Appunti Teoria di strutture

ESEMPIO

Consideriamo la seguente struttura isostatica di cui si vuole determinare il moltiplicatore

di carico di collasso. Il collasso si ha quando nella struttura si formerà una cerniera

plastica che chiaramente sarà localizzata all’incastro in quanto è il punto in cui ho sia

sforzo normale che momento massimo.

L’idea con la quale si vuole procedere è quella di andare dapprima a non considerare il

contributo dato dallo sforzo normale alla formazione della cerniera plastica e

successivamente considerarlo:

Caso in cui non si considera l’effetto di N:

λ definito come il valore del moltiplicatore di carico di collasso, sarà ricavato da semplici considerazioni di

0

equilibrio: M 0

λ F e = M → λ =

0 0 0 F e

λ

Quindi rappresenta il moltiplicatore di carico di collasso nel in cui la formazione della cerniera plastica è

0

dovuta solamente al momento flettente.

Caso in cui si considera anche gli effetti dello sforzo normale N:

si avrà il collasso quando la coppia (N, M) appartiene al bordo del dominio di ammissibilità. Quindi deve

accadere: 2

λ F

1

λ F ∙ e = M (1 − ( ) )

1 0 N

0

λ

Dove indica il moltiplicatore che di collasso che si ottiene tenendo di M+N.

1 F 12 2

a = λ = λ (1 − λ a ).

Indico con: e ricavo: 1 0

N 0 λ

Quindi per trovare il moltiplicatore di collasso si dovrà risolvere la seguente equazione di 2° grado:

1 12 2

λ − λ + λ λ a = 0

1 0 0

λ λ

Si determina in funzione di :

1 0 2 2

√1

−1 + + 4λ a

0

λ =

1 2

2λ a

0

La soluzione con il – non è stata scritta in quanto il moltiplicatore di collasso non può essere negativo.

2λ F λ F

0 0

b = 2λ a → b = → b = 2 M

Si indica con 0 0

N Fe N

0 0

2

−1+√1+b

λ λ =

Si può scrivere come:

1 1 ab 2

b 2

2

b √1 + b = 1 + + o(b ) …

Se è piccolo, vale lo sviluppo in serie di Taylor: arrestato al secondo ordine.

2

Quindi si ottiene: 2

b

−1 + (1 + ) 2

b 2λ a

2 0

λ = = = = λ

1 0

ab 2ab 2a

λ = λ

Cioè si ottiene che .

1 0 λ = λ

Quindi se posso troncare al primo ordine il termine sotto la radice si ottiene , questo implica che

1 0

λ λ

non effettuando l’ipotesi di “b è piccolo” sarà poco più piccolo di .

1 0

Quindi in generale, si osserva che soltanto nei casi in cui sulla trave ho un N che è molto consistente

N M

rispetto a (in generale questo non si verifica perché M si muove più rapidamente verso piuttosto che

0 0

N

N verso ) si avrà una grossa riduzione del moltiplicatore di collasso se si considera anche l’effetto dovuto

0

alla forza normale.

In tutti gli altri casi, si può trascurare l’effetto della forza normale nella formazione della cerniera plastica.

ESEMPIO

Consideriamo la seguente struttura: portale simmetrico con carico

2λF

pari a applicato in prossimità dell’asse di simmetria.

Facciamo l’ipotesi che i piedritti e la trave abbiamo la stessa

sezione e lo stesso materiale, quindi hanno gli stessi valori di

resistenza sia in termini di N che di M.

Studiamo la struttura sfruttando la simmetria:

Analizziamo il caso in cui non si considera l’effetto di N nella formazione della

cerniera plastica: come si evince dalla struttura riporta in figura, si ottiene un

problema una volta iperstatico, quindi per rendere la struttura labile si deve

annullare due gradi di vincolo, cioè dovranno nascere due cerniere plastiche.

Sapendo che il diagramma del Momento Flettente e dello Sforzo normale sono

caratterizzati dall’andamento rappresentato di fianco, le cerniere plastiche si

formeranno in prossimità del bi-pendolo e in prossimità del nodo tra piedritto

e trave. Riguardo quest’ultima cerniera, essa si potrà formare in maniera

equivalente sulla trave o sul piedritto essendo M costante nel nodo ed

essendo i due elementi caratterizzati dalla stessa resistenza.

Il meccanismo che si formerà è il seguente

e il moltiplicatore di collasso, non

considerando N, si ricava direttamente

dall’equilibrio e vale: 2M 0

λ Fl = 2M → λ =

0 0 0 FL

Se considero l’effetto dovuto allo sforzo normale, si potranno avere più meccanismi e in particolare, non si

sa se la cerniera plastica si forma nel nodo lato trave o lato piedritto in quanto dipende da quale coppia

(, ) Ω.

relativa ai due elementi arriva per prima sul bordo del dominio di ammissibilità

Quindi, come si osserva dalla figura, se la cerniera plastica si forma lato

(S, M ),

trave, ad essa sarà associata una coppia ultima pari a che

2

corrisponderà anche alla coppia di sollecitazioni per le quali si è formata la

(S, )

M ∈ ∂Ω,

cerniera plastica in prossimità del bi-pendolo: cioè si avrà

1

M = M .

1 2

Viceversa, se la cerniera plastica si forma lato piedritto, ad essa sarà

(λF, )

(λF, M ): M ∈ ∂Ω.

associata una coppia ultima pari a 2 2

Quindi si possono avere due possibili meccanismi, dati da:

Formazione di cerniere plastiche tutte e due lato trave:

(S, )

M ∈ ∂Ω in bipendolo

1

(S, )

M = M ∈ ∂Ω in nodo lato trave

2 1

Formazione di cerniera plastica su bi-pendolo + formazione di cerniera

plastica in nodo lato pilastro:

(S, )

M ∈ ∂Ω in bipendolo

1

(λF, )

M ∈ ∂Ω in nodo lato pilastro

2

In generale, la differenza che c’è tra affrontare un problema considerando anche N nella formazione della

cerniera plastica oppure considerare solo M, è la seguente: λ

Se considero solo M, non ho bisogno di calcolare le reazioni vincolari, cioè si può trovare semplicemente

0

mediante il PLV in prossimità dell’unico meccanismo possibile della struttura, quindi moltiplicatore di carico

λ λ

cinematicamente ammissibile è proprio il moltiplicatore di collasso

k 0

2M 2M

0 0

λ = → λ =

k 0

FL FL

Se considero anche N devo calcolare le reazioni vincolari. Questo perché devo capire se la cerniera plastica

mi si forma lato piedritto o lato trave. Quindi facendo riferimento al

nostro esercizio, si deve determinare le reazioni vincolari come

segue: M + M = λFL

1 2

{ M = SL

2

M , M , λ, S.

dove le incognite sono: 1 2

Inoltre, sapendo che in prossimità del bi-pendolo si forma sicuramente una cerniera plastica vale:

(S, )

M ∈ ∂Ω in bipendolo, quindi si può scrivere la seguente relazione:

1 2

S

M = M (1 − ( ) )

1 0 N

0

Analogamente tale relazione può essere scritta sia nel caso in cui la cerniera si formi nel nodo lato pilastro,

sia che si formi nel nodo lato trave. Quindi per entrambi i meccanismi, la determinazione delle reazioni

vincolari, prevede di andare a risolvere un sistema di 4 equazioni in 4 incognite.

Se dovessimo fare una ipotesi, la cerniera plastica si forma sul nodo lato trave o sul nodo lato pilastro?

Per capirlo è utile disegnare la traccia (o l’immagine) delle caratteristiche delle sollecitazioni nel dominio di

ammissibilità (supposto simmetrico ipotizzando una sezione doppiamente simmetrica).

Facendo riferimento al nostro esempio:

λ = 0: M = 0 , N = 0;

Per λ λ

Per >0, indicando il moltiplicatore con :

1 λF,

per quanto riguarda il pilastro si avrà una certa forza normale costante negativa (compressione) e si

avrà che M sarà nullo nella cerniera e poi varia in funzione della spinta S fino ad arrivare ad . Quindi

2

l’immagine di (N, M) sarà quella mostrata in grafico in azzurro.

M

Nella trave si avrà sempre però la forza

2

λF,

normale sarà pari a S non più quindi devo

capire il valore di tale spinta: se fosse più

piccola, si ottiene il seguente andamento della

coppia (N, M) sulla trave fino a raggiungere

, S).

(M

1 λ

Se questa fosse la situazione, all’aumentare di

il grafico trasla verso sinistra perché aumenta sia

λF M M

che S e allo stesso tempo crescono e .

1 2

La formazione di cerniere plastiche si avrà

quando le coppie (N, M) toccano il bordo del dominio di ammissibilità. λF.

Una situazione differente si sarebbe avuta se la spinta S fosse stata maggiore Anche in questo caso la

formazione delle cerniere plastiche si ha quando le coppie (N, M) toccano il dominio di ammissibilità: in

questa situazione la cerniera plastica si formerà sul nodo lato trave.

Quindi osserviamo che anche in un problema abbastanza semplice, se si considera la formazione della

cerniera plastica anche dovuta a N, si hanno delle complicazioni dal punto di vista dei calcoli poiché si

devono determinare le reazioni vincolari.

21/11/2020

CALCOLO DEL CARICO DI COLLASSO DI ALCUNE STRUTTURE

ESEMPIO 2l

Si considera una trave di lunghezza incernierata da un lato e sorretta da due tiranti (bielle), caratterizzata

q.

da un carico uniformemente distribuito Le bielle sono caratterizzata

N M

da resistenza . La trave è caratterizzata da resistenza .

0 0

Le resistenze vengono messe in relazione dalla seguente ipotesi:

N l

0

M =

0 4

Obbiettivo: determinazione del moltiplicatore di carico di collasso.

In questa particolare struttura, il problema del calcolare N e M sono

disaccoppiati, cioè:

Sulla trave agisce solo momento flettente: quindi per la formazione della cerniera plastica si terrà

- M

conto solamente del contributo dato dal momento e la trave andrà in crisi quando M raggiunge ;

0

N

Sulle bielle agisce solo sforzo normale: quindi le bielle andranno in crisi quando N raggiunge ,

- 0

cioè il valore dello sforzo normale ultimo per il quale si ha la formazione di cerniera plastica.

λ

Ricordiamo che il moltiplicatore di carico di collasso si può determinare sia per via cinematica che per via

c

statica. Operiamo per via cinematica. Quindi si dovrà procedere nella seguente maniera:

Si determinano tutti i possibili meccanismi, annullando i gradi di vincolo della struttura per re