Schemi Tecnologia Meccanica II Compitino

Il problema elastostatico

EQUIVALENTE perché riuscire ad avere stati di compressione con valori alti (σ molto negative) ma σ mantenendo una stessa permette di garantire la stessa plasticizzazione ma EQUIVALENTE deformare molto di più il materiale.

PROBLEMA ELASTOSTATICO: L'obiettivo è di STIMARE le FORZE in GIOCO per COMPIERE la LAVORAZIONE, nota la geometria del semilavorato di partenza e la geometria del prodotto finito.

Per risolvere il problema elastostatico bisogna risolvere un sistema di equazioni differenziali tuttavia NON esiste una soluzione in forma chiusa, bisogna usare delle soluzioni approssimate ed esistono 2 APPROCCI:

• Fare IPOTESI SEMPLIFICATIVE degli stati tensionali e deformativi per semplificare il sistema di equazioni differenziali (tipo IPOTESI di STATO DEFORMATIVO PIATTO o IPOTESI di ASSIALSIMMETRIA).
• DISCRETIZZARE il sistema di equazioni differenziali e risolverlo solo in alcuni punti.

Quindi per RISOLVERE il PROBLEMA ELASTOSTATICO in MANIERA ANALITICA:

-si fanno ipotesi

sceglieremo un valore costante per semplificare il calcolo)-EFFETTI TERMICI (noi li trascureremo)-EFFETTI DI STRAIN HARDENING (noi li trascureremo)-EFFETTI DI ANISOTROPIA (noi li trascureremo)

Consideriamo il modello più semplice, esponenziale: si ha un COEFF.)di RESISTENZA [C], un COEFF. di SENSIBILITÀ dello STRAIN RATE [m]. Se m=0 non si ha S.R.-TEMPERATURA aiATTRITO nella RICALCATURA (DP a STAMPI APERTI):

Se consideriamo di sottoporre a ricalcatura una billetta, ovvero di sottoporla a delleforze di compressione, possiamo trovare 2 diverse SITUAZIONI:

1. SENZA ATTRITO: se NON c’è attrito tra le super ci della pressa e il pezzo si ha unoSTATO TENSIONALE MONOASSIALE. Per la conservazione del volume, diminuendol’altezza il pezzo si allarga.
2. CON ATTRITO: se teniamo conto dell’attrito (coulombiano o adesivo) l’espansioneorizzontale del materiale, dovuta alla forza di compressione, sarà LIMITATA dallapresenza dell’attrito: ovvero sulle super ci degli stampi (dove pezzo e stampo siinterfacciano) saranno presenti delle forze d’attrito disposte radialmente direttedall’esterno verso la linea d’asse della

billetta che tenderanno a limitarne l'espansione orizzontale; invece la billetta è libera di deformarsi dove non si interfaccia con gli stampi. Il componente quindi assume una FORMA a BOTTE (IMBARILATURA). SENZA NCORI Ta T O RA I TOt t t IPOTESI dell'ELEMENTO SOTTILE Questo metodo permette di determinare la forza F da applicare al semilavorato per deformarlo fino ad arrivare all'altezza h: per fare questo dobbiamo risolvere il problema elastostatico facendo delle ipotesi semplificative sugli stati deformativi: - supponiamo di avere un elemento prismatico con la direzione trasversale al piano (y) molto maggiore delle altre 2 dimensioni: perciò approssimiamo la DEFORMAZIONE ε nella DIREZ. Y = 0 = 0y ε h h - calcolo la DEFORMAZIONE nella DIREZ. Z (altezza) come = ln ( / ) e questo vale z 0 fin ogni istante del processo. ε d d - dalla conservazione del volume calcolo la DEF nella DIREZ. X come = ln ( / )x 0 f - determino così il

TENSORE delle DEFORMAZIONI che è un TENSORE PIANO (le due tensioni che ci sono sono una l'opposto dell'altra)-con le EQUAZIONI di LEGAME (LAMÉ) trovo il TENSORE delle TENSIONI-inserisco le 3 σ trovate nel CRITERIO di EQUIVALENZA di VM e trovo la σ: se la σ è maggiore del carico di snervamento del materiale allora il processo di DP può avvenire. In questo caso si trova che: Queste 2 relazioni garantiscono la plasticizzazione, il comportamento elastoplastico lineare e la congruenza delle deformazioni. Imponendo poi la CONDIZIONE di EQUILIBRIO si determina una relazione tra la forza F e il carico di snervamento del materiale e il problema diventa univocamente determinato. [in questa analisi TRASCURIAMO gli effetti dell'IMBARILAMENTO per quando riguarda le TENSIONI (ma non le deformazioni)]-per scrivere le EQUAZIONI di EQUILIBRIO del componente bisogna fare delle ipotesi sulla distribuzione di tensioni

All'interno del pezzo stesso (in realtà le tensioni sarebbero funzioni di più variabili, dipendenti da x, y, z ma con ipotesi semplificative le riconduciamo ad una funzione di una sola variabile):

- Approssimando il corpo come infinitamente lungo nella DIREZ. y possiamo supporre che TUTTI gli STATI TENSIONALI rimangano INALTERATI lungo la y.

- Nella DIREZ. z (direzione di applicazione del carico) le componenti di tensioni esterne che agiscono sono solo le componenti di pressione dovute al CARICO ESTERNO P: z. Questo P per l'equilibrio in direzione verticale deve essere uguale sia sulla faccia superiore che inferiore di un qualsiasi elementino infinitesimo considerato nel pezzo: quindi le 3 TENSIONI PRINCIPALI sono INDIPENDENTI anche dalla COMPONENTE z.

- Quindi le 3 TENSIONI DIPENDONO SOLO dalla COMPONENTE x, che non possiamo considerare costante, perché all'interfaccia tra stampo e materiale si ha SCORRIMENTO (e dato che è presente l'ATTRITO) ci saranno

degli SFORZI di TAGLIO diretti in direzione contraria a quella dello scorrimento del materiale. - cosi facendo si è ricondotto un problema di equaz diff alle derivate parziali ad un problema di equaz diff alle derivate totali, come segue: l- si risolve questa equaz diff IMPONENDO la seguente CONDIZIONE al CONTORNO: sul bordo libero (esterno) del pezzo la pressione P in quel punto vale ZERO (perché sul x τ = forza di taglio che agisce bordo esterno non agisce nessuna forza esterna). all'interfaccia del sistema - ponendo questa condizione e integrando trovo che la h = altezza dell' elemento nodo distribuzione di pressione P è una DISTRIBUZIONE x ESPONENZIALE che vale ZERO sul BORDO ESTERNO e CRESCE con ANDAMENTO 2τ/h no a raggiungere il MASSIMO in MEZZERIA. σ σ σ - sapendo che P = - e che || = 2Y/(sqrt 3) troviamo che anche la DISTRIBUZ. x x x - z di PRESSIONE lungo la z sarà un ESPONENZIALE (caratterizzato dallo stesso esponente 2τ/h) che

partirà dal valore 2Y/(sqrt 3) e raggiungerà il MASSIMO in MEZZERIA.[dato che nell'esponente c'è "h" al denominatore, al diminuire dell'altezza si avrà un incremento molto marcato della distribuzione di pressione]-determinata l'equazione della distribuzione di pressione, si integra sulla superficie di contatto tra stampo e materiale e quindi si determina la forza necessaria a deformare plasticamente il pezzo. ATTRITO ADESIVO pezzo altezza Nei processi di forgiatura, però, è spesso presente l'ATTRITO ADESIVO (per pressioni basse si ha attrito coulombiano, per pressioni alte si ha attrito adesivo): di si area pezzo larghezza condizione si ha ATTRITO ADESIVO nel momento in cui la PRESSIONE masticizzazione contatto trapezzo estampoin DIREZ. y (P ) sul bordo esterno del pezzo (ovvero dove y attrito curva cavourianoesponenziale ha il valore più basso) è maggiore della TENSIONE di linearetta.

attritoadesivoSCORRIMENTO PLASTICO del materiale. F.1Quindi nel caso di attrito adesivo l’equaz. diff. (sopra)τsi sempli ca perché la “ ” diventa COSTANTE (non è piùfunzione della pressione) quindi dP /d = costantex xperciò la DISTRIBUZIONE di PRESSIONE non sarà più massimoinmezzeriaesponenziale ma sarà LINEARE. Quindi ottengo: di pressioneDISTRIBUZIONEe asi moristampdiricalcaturameno unparallelepipedoNella realtà si avrà sia attrito coulombiano che attrito adesivo:-l’ATTRITO ADESIVO si svilupperà dove si hanno PRESSIONI MAGGIORI, quindinell’INTORNO della MEZZERIA.-l’ATTRITO COULOMBIANO si avrà per PRESSIONI MINORI ovvero nei pressi dei BORDIESTERNI del pezzo.Si può trovare il punto il cui si realizza la transizione tra attrito coulombiano e attritoadesivo uguagliando le espressioni delle 2 pressioni, ottenendo:INCRUDIMENTO DURANTE la DEFORMAZIONENella forgiatura

per riuscire a procedere con la deformazione del materiale bisognerà applicare FORZE sempre MAGGIORI (perché il materiale INCRUDISCE) e si avrà un AUMENTO della TENSIONE di FLUSSO PLASTICO. Per calcolare questo aumento: - si inserisce l'equazione di Lamé all'interno dell'equazione di VM ottenendo una relazione (simile all'equazione di VM delle tensioni) in TERMINI di DEFORMAZIONI. - si può così in ogni istante determinare la ε (sapendo le 3 ε) e da questa determinare il valore della tensione di flusso plastico sostituendo la ε nell'espressione della curva di flusso plastico del materiale. - Poi la σ trovata deve essere inserita nell'equazione della pressione (quella dell'attrito coulombiano o adesivo) e da lì determinare la forza necessaria per il processo. Durante tutto il processo bisogna sempre avere delle FORZE in grado di GENERARE la CONDIZIONE di PLASTICIZZAZIONE. Nella REALTÀ,in cui non si hanno elementi prismatici in niti ma elementi prismatici con le 3 dimensioni comparabili, NON si può applicare quello visto finora (volendo ottenere valori precisi) ma si devono usare METODI NUMERICI. IPOTESI di ASSIALSIMMETRIA È un altro caso in cui si può determinare completamente lo stato deformativo. Si considera un COMPONENTE ASSIALSIMMETRICO che viene sottoposto a deformazione plastica, a seguito della quale RIMANE ASSIALSIMMETRICO. Quindi deve esistere una relazione fra le COMPONENTI di DEFORMAZIONE in DIREZ. ε RADIALE e in DIREZ. TANGENZIALE (ovvero ε r = ε t). Sapendo questa relazione fra la deformazione radi