Appunti teoria tecnica delle costruzioni (acciaio e calcestruzzo)

EQ. DEI 3 MOMENTI

Uno dei primi metodi per la risoluzione di travi continue, storicamente.

Assegnato la convenzione sui segni per momenti e rotazioni: la tesa fibre sotto.

Segue il metodo delle forze: tra le m sol equilibrata, scagli l'unica componente.

Poniamo condizione di congruenza:

ψ'_b = θ ψ"_A

ψ_A = ψ_a(m_a; m_b; F) → ψ_A = (m_al / 3EI) + (m_bl / 6EI) + ψ_A(F)

ψ_B - ψ_B(m_a; m_b; F) → ψ_B = (m_al / 6EI) + (m_bl / 3EI) + ψ_B(F)

Caso specifico: Trave doppiamente incostato, le rotazioni agli estremi sono nulle, i momenti agli incosti perf sono noti.

0 = (M_Al / 3EI) + (M_Bl / 6EI) + ψ_A(F)

0 = (M_Al / 6EI) + (M_Bl / 3EI) + ψ_B(F)

EQ. DEI 3 MOMENTI

uno dei primi metodi per la risoluzione di trav. continue, storicamente

assegnato la convenzione sui segni:

per momenti e rotazioni

Segue il metodo delle forze: tutte le v.a sol equilibrato

scelgo è l'unico componente

PONIAMO CONDIZIONE DI CONGRUENZA:

_Ψb' = ⊙_ΨA''

_ΨA = _ΨA(m_a;m_B;F) → _ΨA ^m_al/_3EI + ^m_Bl/_6EI + _ΨA(F)

_ΨB - _ΨB(m_a;m_B;F) → _ΨB ^m_al/_6EI + ^m_Bl/_3EI + _ΨB(F)

caso specifico: trave doppiamente incastrata

le rotazioni: gli estremi sono nulli

i momenti: gli incastri perf sono noti

0 = ^m_Al/_3EI + ^m_Bl/_6EI + _ΨA(F)

0 = ^m_Al/_6EI + ^m_Bl/_3EI + _ΨB(F)

abbiamo quindi:

ψ_A(F) = -(^μ_Al/_3EI + ^μ_Bl/_6EI)

ψ_B(F) = -(^μ_Al/_6EI + ^μ_Bl/_3EI)

sostituendo nelle eq. iniziali di:

ψ_A = ^m_Al/_3EI + ^m_Bl/_6EI - (^μ_Al/_3EI + ^μ_Bl/_6EI) = ^l/_6EI(2m_A + m_B) - ^l/_6EI(2μ_A + μ_B)

ψ_B = ^m_Al/_6EI + ^m_Bl/_3EI - (^μ_Al/_6EI + ^μ_Bl/_3EI) = ^l/_6EI(m_A + 2m_B) - ^l/_6EI(μ_A + 2μ_B)

dell'equazione di congruenza

otteniamo :

^l'/_6EI(m_A" + 2m_B") + ^l"/_6EI(2m_A" + m_B") = ^l'/_6EI(μ_A" + 2μ_B") + ^l"/_6EI(2μ_A" + μ_B")

ANALOGIA DI MOHR

L'equazione della linea elastica

EI y" = EI d²y/dz² = - M(z)

Crea un legame tra spostamento e momento applicato

d²y/dz² = -M(z)/EI

Mohr cerca una soluzione fisica a questo problema matematicamente complesso

Così come è noto che d²M(z)/dz² = - p(z) ed è possibile risolverlo tramite un modello fisico (al posto di eq differenziali)

Mohr approccia così il problema

Si ipotizza un trave ausiliare caricato con il diagramma dei momenti flettenti della trave reale

M/EI = ρ* = FL/8EI

Nella trave ausiliaria i vincoli sono la rappresentazione fisica delle C.C.

- cerniera → cerniera

- incastro → libero

- libero → incastro

CLASSI DI RESISTENZA

le sezioni trasversali degli elementi strutturali si classificano in base alla loro capacità rotazionale

C_r = _{θr - 1 con θr rotazione al raggiungimento della deformaz. ultima}

θ_y rotaz. al raggiungimento dello snervamento

la classificazione è in funzione della capacità di deformarsi in campo plastico, e sono presenti queste classi di sezioni:

• CLASSE 1 C_r ≥ 3 duttili M_R ⇒ M_pl
• CLASSE 2 C_r ≥ 1,5 compatte M_R ⇒ M_pl
• CLASSE 3 semi-compatte M_R ⇒ M_y non posso contare sul campo plastico
• CLASSE