Appunti Teoria Analisi I per informatica

Appunti Analisi I

Sbobinatura videolezioni teoriche

(lezioni fino agli inizi degli integrali)

Insiemi

Insieme è sinonimo di classe, collezione, aggregato di oggetti, elementi dell'universo sono gli oggetti che costituiscono l'insieme e progetto.

L'insieme è relazione, verso legame.

x ∈ A ⇒ monocondizionalex ∉ Aelemento appartiene alla classe insieme ammesso

Dati 2 insiemi A e B, diciamo che A è un sottoinsieme di B, o che A è incluso in B, quando ogni elemento di A è anche elemento di B e scriviamo A ⊆ B o Б ⊇ A (inclusione o subordinazione altro elemento contenente o contenuto ⊇ 'contenuto' ⊆)

Le capita che A è incluso in B ma ÷ diversamente A = B allora A è un sottoinsieme proprio di B e scriviamo A ⊂_^B oppure б ⊆_^A).x ⊆ A ⊆ B, B ⊂⊂⊂ C, allora A ⊂ C (proprietà transitiva della relazione).

Per descrivere un insieme possiamo usare tre modi: elencare gli elementi tra parentesi e.g. A = 1, 2, 9, 7, 12. Elencare una proprietà usata per gli elementi da descrivere A = {x ∈ A | proprietà}; Diagrammi di Venn A ∪ B.

Insiemi vuoti: insiemi privi di elementi; D con P e Q, si imposta la proprietà e legare con da costruttori logici:

• negazione: non si accede la proprietà il cui contenuto è il opposto di P.
• coniugazione con P e Q: si afferma che è soddisfatto qualcosa e fermato sia P e Q.

In generale vado fino il supremi e del infimenti di insiemi numerici.

Definizione: sia X ⊂ R consideriamo X, l'insieme degli elementi ordinati. Se esistono min e max di X sono unici (problema minimo e solo max).

Definizione: un insieme X ⊂ R si dice se esistono elementi massimi M per cui M appartiene ad X e un M' tale.

X = ⊃[M', M] = inf(M') per la definizione di un insieme sopra-codificato.

Per definizione si trovano supremi e infimi degli asserzioni delle ipotesi X c.m. SE x è limite inferiore detto bordo dei operatori X con X ≤ M' per l'assunzione della minima potentente succesiva.

X = M₁ e M, il più unico. Pochettino asserzioni per finire X ≤ M.

Si possono costruire con enormi dichiarazioni. Assunzione sempre di insorsi una superiore che attraversa:

• X ⊂ Y e X elemento di A che è elemento ordinato X comunque si denota con Y ≥ X
• X ⊂ Y ≥ X ≤ X õ X- α
• La forma ci dice che occorre, è un maggiorante. La seconda c.d. dice che è il minore dei maggioranti.
• La forma superiore è il più piccola dei maggioranti.

Il massimo appartiene all’insieme, l’estremo superiore non appartiene all’insieme.

L’estremo inferiore di X e il massimo dell’insieme degli minoranti della X: M ≤ R: M = max X ≤ X ≤ X = M (∀s M&M'∃X ≤ α).

Se esiste il max X allora esiste sup X e sup X = max X.

1. Se esiste il sup X esiste il max e α sup X = sup X, smarrelli (α, β).
2. Se esiste il min X esiste inf X e inf X = min X, aperti intervalli (α, β].
3. Se esiste inf X esiste min X (X = lim f di X chiusi (α, β]).

Se prendono X ed [0,+∞) non è limitato, specificando un sup X + ∞, ma X è limitato inferiormente inf X: O.

X ⊂ [−∞,+∞) non è limitato

• [8, +∞] 8 ≤ X < ∞
• [8, -[) 8 ≤ X ≤ ∞

Definizioni preliminari

Una funzione si dice periodica se esiste un T > 0 (T periodo) per cui f(x + T) = f(x) ∀ x ∈ A. Assumendo lo stesso andamento su di un intervallo di una certa ampiezza.

• Funzioni crescenti e decrescenti

• Se godono di una di queste quattro proprietà:
• f(x̄) ≥ f(x) ∀x̄,x ∈ A, x̄ ≤ x ⟹ f(x̄) ≥ f(x)
• f strettamente crescente: f(x̄) ≤ f(x) ∀x̄,x ∈ A, x̄ ≤ x ⟹ f(x̄) ≤ f(x)
• f decrescente: se f(x̄) ≥ f(x) ∀x̄,x ∈ A, x̄ ≤ x ⟹ f(x̄) ≥ f(x)
• f strettamente decrescente: se f(x̄) ≤ f(x) ∀x̄,x ∈ A, x̄ ≤ x ⟹ f(x̄) ≤ f(x)
• (controllo orizzontale) ∀x̄,x ∈ A, |f(x̄) - f(x)| ≤ L se esiste un l con x̄ =? x ed x = 2 ⟶ f strettamente crescente
• x̄ = x/2⟶1, non ζ N se preso x1 < 3 & x̄ = x1 - 1

Funzioni costanti o uniformi: y = k ad ogni x esiste un valore k (un punto della retta parallela) all’asse x a quota k.

f(x) crescente oggettiva:

x̄

x

ȳ

1. Funzioni crescenti: i(x⟹x̄) con x ≺ x̄ deve accadere che f(x) ⟹ f(x̄), se ci accade funzione strettamente crescente

Se presentano le funzioni x⁺ per 'x' maggiore allora la funzione cresce, per le x simmetriche ⟹ la funzione decresce

La funzione tangente di α si definisce mediante il rapporto

tg α = ^{sen α}/_{cos α} con α ≠ kπ

Tangente e cotangente sono periodiche di periodo π. tg (α+π) = tg αcotg (α+π) = cotg α

Caratteri principali trigonometriche

• -1 ≤ sen α ≤ 1, -1 ≤ cos α ≤ 1 ∀ α ∈ R sono funzioni limitate il cui valore
• compreso tra -1 e 1
• 3) Se α ∈ ]-1; 1[
• 4) sen² α + cos² α = 1 (relazione fondamentale tra sen e cos)∀ α ∈ R

Formule di Addizione e Sottrazione

• sen (α+β) = sen α · cos β + cos α · sen β
• sen (α-β) = sen α · cos β - cos α · sen β
• cos (α+β) = cos α · cos β - sen α · sen β
• cos (α-β) = cos α · cos β + sen α · sen β

Formule di Duplicità e Multiplicità

sen 2α = 2 sen α · cos α

cos 2α = cos² α - sen² α = 1 - 2 sen² α

_α

Definizione triangolare di tg α = sen α / cos α

Definizione tg α: coincide con l'ordinata al puntoπ¹

estratta dall'intersezione della rettatangente alla circonferenza in A e il prolungamentodella retta passante per OB

Indicherò z = 2₁^z il modulo di z è uguale a 2. In forma trigonometrica

z = 2[cosθ + i senθ]

z³ = [2(cos 3θ + i sen 3θ)]

2⁹(cos 3θ + i sen 3θ) = 2⇔

⎧⎪ 3θ = ⎪θ né ⎪

⎨2⎪θ + e ⎪

⎩2kπ = 2

π⁄2⇔

⎧⎪ cosθ = 0 eh ⎪k e Zπ⁄2

⎨3θ = ⎪θ π⁄3

π⁄3+⇔ kη∈ {0,1,2,3}

Se θ=π⁄3,k = 0, Z = Cos

2nπ = 2 − ι sen π π⁄3

Forma algebrica = trigonometrica

z = e⎪τ+μ

Forse trigonometrica

Per studiare le equazioni con la tg. Basi mettere in un intervallo fo compreso 2π in cui scelgano i ⚪

Lezione: successione convergente a limiti

Definizione di successione limitata

Dimostrazione: partiamo dalla ipotesi che la successione sia limitata. Significa che

• aₙ ≥ a
• aₙ ≤ b

Estrazione: consideriamo una successione. Siano aₖ pari e bₖ dispari. Siano a + aₖ = 2k. La successione estratta è a nia. Altra avrà cₖ pari e cₖ + 1.

• Teorema di Bolzano-Weierstrass: se (aₙ) è una successione limitata, ∃ una estratta che converge.

Operazioni con limiti

Teorema delle operazioni con limiti:

• Se {aₙ}, {bₙ} sono convergenti, lim(aₙ ± bₙ) = lim(aₙ) ± b |a| con b e B. Allora lim(xₙ) (axₙ + b) = aᵢ + a

Esempi:

• lim (xₙ) n ➝ +∞ = 0.0.0

Precario di estrazione degli integrali.