Appunti Tecnologia meccanica (primo compitino)

CONTINUUM MECHANICS

Bisogna definire una serie di strumenti matematici che permettono di descrivere in maniera concisa quello che sono gli stati tensionali e deformativi che si vengono a realizzare all'interno del componente meccanico sottoposto a carichi esterni o deformazioni. Una volta che abbiamo questa struttura matematica che ci permette la descrizione degli stati tensionali, dovremmo andare a definire delle relazioni matematiche di equivalenza tra stati tensionali complicati (stati tensionali triassiali) e stati tensionali monoassiali; in modo da poter fare un confronto del comportamento globale della struttura dal punto di vista della plasticizzazione a un determinato stato tensionale deformativo monoassiale caratteristico della curva di trazione. Quindi posso definire uno stato monoassiale equivalente allo stato triassiale reale che si realizza all'interno del materiale e fare un confronto con la curva di flusso plastico ricavata sperimentalmente e individuare quindi in

Questo modo se quello stato tensionale triassiale comporta una plasticizzazione locale del materiale e nel caso sia vero questo quanto sono lontano o vicino alla condizione di UTS, quindi di rottura del materiale stesso. Il primo passo è quindi quello di creare una metrica della deformazione della tensione, per fare questo dobbiamo descrivere il comportamento della sua forma e definire all'interno di ogni punto del componente gli stati tensionali e deformativi che si realizzeranno per effetto delle condizioni a contorno che sono normalmente o deformazioni imposte o forze applicate. La trattazione matematica richiede l'utilizzo di grandezze vettoriali e che sia gli stati tensionali e sia quelli deformativi verranno descritti tramite l'utilizzo del tensore. Il componente che prenderemo in considerazione è un componente meccanico che occupa un certo volume nello spazio, dobbiamo definire un sistema di riferimento fisso rispetto al quale descrivere la geometria.

del componente; la geometria del componente può essere descritta definendo un vettore posizione che individua tutti i punti che caratterizzano il volume occupato dal componente stesso. Il sistema di riferimento che prenderemo in considerazione è una terna cartesiana. Al vettore x è spesso associato un versore i o il pedice 1, al vettore y è associato il versore j o il pedice 2 e al vettore z la componente k o il pedice 3. Definita la geometria del componente preso in considerazione il passo successivo è quello di andare a imporre delle relazioni matematiche che corrispondono alle condizioni di carico e di vincolo a cui è sottoposto in esercizio il componente in esame, queste relazioni matematiche conducono alla scrittura di una serie di equazioni differenziali alle derivate parziali. Il sistema di equazioni differenziali che ne deriva è un sistema complesso. Spesso si utilizza una notazione che permette di compattare l'espressione delle singole equazioni,

è così detta "notazione di Einstein" ed è basata su due regole. Ogni grandezza che viene utilizzata è caratterizzata dalle sue componenti, quindi i vettori saranno caratterizzati dalle 3 componenti del sistema di riferimento (x, y, z), i tensori saranno caratterizzati da 9 componenti e sono individuati dagli indici i e j; gli indici i e j possono assumere i valori 1, 2, 3 ciascuno indipendenti (quindi avete una grandezza tensoriale che è caratterizzata da 9 componenti per ciascuna combinazione degli indici i e j). La notazione di Einstein vi permette di andare a compattare la scrittura di alcune relazioni matematiche fra gli elementi, per esempio del tensore ed elementi di un vettore. Prendiamo per esempio una grandezza tensoriale a che è definita come a = Σ b * b ei,j i,j h ih hj. Nella notazione di Einstein viene semplificata dicendo che a è uguale a b * b, così i,j i,k k,j. Cosa vuol dire questa notazione? Vuol dire che i singoli componenti del tensore a sono ottenuti moltiplicando le componenti dei vettori b e sommando su tutti i valori possibili degli indici i e j.

elementi i e j del tensore a saranno definiti dalla sommatoria dell'indice ripetuto che è il k che varia tra 1 e 3 del prodotto tra b e b .ik kj

L'altra regola della notazione di Einstein è legata alle derivate parziali che possono essere scritte inserendo una virgola tra i pedici della grandezza presa in considerazione, per esempio a in realtà equivale a scrivere la derivata della componente i-esima di ai,j rispetto alla componente j-esima di x. Vediamo ora come sia possibile arrivare al sistema di equazioni differenziali che descrivono il problema della meccanica del continuo.

L'approccio si basa sulla descrizione cinematica del componente che voi state analizzando e dall'altra parte della scrittura di un sistema di equazioni di equilibrio. L'esempio più semplice è il caso della meccanica di un punto materiale, per descrivere la cinematica di un punto materiale basta partire dalla conoscenza della traiettoria;

accelerazione angolare.velocità angolare del baricentro. Con queste grandezze siamo in grado di descrivere da una parte il movimento del corpo rigido e dall'altra il sistema delle forze applicate ad esso, che messe insieme hanno dato origine alle equazioni cardinali della dinamica di un corpo rigido. Nel caso di un corpo continuo e deformabile non potremo più riferirci soltanto al centro di massa del corpo perché questo corpo deformandosi vedrà modificarsi anche il suo centro di massa e quindi dovremmo definire un operatore che mi descrive completamente lo stato tensionale in ogni punto del continuo e allo stesso tempo deve definire un operatore che permette di descrivere in ogni punto del continuo quella che è la deformazione che ha subito, per risolvere il problema dovremmo inserire delle equazioni costitutive, quelle che mi legano stati tensionali e stati deformativi; queste sono le equazioni di Lamé nel caso del comportamento elastico lineare. Ci interessa la statica.

Dei corpi deformabili perché molti processi di deformazione possono essere pensati come la successione di stati di equilibrio del sistema. Faremo delle ipotesi semplificative su quelli che sono gli stati deformativi e sulla base delle equazioni di legame riusciremo a determinare le forze necessarie a fare avvenire la deformazione evoluta. Esistono due modi per applicare questo sistema matematico che sono tipici del progettista e del tecnologo, il progettista conosce quelli che saranno i carichi in esercizio del componente meccanico quindi normalmente parte dal sistema di forze applicate al componente e sulla base del sistema delle forze esterne riesce (con l'equazione di equilibrio) a determinare quelli che sono gli stati tensionali che si andranno a verificare sul componente in oggetto. Tramite le equazioni di legame riesce a calcolarsi le deformazioni del componente e quindi a definire quelle che sono il campo di moto, gli spostamenti e la nuova geometria che assumerà in esercizio.

campo delle tensioni e infine al campo delle forze applicate.

A una terna cartesiana fissa, per ogni punto interno quindi caratterizzato dal suo vettore x nell'istante considerato sarà possibile definire anche un vettore spostamento che porterà il punto P dalla posizione iniziale alla posizione dell'istante successivo. Il tempo non lo prendiamo in considerazione e quindi la posizione P' di ciascun punto sarà quella corrispondente al nuovo equilibrio raggiunto dal sistema una volta che sono stati applicati i carichi. Sul corpo saranno applicate un sistema di forze esterne che possiamo suddividere con forze interne (e che sono forze per unità di volume) e con forze esterne (e che sono delle forze concentrate e potranno avere il carattere di trazione o di pressione sulla superficie esterna). Dal punto di vista cinematico sulla superficie esterna del componente potranno essere applicati dei vincoli. Per descrivere correttamente il comportamento del materiale dovremmo introdurre due grandezze tensoriali che sono

iuno dei quali rappresenta una componente della tensione lungo un determinato asse. Questi sei elementi sono solitamente indicati con σxx, σyy, σzz, σxy, σxz e σyz, dove le prime tre componenti rappresentano le tensioni lungo gli assi x, y e z rispettivamente, mentre le ultime tre rappresentano le tensioni di taglio lungo i piani xy, xz e yz. Il tensore delle deformazioni, invece, è caratterizzato da 9 elementi, in ognuno dei quali rappresenta una componente della deformazione lungo un determinato asse. Questi nove elementi sono solitamente indicati con εxx, εyy, εzz, εxy, εxz, εyz, εyx, εzx e εzy, dove le prime tre componenti rappresentano le deformazioni lungo gli assi x, y e z rispettivamente, mentre le altre sei rappresentano le deformazioni di taglio lungo i piani xy, xz, yz, yx, zx e zy. Entrambi i tensori sono utilizzati per descrivere lo stato di tensione e deformazione di un materiale. La conoscenza di questi tensori è fondamentale per l'analisi e la progettazione di strutture e componenti meccaniche.