Esercizi, Metodi Matematici per l'ingegneria 2

Name: Esercizi, Metodi Matematici per l'ingegneria 2
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Author: Julia Ires Luna

Revisionato il 16/04/2026

di Julia Ires Luna

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Appunti teorici, con esempi di esercizi spiegati e svolti, schemi per sostenere lo scritto di Metodi Matematici per l'ingegneria 2 - Prof.ssa C. Drago. Gli argomenti trattati sono i seguenti: …

Esame Metodi Matematici per l'ingegneria 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Drago Concettina Rita

Università Università degli Studi di Catania

A.A. 2013-2014

62 pagine

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Estratto del documento

1) SUCCESSIONE DI FUNZIONE

CONVERGENZA PUNTUALE

Data la successione di funzioni \( f_n(x) \).Sia \( x \in [0; +\infty] \)

\( x = 0 \rightarrow f_n(x) = 0 \)\( x > 0 \rightarrow \) fissiamo il limite

La funzione limite è:\( f(x) = 0 \) \( x \in [0; +\infty) \)

CONVERGENZA UNIFORME

Consideriamo la quantità:\(|f_n(x) - f(x)| = \ldots\)

... dobbiamo determinare l'estremo superiore.\( |f_n(x) - f(x)| = \sup \) \( x \in [0; +\infty) \)

Verifichiamo che essa sia derivabile.Vediamo se esistono massimo assoluto, derivando:\( f'_n(x) \) e trovando i valori per cui si annulla.

Sostituire il valore \( x_{max} \) nelle \( f_n(x) \).

Facciamo il limite:

\(\lim_{m \to +\infty} \sup_{x \in [0;+ \infty)}|f_n(x)-f(x)| = \lim_{m \to +\infty} f_m(x_{max})=\)

ESERCIZIO - ESEMPIO

\( f_n(x) = \frac{mx+1}{mx^2+1} \) \( x \in [0; +\infty) \)

\(convergenza puntuale

per \( x=0 \) \( f_n(0) = 1 \)

per \( x>0 \) \(\lim_{m \to +\infty} \frac{mx+1}{mx^2+1} = 1\)

1) SUCCESSIONE DI FUNZIONE

CONVERGENZA PUNTUALE

Data la successione di funzioni f_n(x).Sia x ∈ [0;+∞]

x=0 → f_m(x)=0x>0 → lim x=0La funzione limite è:f(x)=0 x∈[0;+∞]

CONVERGENZA UNIFORME

Consideriamo la quantità:|f_m(x)-f(x)| = ...
Dobbiamo determinare l'estremo superiore.|f_m(x)-f(x)| = supx∈[0;+∞]
Verifichiamo che essa sia derivabile.
Vediamo se esistono massimo assoluto, derivando:f'_m(x) = ...
Sostituire il valore x_max nelle f_m(x).
Facciamo il limite:lim sup |f_m(x)-f(x)| = ...

ESERCIZIO-ESERCIZIO

f_m(x) = ^mx+1/_mx²+1 x∈[0;+∞]

Convergenza puntuale
per x=0 f_m(0)=1
per x>0 lim ... la succ. converge puntualmente a 1

La funzione limite è:

f(x) = 1 ∀ x ∈ [0; +∞)

Convergenza uniforme

sup [0;+∞] |fₙ(x) - f(x)| = sup [0;+∞] |mx+1/nx²+1 -1| = sup [0;+∞] mx+1-nx²+1/nx²+1 = sup [0;+∞] mx(1-x)/nx²+1

Studiamo il segno della derivata:

g'ₙ(x) = mn-2mx/2nx = 1-2x/2xn > 0 1-2x > 0 x ≤ 1/2n > 0 2x > 0 x > 0

x = 1/2 max assoluto

sup [0;+∞] mx(1-x)/nx²+1 = gₙ(1/2) = m·1/2(1-1/2) = m/4/m·1/4+1/n = m/n+m+4 = m/m+4 lim [n → +∞] sup [0;+∞] |fₙ(x) - f(x)| = lim [n → +∞] m/n+m+4 = 1 ≠ 0

Si ha che la successione fₙ(x) non converge uniform!

1) SERIE DI FUNZIONE

applichiamo uno dei criteri per cui (scritta la x) troviamo il nostro _p.
Studiamo cosa succede in quell'intervallo, sostituendo la _x degli estremi, in modo tale da sapere la convergenza.

ESERCIZIO – ESEMPIO

^+∞Σ _m=0 ^{x^m} _(m+1)2^m

applichiamo d'Alembert:

lim_n-->+∞ ¹ _(m+2)2^x2

= \rho _{= 2}

quindi per il f. di convergenza della serie di potenze, la serie converge puntualmente in: (-2; 2)

Studio negli estremi dell'intervallo.

per x = 2, la serie diventa:

^+∞Σ _m=0 ^{2^m} _(m+1)2^m = ^+∞Σ _m=0¹_m+1

per il t. del confronto, per cui:

⁺¹_m+1 _{(serie di Mengoli)} --> converge

lim _M-->+∞¹_M+1= 0

(condizione necessaria per la convergenza)

La serie ^+∞Σ _m=1¹_m+1converge. Analogamente, si verifica per x = -2.

Quindi, la serie di potenze data converge uniformemente e puntuale in [-2;2]

1) SERIE DI FOURIER

f(x) = _a₀/₂ + Σ_^+∞m=1 [a_mcos(mx) + b_msen(mx)]

PERIODO T=2π
- a₀ = 1/π ∫_-π^π f(x)dx
- a_n = 1/π ∫_-π^π f(x)cos(mx)dx m>0
- b_m = 1/π ∫_-π^π f(x)sen(mx)dx m>1
PERIODO T≠2π
- a₀ = 2/T ∫_-T/2^T/2 f(x)dx
- a_n = 2/T ∫_-T/2^T/2 f(x)cos((2πm/T)x)dx
- b_m = 2/T ∫_-T/2^T/2 f(x)sen((2πm/T)x)dx

f(x) = _a₀

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