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TEORIA del II ORDINE

PROCEDIMENTO

  1. Equazione linea elastica: M(x) = - y'' E I
  2. Risoluzione differenziale
  3. Condizioni al contorno (0;l)
  4. Equazione della deformata: y(x) = ...
  5. Equazione della rotazione: φ(x) = - y'(x)
  6. Equazione della curvatura: φ(x) = φ''(x) = - y''(x)
  7. Equazione del momento: M(x) = + E I φ'(x) = E I (- y''(x))
  8. Equazione del taglio: V(x) = M'(x)
  9. Angoli di rotazione agli estremi: φs; φe
  10. Funzioni correttive: fi; fi; gi; gi
  11. Flessibilità corrett: φ1(F=1)
  12. Definizione della freccia max
  13. Carico critico euleriano: α2 = P / E I

TEORIA II ORDINE - P TRAZIONE + M FLETTENTE

HP: TRAVE IN EQUILIBRIO → MOHR

PICCOLI SPOSTAMENTI NON TRASCURABILI

y(x) = — M/α × E × I × [ x/l — sh α x/sh α l ]

→ equazione def. della trave al II ordine

f1(αl) = { 3/l × [ 1/th(αl) — 1/αl ] }

cedevolezze di Mohr diretta ed indiretta

f1(αl) = { 6/l × [ 1/tg αl — 1/sh(αl) ] }

→ fs = ML/3EI f1(αl) → funzione correttive al II ordine

fi = ML/6EI fi(αl)

M(x) = M1(x) + M2(x)

Mx/l – Py(x)

M(x) = Mx/l – Py(x)

EI d2y/dx2 = — Mx/l + Py(x) → se α = √P/EI

→ α2 = P/EI

→ P = α2EI

y'' EI – y(α2EI) = — Mx/lEI

TEORIA II ORDINE - P TRAZIONE + 2M (Elementi)

  • HP: TRAVE IN EQUILIBRIO - COROLLARIO MOHR
  • PICCOLI SPOSTAMENTI NON TRASCURABILI

y(x) = l/x²EI {M1(x/l sh(αx) / sh(αl)) + M2[l - x/x - sh(α(l-x)) / sh αl]}

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE → tratto P come forma una caratteristica ulteriore della struttura

M(x) = M1(x) + M2(x) → -Py(x)

M(x) = M2x/l + M1 - M1x/l - Py(x) = -y″EI

y″EI - α²EI y(x) = M1x/l - M1 - M2x/l

soluzione : y(x) = yg(x) + yp(x)

  1. yg(x) → y″ - α²y = 0
    • l² - α² = 0
    • l1,2 = ± α
    yg(x) = A sh αx + B cosh αx
  2. yp(x) = ax² + bx + c
    • y″p(x) = 2a
    • y′p(x) = 2ax + b

yg(x) = A eiαx + B e-iαx = A \sin αx + B \cos αx

yp(x) = ax2 + bx + c

yp'(x) = 2ax + b

yp''(x) = 2a

2a + α2(ax2 + bx + c) = - \frac{Mx}{l α2 E I}

2a = 0

c = 0

α2 b x = - \frac{Mx}{l E I}

b = - \frac{M}{l α2 E I}

yp(x) = - \frac{Mx}{l α2 E I}

y(x) = A \sin αx + B \cos αx - \frac{Mx}{l α2 E I}

⎧ y(0) = 0

⎨

⎩ y(l) = 0 → c.c.

y(0) = B = 0

y(l) = A \sin α l - \frac{Ml}{l α2 E I} = 0

A = \frac{M}{l α2 E I} \cdot \frac{1}{\sin α l}

y(x) = \frac{M}{l α2 E I} \frac{\sin m α x}{\sin m α l} - \frac{Mx}{l α2 E I} =

= \frac{M}{l α2 E I} \left( \frac{\sin m α x}{\sin m α l} - \frac{x}{l} \right) → eq. della deformata al secondo ordine

TRAVE CON CARICO DISTRIBUITO

y(x) = q/α4Et cosaαx + q/α4Et (1 - cosaαl sinαx/sinαl) +

+ q/2Etα2 (x - xl - 2/α2) → funz. deformata

do = 384/5αl4 (cosaαl/2 - α2l2/8 - 1) → funzione di

instabilitá traslazionale

αo = 24/α3l3 (1 - cosaαl sinαl/sinαl - αl/2) → funzione di instabilitá rotazionale

M(x) = - y″Et

M(x) = M1 + M2

M1 = ql/2 x - qx2/2

M2 = Py(x)

→ Py(x) + qlx/2 - qx2/2 - y″Et

α2 y(x) - y‴= (qx2/2 - qlx/2) 1/Et

soluzione: y(x) = yg(x) + yp(x)

1) yg(x) → -l2 + d2 = 0

l = ±αi

y(x) = A sinαx + B cosαx

2) yp(x) = ax2 + bx + c

y′p = 2ax + b

y″p = 2a

→ α2(ax2 + bx + c) - 2a = qx2/2Et - qlx/2Et

yg(x) = A sh αx + B ch αx

= A eαx + B e-αx

yp = ax2 + bx + c = 0

α2(ax2 + bx + c) + 2a = glx/2EI - q x2/2EI

α2a = -q x2/2EI

a = -q x/2α2 EI

α2b = ql/2EI

b = -ql/2α2 EI

α2c + 2a = 0

c = -q x/α4 EI

∴ yp(x) = -q x2/2α2 EI + ql x/2α2 EI - q x2/α4 EI

y(x) = A sh αx + B ch αx - q/α2 EI (x2/2 - lx/2 + 1x2/α2)

[y(0) = 0]

∼ y(0) = B ch αx - q/α4 EI > B

B = q/α4 EI

∼ y(ℓ) = A sh αℓ + q ch αℓ - q/α4 EI (1/2α2)

y(0) = B cosh - F⁄α2Et = 0

⇒ B = F⁄α2Et

ϕ(h) = 0 ⇒ ϕ(x) = - y'(x) = - A cos αx + B sinh x

⇒ ϕ(h) = - A α cos αh + B α sinh αh = 0

⇒ - A α cos αh + F⁄α2Et sinh αh = 0

⇔ A = F⁄α2Et tg αh

⇒ y(x) = F⁄α2Et tgαh·sinhαx + F⁄α2Et·cosαx - F⁄α2Et

ϕ(x) = -αF⁄α2Et tgαh·coshαx + F⁄α2Et sinhαx

φ(x) = -y''(x) = A α2sinhαx + B α2coshαx

M(x) = -y''(x) Et = F tgαh·sinhαx + F coshαx

V(x) = M'(x) = Fα tgαh·cosαx - Fαsinhαx

FRECCIA MASSIMA δ0 → δh e ROTAZ. MASSIMA ϕmax → ϕ*0

δh = y(h) = F⁄α2Et tgαh·cosαh·sinhαh + F⁄α2Et cosαh - F⁄α2Et

= F⁄α2Et ( sinhαh + coshαh - 1 )

= F⁄α2Et ( sinhαh) (/ cosαh - 1)

Dettagli
Publisher
carda2604
A.A. 2019-2020
66 pagine
1 download
SSD Ingegneria civile e Architettura ICAR/09 Tecnica delle costruzioni
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher carda2604 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Tecnica delle costruzioni 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Ferrara Liberato.