Automazione Industriale - appunti

Sistemi ad eventi discreti (DES)

{ xdot = Ax + Bu, x in Rⁿ, u in R^m
y = Cx , y in R^p }

Stato del sistema = dimensione del sistema

x: R⁰ -> Rⁿ, u: R⁰ -> R^m, y: R⁰ -> R^p

{ xdot = f(x,u)
y = h(x) }

Vogliamo modellare una vending machine:

• Moneta
• Zucchero
• Bevanda
• Fine

Grafo

Modelliamo ora una slot machine:

• Moneta
• Manovella
• Vinco/perdo

A caratterizzare il modello qualitativo del sistema sopra riportato sono i seguenti oggetti:

• X insieme stati (finito)
• X₀ insieme stati iniziali
• X_m insieme stati finali (xw = marcati)
• E eventi (moneta, zucchero, ecc...)
• F: X x E -> X (a uno stato e un evento corrisponde uno stato)

Cioè: (X, X₀, X_m, E, F)

Nel secondo modello (slot machine) non si può definire F allo stesso modo; perché ad esempio f(x₁, manovella) = {x₂, x₃}, e quindi vale:

f: X x E -> 2^X con 2^X = { emptyset, {x₀}, ..., {x₁}, {x₀, x₁}, ... }

Consideriamo le analogie e differenze fra il sistema non lineare

{ xdot = f(x,u), x in Rⁿ, y in R^m e i modelli qualitativi.
y = h(x), y in R^r }

Analogie

In generale la tupla dei modelli qualitativi prevede uscite ed è quindi:

(X, X₀, X_m, E, F, O, H)

• Con O: insieme delle osservazioni (uscite)
• H: funzione H: X -> O

Sistemi ad eventi discreti (DES)

{ x dot = Ax + Bu, x in Rⁿ, u in R^m
y = Cx, y in R^p }

x: R₀⁺ -> Rⁿ, u: R₀⁺ -> R^m, y: R₀⁺ -> R^p

{ x dot = f(x,u)
y = h(x) }

Vogliamo modellare una vending machine:

• Moneta
• Zucchero
• Bevanda
• Fine

Grafo

Modelliamo ora una slot machine:

• Moneta
• Manovella
• Vincita/perdo

A caratterizzare il modello qualitativo del sistema sopra riportato sono i seguenti oggetti:

• X insieme stati (finito)
• X₀ insieme stati iniziali
• X_u insieme stati finali (u = marcati)
• E eventi (moneta, zucchero, ecc...)
• F: X x E -> X (a uno stato e un evento corrisponde uno stato)

Cioè: (X, X₀, X_u, E, F)

Nel secondo modello (slot machine) non si può definire F allo stesso modo; perché ad esempio F(x₁, manovella) = {x₂, x₃} e quindi vale:

f: X x E -> 2^X con 2^X = {∅, {x₀}, ..., {x₁}, {x₀, x₁}, ...}

Consideriamo le analogie e differenze fra il sistema non lineare e i modelli qualitativi:

{ x dot = f(x,u), x in Rⁿ, y in R^m e i modelli qualitativi.
y = h(x), y in R^p }

Analogie

In generale la tupla dei modelli qualitativi prevede uscite ed è quindi:

(X, X₀, X_u, E, F, O, H)

• Con O: insieme delle osservazioni uscite
• H: funzione H: X -> O

Differenze

• Infinito vs finito ← spazio di stato
• Time-triggered vs event-triggered
• Deterministico vs Non-deterministico

Esempio DES

Una parola è una sequenza finita di lettere.

Un linguaggio è una collezione di parole.

=> Teoria dei linguaggi pt 1 del corso.

=> Supervisory control pt 2 del corso cioè controllo di DES.

Gli elementi di un sistema di controllo sono:

• Plant (processo); P DES
• Controllo; C DES
• Specifiche; L Spec.

The concept of system

Def. 1: An aggregation or assemblage of things so combined by nature or man as to form an integral or complex whole (Encyclopedia Americana)

Def. 2: A regularly interacting or interdependent group of items forming a unified whole (Webster's Dictionary)

Def. 3: A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts (IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic terms)

Quindi:

• Interacting components
• A "function" to be performed

System model

I) Variabili misurabili

II) Selezione delle variabili che possono essere modificate = variabili di ingresso u₁(t),u₂(t),... u_p(t), t0 < t < tf

III) Selezione delle variabili che possono essere misurate direttamente mentre y_i(s) variano = variabili di uscita {y₁(t)}

Si raccolgono u₁(t), ... u_n(t) in un vettore u(t) e y₁(t), ... y_m(t)