Esercizi, Metodi Matematici per l'ingegneria 2

1) SUCCESSIONE DI FUNZIONE

• CONVERGENZA PUNTUALE

Data la successione di funzioni f_m(x).

Sia x ∈ [0;+∞[

• x = 0
• x > 0

La funzione limite è:

f(x) = 0 x ∈ [0;+∞[

• CONVERGENZA UNIFORME

• Consideriamo la quantità:

|f_m(x) - f(x)| = ...

• Dobbiamo determinare l’estremo superiore.

sup |f_m(x) - f(x)|

x ∈ [0;+∞[

• Verifichiamo che essa sia derivabile.
• Vediamo se esistono massimo assoluto, derivando.

f_m(x)      _{e trovando i valori per cui si annulla.}

• Sostituire il valore X_max nelle f_m(x).
• Facciamo il limite:

lim  sup |f_m(x) - f(x)|    = lim f_m(X_max)   ≠ 0

m→+∞                  m→+∞

ESERCIZIO - ESEMPIO

f_m(x) = ^mx+1   x ∈ [0;+∞[

        m x²+1

• convergenza puntuale

per x = 0       f_m(0) = 1

per x > 0       lim ^mx+1 = 1

        m→+∞        m x²+1

La funzione limite è:

f(x) = 1 ∀ x∈[0,+∞)

Convergenza uniforme

sup_[0;+∞)|f_n(x) - f(x)| = sup_[0;+∞) ^mx+1/_mx²+1 - 1 = sup_[0;+∞) ^mx(x-1)/_mx²+1

Studiamo il segno della derivata

g_m(x) = ^m-2mx/_mx²+1 = ^1-2x/_2x

N>0 1-2x>0 x^≤1/2

D>0 2x>0 x>0

x=1/2 max assoluto

sup_[0;+∞) mx(x-1)/ (mx²+1) = g_m(1/2) = ^{m⋅1/2⋅(1-1/2)}/_m/4+1 = ^m/4/_m+1/4 = ^m/_m+4

lim_n^→+∞ sup_[0;+∞)|f_n(x) - f(x)| = lim_n^→+∞ ^m/_m+4 = 1 ≠ 0

Si ha che la successione f_n(x) non converge uniform!

3) FUNZIONI IMPLICITE

del

TEOREMA DINI

Sia A aperto di R² sia g: A→R una funzione C¹(A), cioè derivabile con continuità su A. Consideriamo un punto (x₀, y₀)∈(A), e supponiamo che _{gy(x0, y0)}≠0

Allora, esistono due intervalli reali I, J tali che contengono rispettivamente x₀, y₀ ed esiste un'unica funzione y(x): I ⟶ J y(x)∈C¹(I) tale che risulti y(x₀) = y₀,^y'(x₀)=-(^{g_x (x₀, y₀)}/_{gy(x0, y0)}) e tale che ∀x∈I, ∀y∈J risulti: g(x,y) = 0   (⇔)   y = y(x).

Significa:

Una curva definita in modo implicito, ossia tramite un luogo di zeri g(x,y)=0, ammette localmente una rappresentazione esplicita (cioè come funzione y=f(x)).

ESERCIZIO - ESEMPIO

testo

Sia f(x,y) = y⁵ - x⁶ Dire se in un intorno del punto (1, 1) la curva f(x,y) = 0 può essere descritta come grafico di funzione f(y)=f(x). In caso affermativo calcolate y(1) e y'(1), calcolare la retta tangente a y=f(x) in (1,1).

• Verificare che soddisfa Dini: g_y(1, 1)=0 g_y^'(1, 1)=5≠0
• Calcolare la derivata prima: y^'(1)= -(⁵/₆)
• La derivata seconda la calcoliamo, osservando

2) MAX E MIN 2 VARIABILI

D ⊂ ℝ² è un insieme compatto.

• Le teoreme di Weierstrass garantisce l'esistenza di estremanti assoluti se f è continua.

• Si lavora sull'interno di D (Int(D) = D ∂D), vale a dire: non D senza la frontiera ∂D.
• Si utilizza il metodo della Hessiana.

• Comportamento alla frontiera, cioè vedere il comportamento della funzione su ∂D: nel 99% ∂D è una curva nel piano e rettangolare, salvo un insieme di curve
  1. C₁ = C₁(u) (u ∈ I₁)
  2. ...
  3. C_m = C_m(u) (u ∈ I_m)
• Ricaviamo una parametrizzazione per ciascuna di tali curve:

• C_i: y = g_i(x) con x ∈ I_i ⊂ ℝ

e restringiamo la funzione z = f(x, y) su ciascuna di tali curve.

z = f(x, g_i(x)) : I → ℝ

In questo modo otteniamo le funzioni di una sola variabile, una per ciascuna delle funzioni che definiscono la frontiera di D.

• Studiamo i MAX e i MIN di ognuna delle m funzioni ristrette f(x, g_i(x)). Prendiamo uno e chiamiamolo x₀. Ricaviamo la corrispondente ordinata y e poi facciamo valutazioni delle funzioni di parametrizzazione.

y₀ = g_i(x₀)

I "candidati" punti di massimo e minimo per la funzione a 2 variabili: z = f(x, y) saranno proprio i punti (x₀, y₀). Avremo, così:

• i punti calcolati
• i candidati punti calcolati poco fa

Valutiamo z = f(x, y) in corrispondenza dei punti (x_i, y_i) trovati nei due metodi.

• Al valore maggiore di f → MAX ASS.
• Al valore minore di f → MIN ASS.

le vincolo è ... insieme chiuso e limitato che rappresenta ...ellisse (x, y) con centro (0, 0) la disequazione rappresenta ...ellisse e la sua parte interna. Inoltre, la funzione è continua in esse per il T.di Weierstass ci ... estremi, quindi il max e i min assoluti.

• troviamo gli estremi liberi nella parte interna.

Int(V) = {(x, y) ∈ R²: x² + 2y² − 1 ≤ 0}

con il metodo gradiente

soluzione (0,0)

L’Hessiana valutata.

• Sulla frontiera

Frontiera (V) = {(x, y): x² + 2y² = 0} e costruisco la Lagrangiana

L(x,y, λ) = x - y - λ(x² + 2y² − 1)

I sistemi sono:

soluzioni:

• Scegliamo lo componente λ

È fondamentale saper interpretare geometricamente il vincolo.

CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA DIFFERENZIABILITÀ

TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE

Se abbiamo una funzione f(x,y) definita in un intorno aperto A ⊂ R², e essa ammette derivate parziali prime intorno di (x₀,y₀) contenuto in A, che sono continue nel punto (x₀,y₀), allora f(x,y) è differenziabile in (x₀,y₀).

(Vale per funzioni “normali”).

ESEMPIO

f(x,y) = x² sen(y) in (0,0).

• Derivate prime parziali:
  • fₓ(x,y) = 2x sen(y)
  • fᵧ(x,y) = x² cos(y)
• Entrambe sono continue in (0,0); quindi per il t. del differenziale totale, la f(x,y) è differenziabile nel punto (0,0).

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DIFFERENZIABILITÀ

Ricordiamo che:

hₓ = x - x₀ k = y - y₀

⟹ f(x,y) = f(x₀,y₀) + fₓ(x₀,y₀)(x-x₀) + fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀) + o(√(x-x₀)² + (y-y₀)²)

L’equazione:

z = f(x₀,y₀) + fₓ(x₀,y₀)(x-x₀) + fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀)

definisce il piano tangente al grafico della funzione di f(x,y) nel punto (x₀,y₀).

ESEMPIO

l(x,y) = x² + y² le cui derivate parziali sono:

• fₓ(x,y) = 2x
• fᵧ(x,y) = 2y

L’eq. del piano tangente nel punto (0,1,1) è:

z = f(0,1) + fₓ(0,1)(x-0) + fᵧ(0,1)(y-1)

e sostituendo i numeri:

z = 1 + 2y - 2 ⟹ z = 2y - 1