Appunti del corso Analisi dei sistemi ad eventi

LEGGI DI LITTLE

W = W_s + W_q

Tempo di attraversamento dipendente dal valore atteso di W_s e W_q

N = λ W_attravers

Numero di clienti nel sistema è in base alla loro frequenza di arrivo e da quanto in media ognuno resta dentro

L = λ W_q

Numero dei clienti in coda legato alla frequenza di arrivo e al tempo di attesa

1° IPOTESI DI FUNZIONAMENTO: Processi di nascita e morte

NON SONO AMMESSI SALTI MULTIPLI

n: ± 1, è stato n vuoto

SISTEMA Chiuso i modi per entrare nello stato sono poche e semplici

Per calcolare la probabilità devo calcolare tutti i modi possibili. Prendo un intervallo Δt molto piccolo per verificare la precedente condizione di non esistenza di stati multipli

P_n(t+Δt)

• n-1 NASCITA λ_n-1 Δt P_n-1(t) + o(Δt)
• n+1 MORTE μ_n+1 Δt P_n+1(t) + o(Δt)
• CASO GENERE MULTIPLI o(Δt)
• n [1- (λ_n Δt P_n(t) + μ_n+1 Δt P_n+1(t) + o(Δt)] + o(Δt)

P_n(t)

Che evento si deve verificare? (per entrare in n)

Serie Geometrica

• se -1 < q < 1: converge sempre con somma 1/(1-q)
• q = -1: serie irregolare
• q > 1: diverge potentemente

10 Ottobre 2016

Vel di servizio

effeci all’infimo

dipendica dallo stato

Regime: la derivata è nulla

lim f(t) = f

t → +∞

I sistemi stazionari tendono a una costante.

Sistemi Stazionari

Non dipende più nulla dal tempo!

Pn = ln * Pn-1 + Pn+1 * mn+1 - Pn m - Pn ln = 0

Ora ottengo una forma migliore dimostrando induttivamente:

n = 0

• P-1 non ha senso, P1 m - P0 λ - P0 μ = 0
• P4 sempre zero; se non ho clienti non posso processarne.

n = 1

• P1 = λ0 / μ1 P0

P0 λ0 + P2 μ2 - P1 μ1 - P1 λ1 = 0 → P12 = λ2 / μ2 P1 + μ1 / μ2 P1 - λ0 / μ2 P0 ma sostituisco P1 che è noto

n = 2?

P3 = λ2 / μ2 * λ1 / μ1 * λ0 / μ0 P0

quindi Pn che struttura?

avendo s0 elementi, provo a riportarla a una serie geometrica, così converge a quantità finita.

→ Po bisogno di portare fuori ciò che non dipende da Σ

= Σ_k=0 ^∞ k^ss(/)^n-s

cambio variabile: k=n-s

ora devo eliminare il +s, porto fuori un ^s

= ^s/s_!^s Σ_k=0 ^∞(s)^k

ora ho ottenuto la serie geometrica con ragione =(/). Converge solo se < s altrimenti il tempo di attesa → la coda ESPLODE

C = (1/s_!) (/)^s 1/(1-ρ) = P₀

ora posso calcolare L = Σ_i=0 ^∞ i P_i, ipotizzo che n>s. Altrimenti non si può avere contributo.

conosco P₀? non importa, è solo una definizione. L è una variabile dipendente: la distribuzione di probabilità di Q è quella di n naturale ad s.

= Σ_n-s=0^∞ (n-s) P_n faccio un cambio di variabile k=n-s n=k+s

= Σ_k=0^∞ k P_k+s = Σ_k=0^∞ k (1/s_!)(1/s^k)(/)^k+s) Po (sottituto k+s al posto di n)

= P_o^∞ Σ (k (/)^k) k=0 (/)^s (s)

= P_o/s_! (/)^s 1/(1-)² = L

poi sfruttando Little posso ricavare il resto.

5) Ipotesi fondamentali per le reti di code aperte:

1. t_a: tempo di arrivo degli utenti stazione distribuito exp. λ_i
2. t_s: tempo di servizio distribuito exp. μ_i
3. disciplina di servizio della coda FIFO (First In First Out)
4. ogni cliente ha una probabilità di instradamento

P_ij probabilità di inoltramento dalla stazione i alla stazione j.La somma deve essere sempre 1.

• ∑_j=1^M P_ij = 1 fino a M perché si possono avere pezzi che vanno fino all'ultima stazione.

Si può avere il caso P_ii che indica un loop, capita spesso nelle ispezioni.Ma devo considerare un ulteriore caso: le reti sono aperte, potrei uscire dal sistema.

• ∑_j=0^M P_ij = 1 e P_i0 è la probabilità di uscire dal sistema dopo il processo i-esimo.

5) Le ipotesi sulle code possono essere illimitate [MM1, MMS]

Sotto queste ipotesi si introduce una nuova grandezza chiamata[frequenza effettiva della stazione λ_j]: λ_j = λ_i P_ij(non parte da 0 perché arrivano i esterni ➔ λ_j)è una grandezza che tiene conto degli arrivi esterni e dalle altre stazioni.

• Conclusioni di stazionarietà: λ_j < s_j M_j

Teorema di Jakson: oltre alle 5

Ipotesi precedenti devono verificarsi:

1. λ_j
   1. (λ_j / M_j) f_j(n_j) con n_j ≤ s_j
   2. s_j ! η - s_j (λ_j / M_j) f_j(∞) con n_j > s_j
2. μ doppio caso viene dalla doppia velocità dei sistemi MMS.
3. ∑_nj=1^∞ (n_j)_fs(n_j)=1 con λ_j≤ s_T M_T

Tesi: Allora P(n₁, ..., n_N) = P(n₁) * ... * f_j(n_j): la distribuzione probabilità è uguale al caso isolato.Quindi n_j è il valore del stato di un (IMP)La distribuzione probabilità è uniforme rispetto al prodotto delle impactsgrazie alla sostituzione di λ_j posso trattare le stazioni come indipendenti.

1

λ_P=λ

S=∞

P

A

0,2

B

S=1

0,8

0,25

M

0,1

S=10

0,65

• Sistemi monoservere
• E(t_S)B: 3 min (1/μ_H)
• E(v_S)A: g p/h (λ_M)
• μ_M = 18 p/h
• μ_P = 6 p/h

prima di tutto porto tutto in ore: ³/₆₀= ¹/₂₀ 60 = 20 p/ln (μ_B)

IPOTESI: Il sistema lavora a meta dell X_T (X_R = ^X_L/2)

Ora calcolo i λ_X

λ_P = λ + 0,25 λ_N

λ_A = 0,2 λ_P

λ_B = 0,8 λ_P

λ_N = λ_A x 0,8 + 0,1 λ_N

λ_P = 1,38 λ

λ_A = 0,3 λ

λ_B = 1,23 λ

λ_M = 4,54 λ

λ_P tra la stazionarietà sempre verificata: S=∞

M ^0,8/₃ > M_K 18/1,54⁴

M_B > B ^20/1,23

M_A > A ⁹/_0,3

λ :) < 11,7) e' il valore tencico (λ_T) posso trovare X_T?

λ: = ^11,7/₂

(< 11,7, quando ès stazionarno!)

- ALTRO METODO: ho trovata λ* e ora posso trovare λ:

λ_P = 0,3 λ

λ_B = 1,23 λ

λ_M = 1,54 λ

λ_P = 1,38 λ

X_T: min

M

9/_0,1

200/_1,23

18/_1,54

9 30

1 1,54

11,7

qui trovato prima!

IL COLLO DI BOTTIGLIA RIDUCE DI (^{16,26 - 11,7 la PRODQUITIVITA'}

4,56

Come aumento X_T? aumento la produttività del collo di bottiglia (o aumento i parametri al numeratore o al denominatore) o cambio tipo di sistema.

NON MODIFICO IL VISIT COUNT, ALTRIMENTI AUMENTO μ del collo di bottiglia.

μ* = ^16,3/_'1,54 = 25,1 p/h

- Come so quarto deve aumentare M_H: 25,1 < Sub>20 ; 5,1 unità per ora.

- come aumento X_Te? aumento λ finché è minore di 11,7.