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THEORY AND STABILITY OF STR.
prof. Raffaele Ardito, Antonio Capsonia.a. 2018/2019133 paginevoto : 30Civil Engineering
POLITECNICO MILANO 1863
PIRRO' MARCO
DSV PROBLEM
- non ci sono forze di volume ne sulla superficie laterale
- uno solo sulle estremità e sono equilibrate (inoltre vale il principio di equivalenza statica)
- piccoli spostamenti / def.
- no effetti elasto-visci o termici
- sistema di riferimento principale e centrato sul baricentro
- Ixy = 0
- xy = 0
- δx = yy = 0
- δx = x = 0
N(z) = No = cost
Tx(z) = To = cost
My(z) = -2 Tx + Mo
Vt(z) = To = cost
Mc(z) = Mo = cost
APPROCCIO AGLI SPOSTAMENTI
Assum:
- - () = β
- ₓ = - ()
- ᵧ = ()
- = ′()ψc(,) - βψc(,)
dove β = cost = twist (notazione relative tra 2 sezioni adiacenti cioè a distanza = Δ )
e β0 = 1/
mentre ψc(,) = funzione di ingobbamento dipendente dalla geometria della sezione A.
[ψc] = 2
Questa, campo di spostamenti e componenti per potenze cioè
- εₓ = εᵧ = ε = 0
- δᵧ = 0
- δ = -β + βᵧc,x
- δᵧ = +β + βᵧc,y
Ora per avere anche l'equilibrio in A e M dobbiamo scrivere le equazioni :
A: ψ, + ψ, = Δψ, = 0
M: ( -γᵧ + ψ,,)ₓ + (x + ψ,)ᵧ = 0
dn ψ = γₓ - ᵧ
Δψc = 0
dn ψc = γ - ᵧ => ψ uni parametro a equilibrio ( se la soluzione)
NEUMANN =
Se la serie ∑
converge allora la soluzione è esatta, altrimenti posso prendere i soli commenti (introducendo quindi un’approssimazione).
ME
calcolare x2, y2 da f(x1) e scopro che σmax si ha nei punti medi dei lati lunghi.
Infine si ha:
β = 1/B ⋅ ME/6b2B σmax = 1/A ME/b2
dove A e B dipendono da b/l0
in particolare se b/l0 → ∞ (Hen mechanism)
allora σmax → 3M1/b2
β → 3ME/6b2B
vedremo che saranno
valori che si fanno
rilevando in Hen mechanism
con l’approccio degli spmür
Infine per calcolare x2, y2 derivo ϕ.
Infine computo ψ0 tramite l’approccio agli spostamenti
(xxx, yyz sono not an!)
ψ0 = |1/B| (XY - ∑...)
⇒ 0 se b/b →∞
Soddisfendo le competenze:
Leggere parte sifonni:
HE = ∫A x φz - y φx dΩ
= ∫A x φx - y φy dΩ
= ∫A 2φ + ∫Γi [ξ/Γ (xnx + yny)] dΓi
= ∫A 2φ + ∫Γi ki 2Ai;
Ki mancono delle perazioni PV
Le = HT β = ∫ φ β + 2 ∑ ki βAi
Li =
∫A (φx δφx + γx φxt) dA
= - ∫A (φ δφx + φ δφyt) dA
= - (φ δφxt + φ δφyt) Ai + ∑(φ ) ki (xxn - φyn xn) β(Γi)
(e)
φyxx - φxxy = 2β im A (κ ΔΩ = -2ξβ)
(x) / φxxs - / φti = Gdas - 2βAi ∀ an M, N
(*r) {si rappresenta la continuità tra lo spostamento dovuto a deformazione dopo che fatto in plano atomo e che lo spostamento dovuto alle rotazione. Si può risolvere in questo modo:
Fyxxs - φφxt Ta
Fyxxs fixy Fxn = Γfxn φ φ γi = 2Aβ
quindi, il mio problema finale sarà:
Δφ = - 2cβ - m
Φ + = 0 orri φx ci φt
φ γfB fin = 2AB
DRICHET
PROBLEM
q(s) = q2 - ∫A2 σ12 dA
= q2 - ∫A2 [yIyx + xPyIy] dA
= q1 + q(s) ↩ (JOURAWSKY FLUX)
q(s) rappresenta il flusso che si avrebbe dal Jourawski method se conduremi la sezione aperto nel punto in cui ho immaginato l'apertura
Selezioniamo Ao:
qo + q' = q(s) = qp
q1, q2, q(s) = q2 + p
Amo cerchiamo i valori q2 e q2 usando il legame già fatto:
∮ (k(Tx) - y(Tx)) dA = ∮ qsp ds
= 2q1Ω1 + 2q1Ω2 + ∮ q(s) ds
Ora tramite le compatibilità operturs date dal PLV abbiamo:
∮i2 q(s)/b(ds) ds = 2ΩiβG
coso:
∮ q4 + b(ds) + ∮ q'(s')/b(s) = ∫i1∮ q2/b(s) = 2ΩtβG
∮ 2qo/b(s) + ∮2 q(s')/b(s) = 2Ω2βG
Ex
Block = t
Consideriamo due fasi:
- No external constraints: ottenere DSV
- External constraints (incastro): ottenere wv
θ(z) = βz2
Sf = βVc
vista dall'alto:
vista frontale:
Sp = θ(z) sin [β(z)2] = θ(z)2L2
HPe = EIp θ''(z) = 0
Ep = t2tb3
SE = β Vc
SP = θ(z)1b2
Mp = ∫EIp θ''(z)
Vf = dH2
-E Ip θIII(z)
θ'(z) ≠ cos t
Mp + EIp ∫θ' (z)
- E Ip θIII(z)
Σ Mt = E M∫OE θ'(z) = 2 (Mp· E2
-M p· L
B = -∫Mt
eco-celer
Semble il nostro pensato se La colonna è come porta.
Osservazione: Possiamo ottenere le eq. di freni / intestazioni direttamente su un dz:
Tx,z = -ρₓ
Mvy,z + Tx,zdz + wy = 0
da cui My,z,z = -wy + ρₓ
Inoltre l'equazione della tensione:
B' = me - b' = Eηθ' - me - b'
Byo,visto
Boundary Conditions:
Abbiamo 4 incognite (N, Mx, My, B) e 4 ODE (decouple).
Abbiamo 7 possibile BC per estremità (14 in totale):
- δu = 0 on My = my + Tₓ
- δu' = 0 on My,z = m
- δv = 0 on Mx = mx + Ty
- δv' = 0 on Mx = m
- δw = 0 on N = N
- δB' = 0 on B = Mₓ
- δB = 0 on B = B
Posso avere anche dei tagli applicati esternamente p anche se nel lavoro interno non sono esplicitamente descritti (perché non c'è definizione togliete con un fine del lavoro). Ciò non toglie che il taglio sia presente così come vale per il momento tangente.
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