Appunti teoria tecnica delle costruzioni (acciaio e calcestruzzo)

EQ. DEI 3 MOMENTI

uno dei primi metodi per la risoluzione di travi continue, storicamente

assegnata la convenzione sui segni:

per momenti e rotazioni recente fibra sotto

Segue il metodo delle forze: tra le sole equilibroto scape è l’unica composta

poniamo condizione di congruenza:

_^ψ₉^ꝏ = _Θ^ψₐת

ψ_A = ψₐ(m_a; m_b; F)

ψ_A^ψ_{A ml} ^3EI+ _{mb l} ^6EI + ψ_A(F)

ψ_B = ψ_{B(ma, mb; F)}

ψ_B^m _ml^6EI + ^{m_sl3EI + ψ_B(F)}

caso specifico: trave doppiamente incastrato

le rotazioni agli estremi sono nulle

i momenti agli incastri però sono noti

• 0 = VA3EI + VB 6EI + ψA(F)
• 0 = VAl 6EI + VBl 3EI + ψB(F)

abbiamo quindi:

φ_A(F) = -(µ_Aℓ/3EJ + µ_Bℓ/6EJ)

φ_B(F) = -(µ_Aℓ/6EJ + µ_Bℓ/3EJ)

sostituendo nella eq integrali di:

φ_A = m_Aℓ/3EJ + m_Bℓ/6EJ - (µ_Aℓ/3EJ + µ_Bℓ/6EJ) = ℓ/6EJ (2m_A + m_B) - ℓ/6EJ (2µ_A + µ_B)

φ_B = m_Aℓ/6EJ + m_Bℓ/3EJ - (µ_Aℓ/6EJ + µ_Bℓ/3EJ) = ℓ/6EJ (m_A + 2m_B) - ℓ/6EJ (µ_A + 2µ_B)

dell’equazione di congruenza

φ_B' = -φ_A''

otteniamo:

ℓ'/6EJ (m_A' + 2m_B') + ℓ''/6EJ (2m_A'' + m_B'')= ℓ'/6EJ (µ_A' + 2µ_B') + ℓ''/6EJ (2µ_A'' + µ_B'')

Modalità di Collasso delle Bullonature

• Tranciamento della vite/bullone

  È una rottura per taglio lungo le sezioni sollecitate. Si può aumentare il diametro per evitarlo.

• Rottura per trazione della lamiera

  I punti critici sono in corrispondenza dei fori poiché si ha una sezione ridotta.

• Rottura per strappo della lamiera

  Poiché è presente troppo poco materiale.

• Rifollamento delle lamiere lungo la semicirconferenza del foro

  Il perno "fora" la lamiera ed il foro si allunga (modello che fa rif. a volute semi empiriche).

Hp semplificative

• materiale perfettamente elastico lineare
• asta perfettamente rettilinea
• sezione uniforme
• vincoli perfetti
• carico perfettamente centrato
• asta rigida (non dep.) a taglio

(interno) MOMENTO RESISTENTE: -EIy''

(esterno) MOMENTO AGENTE: Py

EIy'' + Py = 0

y'' + ^P⁄_EI y = 0

y'' + α²y = 0

y = A cos αx + B sin αx

c.c. per x = 0 y = 0

A cos 0 + B sin 0 = 0 ⟹ A = 0

per x = l y = 0

B sin αl = 0

• B = 0 ⟹ SOLUZIONE BANALE!
• sin αl = 0
• ett ]omb

Nelle aste posso devo considerare un'eccentricità iniziale, un momento che poi incrementerà per il carico e per la flessione dell'asta.

Nella deformata l'eccentricità è: l_o + y

G = (N/A) + (M_y/I) → G_{max min} = N/A ± M/W

Si tratta di un PROBLEMA PROGRESSIVO perché parto da un'eccentricità lo ed aggiungendo un carico aumento di y l'eccentricità.

Nel caso dell'asta compressa

Pcrit = π² E I/l²

Py + EIy'' = 0 → P(y+l_o) + EIy'' = 0

M_xo sinβ = (M_xo tg β = ^δu/_∂z)

vettore scomposto

⊥ e ⊥ a config. variata

Momento Torcente

• (al variare dell'ordinata)

Quando la sezione abbandona ed esce dal piano

M_xef

M_xo simφ ≃ M_xoφ per piccoli angoli

• momento flettente nel piano debole

Configurazione Iniziale

M_xo = -El_x v″

Configurazione Variata

• flessione nel piano forte
• M_yo - M_xoφ - El_y u″
• non presente
• flessione nel piano debole
• torsione
• M_z = M_xo ^δu/_∂z = GI_z ^θl/_∂z

È impossibile che i pilastri siano soggetti a pressione semplice;

la norma ci obbliga a considerare un’eccentricità e:

N_ed

M_ed = N_ed • e ⇒ e = M / N

la verifica è: M_rd (N) ≥ M_ed

è anche noto che C+C'_-T = N_ed → possiamo

individuare AN

Se si devono verificare molti pilastri soggetti a diversi

N ed M ma con stessa sezione-armatura si può

tracciare un DOMINIO DI RESISTENZA ALLO SLU

simmetrico rispetto all’

asse N

caso della ROTTURA BILANCIATA

Tutti i punti su una retta

passante per l’origine hanno

stesso rapporto N / H = cost

All'interno di

questo dominio

ogni punto di

coordinate M,N è

in condizione di

sollecitazione

verificata

• l'EFFETTO ARCO

se la trave è “corta” si può immaginare la formazione di un arco compresso interno che ha le spalle sugli appoggi; l'armatura funge da CATENA per equilibrare lo sforzo di trazione.

si può considerare “corta” una trave quando

a ≤ 2,5 h [l di più = 5h]

Per travi più lunghe l'arco al centro si appiattisce e non aiuta più a sopportare le azioni; taglio portato dal cls non fessurato (parte alta trave)

L'insieme di tutti questi effetti, che non intervengono contemporaneamente sulla trave (si sommano comunque) è considerato dalle norme tramite una formula semiempirica (risultato di prove sperimentali).

TAGLIO TRAZIONE - V_Rsd

n* = ^{z (cotgθ + cotgα)}/_s

questo elemento teso simula la presenza di tutte le aste di parete tese presenti in un campo di questo modello [n*]

Quindi T_Rd = n* · A_sw · f_yd

[2 barre sui 2 lati della trave (2 bracci verticali)]

V_Rsd = T_Rd · sinα = z ^A_sw/_s f_yd (cotgθ + cotgα) sinα

è la componente verticale della trazione che trovo

Per θ piccolo → meglio T_Rd perché aumentano n* nella componente, per V_Rcd mi si riduce, e parità di T_Rd, la componente verticale (si riduce l'area della bieilina)