTEμ_n+1 Δt P_n+1(t) + σ(Δt)CASO GENER. MULTIPLIn1 - [ λ_n Δt P_n(t) + μ_n+1 Δt P_n+1(t) + o(Δt)] + σ(Δt)

Che evento si deve verificare? (per entrare in n)

∑ₙ₌₀⁺∞ 9ⁿ

Serie Geometrica

➔ se -1 < |q| < 1 : converge sempre con somma λ / 1-q
➔ q=1 : serie irregolare
➔ q≠1 diverge positivamente

10 Ottobre 2016

Regime: la derivata è nulla

lim f(t) = f

t→⁺∞

I sistemi stazionari tendono a una costante.

Sistemi Stazionari non dipende più nulla dal tempo!

Pₙ₋₁ λₙ₋₁ + Pₙ₊₁ μₙ₊₁ - Pₙ λₙ - Pₙ μₙ = 0

Ipotesi di stazionarietà lim Pₙ(t) = Pₙ

t→⁺∞

ora ottengo una forma migliore dimostrando induttivamente:

P₋₁ = 0 !

P₋₁ non ha senso, P₁ μ₁ - P₀ λ₀ - P₀ μ₀ = 0

μ₄ sempre zero; se non ho clienti non posso processarne.

P₁ = λ₀ / μ₁ P₀

➔ n = 1 ?

P₀ λ₀ + P₂ μ₂ - P₁ λ₁ - P₁ μ₁ = 0 ➔ P₁₂ = λ₁ / μ₂ P₁ + μ₁ / μ₂ ρ₁ - λ₀ / μ₂ P₀ ma sostituisco P₁ che è noto

P₁₂ = λ₁ / μ₂ P₂ - λ₀ / μ₄ P₀ + λ₀ / μ₂ P₀ - λ₀ / μ₂ P₀

➔ n = 2 ?

P₃ = λ₂ / μ₂ λ₁ / μ₁ λ₀ / μ₁ P₀ quindi Pₙ che struttura?

P_n = ^{λ_n-1 λ_n-2 ... λ₀ P₀}/_{μ_n μ_n-1 ... μ₁}

P_n = ∏_i=0^n-1 λ_i / ∏_j=1ⁿ μ_j P₀

ammettendo che ∑_n=0^∞ P_n=1

dalla sommatoria devo ricavare P₀ :

P₀ + ∑_n=1^∞P_n =1 = 1 - ∑_n=1^∞∏_i=0^n-1 λ_i / ∏_j=1ⁿ μ_j P₀

P₀

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