Appunti Strumenti e Metodi per le Vibrazioni

VIBRAZIONI

Un corpo vibra quando descrive un moto oscillatorio intorno a una posizione di equilibrio con una

frequenza pari a f (Hz).

Il moto può avvenire a una singola frequenza o a più frequenze se i componenti in moto sono molteplici

(rotazione manovella + moto alternativo pistone).

Spesso il moto è composto da un numero elevato di frequenze, che non si possono evidenziare

nell’andamento della vibrazione nel tempo uso dello spettrogramma



, →

• Se mi occupo di ANALISI VIBRAZIONALE

• Se mi occupo di ciò che accade all’interno del corpo L'analisi modale è lo studio

ANALISI MODALE:

del comportamento dinamico di una struttura quando viene sottoposta a vibrazione.

Quindi ottimizzando l’analisi modale otterrò un modello che mi permette di migliorare il

comportamento del dispositivo

L’analisi modale andrà affrontata con un approccio sperimentale e numerico

Non mi preoccuperò di come sono fatti i sensori e non andrò nel nocciolo della misura.

Un è la rappresentazione di un messaggio. Il messaggio è la variazione dello stato fisico di un

SEGNALE

sistema che viene trasmesso tramite un segnale.

La prima informazione che posso estrarre è il VALOR MEDIO:

1

̅= ( ) ( − )

Solitamente non siamo interessati al valor medio, ma alle fluttuazioni del segnale attorno questo valore:

( )−

= ̅ ( − )

• La scelta del valore di T mi farà ottenere dei valori medi differenti, quindi la scelta del tempo di

osservazione va fatta in modo che sia significativo per il fenomeno osservato.

• Per stabilire se significativo o meno posso sfruttare conoscenze pregresse oppure tentativi.

Andando a tentativi si calcolano più valor medi, fino a trovare un tempo T per cui un ulteriore

incremento di tempo non comporti un aumento significativo del valor medio.

(il tempo più breve per il quale non ottengo un incremento)

Per estrarre informazioni, mi devo estrarre un ulteriore parametro RMS:

1 $ ( ( ) )

!"# = − ̅ %

Elevo al quadrato per non tener conto del segno + mi permette di amplificare valori grandi e ridurre valori

piccoli. Do particolare importanza ai valori distanti dall’asse.

RMS dipende dalla scelta di T, ma una volta determinato il corretto tempo di osservazione, il valore è unico.

Possiamo generalizzare i dati trovati e le varie espressioni, andando a calcolare i MOMENTI STATICI DI

ORDINE SUPERIORE

SKEWNESS – ORDINE 3 1 1

& = '

!"#

'

Mi fornisce informazioni riguardo la simmetria del segnale:

• se positivo dominano contributi positivi

• se negativo dominano contributi negativi

KURTOSIS – ORDINE 4 1 1

( = )

!"#

)

• Non sono sensibile al segno

• Normalizzo per T e per RMS in quanto non voglio andare a cogliere il dato di lontananza dalle

ascisse

• Mi da informazione su picchi e valli anche se molto brevi, quindi la presenza di elementi strani non

graditi

I momenti statistici tra 0 e T forniscono un solo numero, passerò poi ad un’analisi che mi permetterà di

cogliere informazioni nel tempo. Posso estrarre altre informazioni:

AUTOCORRELAZIONE

E’ la correlazione incrociata del segnale (o più in generale del valore di una variabile) con se stesso; in altre

+

parole il segnale all'istante viene confrontato con un altro valore di se stesso ritardato di una quantità

+ (senza tale ritardo il segnale è logicamente sempre uguale) per verificare quanto si somigli (più

precisamente quanto si correli) all'avanzare del tempo.

1 ( )

!(+) = ( + +)

( ) ( )

=

Ovviamente

Possiamo dedurre che: ( ) ( + +)

• se un segnale varia lentamente nel tempo, il valore degli istanti e sarà pressoché

simile (l'autocorrelazione avrà segno positivo),

• se varia rapidamente, il valore di tali istanti sarà molto diverso e l'autocorrelazione assume un

valore prossimo allo zero.

Quindi a differenza della densità di probabilità, che contiene l'informazione relativa alle variazioni

d'ampiezza del processo, l'autocorrelazione contiene l'informazione relativa alle variazioni sull'asse dei

tempi.

L'autocorrelazione si utilizza spesso per cercare porzioni periodiche che si ripetono all'interno di un segnale,

in modo tale da determinare la presenza di un segnale periodico che è stato sepolto da un rumore, o

identificare la frequenza fondamentale di un segnale che non contiene originariamente la componente

di frequenza del rumore, bensì varie frequenze armoniche.

• La moltiplicazione è un esaltatore di termini, qualora entrambi siano grandi

( ) (

+ = 0, + 0)

• Quando un valore grande di corrisponde ad un valore grande di !

• Se traslassi il segnale, un valore grande può coincidere con un valore piccolo, quindi sicuramente

!

decresce, se superassi una zona in cui il segnale è periodico, inizierà a crescere

Molto dovremmo analizzare almeno 2 segnali, che nel sistema a strato orientato corrispondono ad ingresso

ed uscita.

CROSSCORRELAZIONE

rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione

temporale applicata ad uno di essi. 1

(+) )

! = /( ( + +)

-.

• Il prodotto esalta la somiglianza tra le due curve (alto quado mediamente simili)

+ = 0

• In questo caso per non so a priori cosa accade

+ = +

• Per otterrò una certa somiglianza, quindi un max

• La curva non sarà necessariamente simmetrica /

La cross correlazione tramite la posizione del max, mi fornirà il ritardo che sussiste tra e – viene

utilizzato soprattutto poiché nella realtà ho segnali rumorosi.

0/2

ES: tra sin e cos, il ritardo è di ed otterrò più massimi relativi ad una distanza pari al periodo.

Finora abbiamo analizzato i valori nel dominio del tempo (auto correlazione e cross correlazione), si vuole

passare ad un’analisi nel dominio della frequenza

TRASFORMATA DI FOURIER )

)

/( = 3 sin(8 + 9 8 = 20/

4 4 4

4 /( ) 8

• Una volta scritta la relazione posso rappresentare in con 2 grafici, che corrispondono ad

20)

ampiezza e fase in funzione della frequenza (o pulsazione a meno di

• Vedere i fenomeni nel dominio della frequenza, ci permette di rendere più comprensibile il

fenomeno (es: voce di un uomo o donna)

La trasformata di Fourier la potrei anche scrivere come:

1

:(8) = /( ) ;4<= /( )

Molto simile alla cross – correlazione dove confronto la funzione con un termine sinusoidale e

8

cosinusoidale al variare di (qualora ci sia somiglianza ottengo dei valori importanti)

>(?) = CAD B? + A EFC B?)

;AB?

La trasformata di Fourier è quindi la cross correlazione tra e una sin/cos (@

/( ) :(8)

Sto passando da una definita nei reali, ad una definita nei complessi, quindi avrò sempre

ampiezza – fase (parte reale e parte immaginaria)

• 2 segnali pur essendo diversi, possono avere la stessa trasformata di Fourier, poiché valuto

l’integrale, quindi perdo informazioni sul dettaglio temporale.

Come per l’analisi nel dominio del tempo devo poter confrontare 2 segnali:

AUTO SPETTRO 1

)

/( → G(B) = /( ) ;4<=

CROSS SPETTRO 1

), ( ) (B) ) ( )

/( → H = /( ;4<=

>I

Normalizzo per T, poiché voglio un unico valore /

Ho il prodotto di 3 elementi, vado a cogliere com’è la somiglianza tra e

ad una specifica frequenza /

• Nel punto in cui si somigliano molto, significa che sia che hanno

un contenuto energetico importante a quella frequenza

Prendiamo un sistema a strato orientato, posso chiedermi come è fatto il segnale di ingresso o di uscita +

quale è l’effetto del sistema a strato orientato.

Es: vetro colorata, luce bianca in ingresso e luce colorata in uscita ecc.

Differenza tra segnale in AC e DC: nel dominio della frequenza

riconosco un segnale in DC dal fatto di avere un picco a frequenza

nulla. Questo picco mi rappresenta la parte di segnale costante (DC)

con una sinusoidale di periodo infinito (quindi f=0)

• Il picco in 0 è tanto più alto, quanto più grande l’offset

Solitamente rappresento fase e ampiezza con 2 grafici, ma posso rappresentare il

tutto anche in un unico grafico tramite i numeri complessi

+

Esiste un terzo modo, rappresentazione di nel piano (Im, Re)

NYQUIST

• Apparentemente mi perdo informazioni sulla f ma in realtà essa è

contenuta nell’ascissa curvilinea

A seconda di dove proietto otterrò una

rappresentazione diversa

differenze nel picco di risonanza

ES:

Nel primo caso ho un punto angoloso che è molto più complicato da gestire

matematicamente rispetto una curva nel piano di Nyquist. Ma più facile da interpretare nel

piano frequenza ampiezza. Quindi dipende da cosa voglio fare

Ho preso una grandezza V, la divido per V di riferimento e ne faccio il logaritmo. Il dB non è una grandezza

di misura, va di pari passo con la grandezza scelta. Il valore di riferimento può essere normato o arbitrario.

O

JK = 20 M N S

O

L PQR

Esiste un limite grafico al di sotto del quale non riconosco nulla – grazie al dB riesco a riconoscere e gestire

la scala del diagramma

• con

Aumenta il range dinamico della rappresentazione,

pochi dB riesco a rappresentare scale enormi (è come se

utilizzassi scala logaritmica normata su cui esaltare

fenomeni piccoli e diminuire quelli grandi, in modo da

poter vedere tutto il fenomeno nel piano)

Δ U U

V V

• Ovviamente se guardassi un nel grafico, ovvero la differenza tra due punti nel grafico in ,

quello che ho nella realtà è il rapporto tra i valori reali, poiché la differenza di due logaritmi è il

logaritmo del rapporto

PASSAGGIO DAL SEGNALE ANALOGICO AD UN SEGNALE DIGITALE

Il mondo è analogico, con continuità e passare da analogico a digitale significa perdere informazioni, ma

allo stesso tempo mi permette di compattare le informazioni, ottenendo le stesse informazioni ma con un

peso minore Wℝ, ℝY → Wℕ, ℕY

∞

Dato un intervallo analogico ho dati, se lo stesso segnale lo prendo in digitale, definito dai naturali avrà

un numero finito di dati

Il segnale deve essere dunque convertito da analogico a digitale, ossia da continuo a discreto, conservando

le informazioni che contiene con un minor numero di dati.

Viene quindi discretizzato sia lungo l’asse dei tempi (CAMPIONAMENTO), sia lungo l’asse delle ampiezza

(QUANTIZZAZIONE)

Il segnale analogico che viene acquisito dallo strumento di misura verrà letto dal sistema di registrazione in

Δ Δ

maniera digitale, ogni secondi, con in genere costante (campionamento costante).

Δ → (arbitrario)

tempo di campionamento

Non è altro che l’intervallo di tempo per il quale ogni

volta guardo il segnale

/ = 1/Δ →

\ frequenza di campionamento

^

→] M M =^∙Δ = /

\

^→ ° a] M Δ

OVVIAMENTE le informazioni non in corrispondenza dei poi le butto via (non sono più necessarie) e

altrimenti dovrei conservare un numero infinito di dati

Δ b

Considero poi un secondo , molto più grande di quello precedente; il problema nasce dal momento in

cui il numero di dati è troppo poco per rappresentare significativamente quello che era il segnale di

ingresso (ho ridotto i dati ma ho perso l’informazione iniziale)

Questo fenomeno viene detto ALIASING,

segnale mal campionato (es: fotogrammi

cinema western in cui la ruota gira)

Come regola sappiamo che, affinché non ci sia aliasing, per il TEOREMA DI SHANNON (NYQUIST -

SHANNON): / c 2 /

\ def

(oggi giorno si utilizzano frequenze di campionamento anche 4 o 10 volte superiore)

→

/

def frequenza massima di ciò che noi vogliamo campionare

ho un fenomeno mi interessa osservalo fino alla sua frequenza per la

ES:

quale l’energia è poi nulla / /2 /

\ def

Affinché la digitalizzazione sia corretta la deve essere maggiore di

nel segnale preso in considerazione c’è energia anche ad alte frequenze, ma mi interessa il segnale solo

ES: /

def

fino ad una certa frequenza, quindi noi fissiamo

(es: acustica il nostro orecchio sente solo fino a 20 kHz, ma nel mondo ci sono suoni al di sopra dei 20 kHz,

ad esempio i fischietti dei cani che noi non riusciamo a sentire – infatti i CD vengono campionati a 44.1 kHz)

/2,

/

\ durante la digitalizzazione, tutta

Avendo ancora energia sopra

l’energia rappresentata in alta frequenza viene ribaltata per il

fenomeno dell’aliasing

Infatti, se vado a guardare il segnale digitale non corrisponde a

quello analogico iniziale, ma ha dell’energia in più ribaltata dalle alta

frequenze dovute al fenomeno dell’aliasing

Esempio: ribaltamento alte frequenze

Segnale composto da 4 frequenze: 25, 70, 160, 510 Hz

/ = 100 gh

\

L’unica frequenza ad essere correttamente ricostruita

i / /2).

\

è F1=25 Hz (l’unica

Le altre frequenze compariranno sotto forma di

/

j

nell’intervallo (0, ).

“frequenze fantasma”

Di conseguenza per contrastare il fenomeno dell’aliasing non è sufficiente definire una frequenza alta in

modo indefinito, qualunque sia la frequenza di campionamento che io scelgo, esisterà sempre del segnale

che supererà quella frequenza.

Per ovviare a questo problema, normalmente ad un sistema di

acquisizione digitale si associa un FILTRO ANTI ALIASING

• È un filtro messo prima del campionamento il quale lascia

/ /2

\

inalterato il segnale fino alla e poi lo porta a 0.

/ /2

\

(elimina il segnale oltre e lo manda a 0)

/ / /2

def \

La elimina poiché dopo aver scelto e tutto il resto mi dà

fastidio

L’aliasing non si va a risolvere aumentando la frequenza di campionamento, in quanto entreranno sempre

disturbi, per risolverlo ci vuole un filtro anti aliasing

Finora nell’asse delle ascisse siamo passati dai reali agli interi (analogico - digitale). Va ripetuto lo stesso

approccio alle ordinate. CAMPIONAMENTO

In questo modo non ci poniamo unicamente la domanda di cosa avviene

Δ ΔO

ogni , ma anche quanti salti interi faccia il nostro segnale

Δ ΔO,

ES. per 3 avrò 3 la stessa cosa avviene per 2Δ

Sono passato da una definizione continua, reale del segnale, ad una definizioni a salti interi

)

O( → ΔO( k Δ )

Δ ΔO

Lo stesso problema dell’ampiezza di viene applicato a

2 O O

ΔO = =

def def

2 2

l l ;b

mno mno

2 → O

def

il due al numeratore è dovuto il fatto che l’intera ampiezza del segnale è due volte

o →

O

def Se il

MASSIMO VALORE CHE IL SEGNALE PUO’ AVERE:

O

o def

segnale superasse noi non lo osserveremmo, ci sarebbe una

forma di saturazione

Devo evitare si realizzi il problema opposto:

o Ho un segnale nel quale leggo che il massimo valore che il sensore può produrre è 10V

Il sensore produce 10 V, quando l’ingresso è il massimo misurabile, ovvero il fondoscala (nel caso di

relazione lineare) O

def

Ma normalmente non utilizzo lo strumento a fondoscala, quindi scegliere un leggermente più

O pO,

def

basso rispetto i 10 V è una scelta intelligente poiché più piccolo è minore è quindi

rappresento meglio il mio segnale

O ΔO

def

Quindi prendere un troppo grande comporterebbe un grande e grossolano

ΔO O

def

Il deve essere il più piccolo possibile, ma che mi garantistica che il copra il segnale

Quello che si può fare è agire sul numero di bit:

Al crescere del numero di bit la scaccheccatura è più completa, ma la quantità di dati diventa

imponente e ne aumenta il costo ( ) ( )

°q =8 → 256 = 128 u M v ] M + 128 u M / M

(spesso si utilizza scheda a 24 bit)

Cosa significa la digitalizzazione se io passo dal dominio nel tempo al dominio nella frequenza.

> , wL D°xA?

E

Ho il mio segnale con ed un certo numero di

y

campioni

Passo ora al dominio della frequenza, ottenendo il modulo e la fase

della trasformata di Fourier.

# #

Avere campioni, significa che nel dominio del tempo ho

o informazioni, che si distribuiranno per metà tra modulo e

fase

/

\

Se è definita, il massimo valore che posso osservare in

/2

/

o \ sia per la fase che per l’ampiezza

frequenza è

La discretizzazione allora in frequenza sarà: / /2 /

\ \

wB → vM h M / z h = =

#/2 #

In altre parole, uno degli effetti della digitalizzazione del segnale è ottenere nel dominio del tempo una

w?

certa risoluzione del tempo, ovvero dati ogni e non sono in grado di sapere

RISOLUZIONE NEL TEMPO

cosa avviene nel mezzo. wB

Trasformando tutto nel dominio della frequenza ottengo analogamente RISOLUZIONE IN FREQUENZA,

poiché così come nel dominio del tempo anche nel dominio della frequenza il dato deve essere discreto,

per i quali non conosco i valori intermedi / 1 1

\

Δ8 = = =

# Δ #

La risoluzione in frequenza è pari al reciproco del tempo di osservazione, quindi dipenderà solo dal tempo

di osservazione, quindi dalla fisica dal fenomeno, più è lungo il tempo di osservazione maggiore è la

risoluzione in frequenza. Se andassi ad agire aumentando la frequenza di campionamento, dal momento

in cui le schede solitamente hanno S fisso, andrei a peggiorare la risoluzione in frequ