Appunti tecnica delle costruzioni 2 - Teoria del 2° ordine

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Appunti di tecnica delle costruzioni 2 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Ferrara, dell’università degli Studi del Politecnico di Milano - …

Esame Tecnica delle costruzioni 2

Facoltà Ingegneria edile

Dal corso del Prof. Ferrara Liberato

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

66 pagine

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Teoria del II ordine

Procedimento

Equazione linea elastica: M(x) = -y^''EI
Risoluzione differenziale
Condizioni al contorno (0; l)
Equazione della deformata: y(x) = ...
Equazione della rotazione: φ(x) = -y'^'(x)
Equazione della curvatura: φ'(x) = -y^''(x)
Equazione del momento: M(x) = ±E·I φ'(x) = EI (-y^''(x))
Equazione del taglio: V(x) = M'(x)
Angoli di rotazione agli estremi: φ_s; φ_e
Funzioni correttive: f_i; f͞_i; g_e; g_i
Flessibilità corretta: φ₂(F=1)
Definizione della freccia max
Carico critico euleriano: α² = P/EI

Teoria del II ordine

Procedimento

Equazione linea elastica: M(x) = - y^'' E I
Risolvendo differenziale
Condizioni al contorno (0; l)
Equazione della deformata: y(x) = ...
Equazione della rotazione: φ(x) = - y'₁(x)
Equazione della curvatura: ψ(x) = φ'₁(x) = - y''(x)
Equazione del momento: M(x) = ± t · φ'(x) = E I (-ψ'₁(x))
Equazione del taglio: V(x) = M'(x)
Angoli di rotazione agli estremi: φ₁; φ_l
Funzioni correttive: f_i; f_j; g_i; g_j
Flessibilità corretta: φ₂ (F = 1)
Definizione della freccia max
Carico critico euleriano: α² = P / E I

TEORIA II ORDINE - P TRAZIONE + M FLETTENTE

HP.: TRAVE IN EQUILIBRIO → MOHRPICCOLI SPOSTAMENTI NON TRASCURABILI

y(x) = M / α² El [x / l - shαx / shαl] → equazione def. della trave al II ordine

f_a(αl) = 3 / αl - (1 / th(αl) - 1 / αl) → cedevolezze di Mohr diretta ed indiretta.
f_i(αl) = 6 / αl - (1 / αl - 1 / sh(αl))

d_s = Ml / 3El f_a(αl) → funzione correttive al II ordine
d_i = Ml / 6El f_i(αl)

M(x) = M₁(x) + M₂(x)→ Mx / l - Py(y(x)

M(x) = Mx / l - Py(y(x))

, El d²y / dx₂ = -Mx / l + Py(y(x))) →

Se α = √(P/El)⟹ α² = P/El⟹ P = α² El

y′′ El - y(α^o El) = -Mx / l El

soluzione:

y(x) = y_p(x) + y_g(x)

y'' - α²y = 0

l² - α² = 0

l₁² = α²

l₁₂ = ± α

y_g(x) = Ae^+αx + Be^-αx = Αshαx + Βchαx

formula di eulero
y_p(x) = ax² + bx + c

y'_p(x) = 2ax + b

y''_p(x) = 2a

⟶ 2a - (ax^c + bx + c) α^o = - Mx/E_t

2a = 0, a = 0

c = 0

- b x α² = - Mx/E_t

- b = - M/E_t α²

⟶ soluzione: y(x) = y_p + y_g

y(x) = + Mx/E_t α² + Αshαx + Β

cc.

x = 0 y(x) = 0
x = l y(x) = 0

⟶ Β = 0

⟶ 0 = + Ml/E_t α² + Αshαl

A = - \frac{Ml}{\alpha ^2 E \mathit{t}\ \mathit{sh}\alpha l}

⇒, \ y(x) = \frac{Mx}{E d \alpha ^2} + \frac{-Ml}{\alpha ^2 E \mathit{t} \ \mathit{sh}\alpha} =

= \frac{M}{\alpha ^2 E \mathit{t}} \left[ \frac{x}{l} - \frac{\mathit{sh}\alpha x}{\mathit{sh}\alpha l} \right] \approx \text{eq. deformata della} \ \text{trave al II ordine}

L'AZIONE ASSIALE COME MODIFICA LA DEFORMAZIONE?

M(x) = -y'' E \mathit{t} \ \ \ \ \begin{cases} -\phi(x) = +y' \\ \varphi(x) = -y'' = \phi'(x) \\ V(x) = M'(x) \end{cases}

-\phi(x) = +y'(x) = \frac{M}{\alpha ^2 E \mathit{t}} \left[ \frac{1}{l} - \alpha \frac{\mathit{ch}\alpha x}{\mathit{sh}\alpha l} \right] =

= \frac{M}{\alpha E \mathit{t}} \left[ \frac{1}{\alpha l} - \frac{\mathit{ch}\alpha x}{\mathit{sh}\alpha l} \right]

-\phi_\bot (0) = \frac{Ml\ell}{\alpha E \mathit{t} 6} \left[ \frac{1}{\alpha \ell} - \frac{1}{\mathit{sh}\alpha l} \right] \frac{6}{\ell} =

= \frac{Ml}{6E \mathit{t}} \frac{6}{\ell} \left[ \frac{1}{\ell \alpha} - \frac{1}{\mathit{sh}\alpha l} \right] =

= \frac{Ml}{6E \mathit{t}} \, f_i(\alpha l) \approx \text{funzione correttiva al II ordine}

\approx \frac{6}{\ell \alpha} [ \frac{1}{\ell \alpha} - (\mathit{sh}\alpha l)^{-1} ]

\phi_\bot (\ell) = \frac{M}{\alpha E \mathit{t} 3} \left[ \frac{1}{\alpha l} - \frac{1}{\mathit{th}\alpha l} \right] \frac{3}{\ell} =

= \frac{Ml}{3E \mathit{t}} \frac{3}{\alpha \ell} \left[ \frac{1}{\alpha l} - \frac{1}{\mathit{th}\alpha l} \right] = \frac{Ml}{3E \mathit{t}} \, f_d(\alpha l)

=> se d=0 => P=0 (FORME INDETE

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