Appunti Strumenti e Metodi per le Vibrazioni

DRIVING POINT, le mie condizioni per metterlo in vibrazione

ARTICOLO AVITABILE

Partiamo da una trave incastrata

Applico una forza costante di tipo step sine, ovvero sinusoidale con frequenza che varia e incrementa regolarmente nel tempo. (es: fornirò sempre 1 N ma a frequenze differenti)

Ogni volta che eccito ad una determinata frequenza, ottengo una risposta solo a quella frequenza

Dal punto di vista della storia temporale otterrò una curva di questo tipo:

dove noto che al crescere della frequenza, otterrò una risposta diversa (dal momento in cui aumento la frequenza nel tempo, leggere tempo o frequenza nel grafico è la stessa cosa)

• Quando vedo un'ampiezza nulla significa che sono in corrispondenza della FREQUENZA DI ANTIRISONANZA - indipendentemente dalla forza, la struttura non vibra (o vibra pochissimo) a quella frequenza
• Al contrario, laddove a parità di frequenza, lo spostamento è molto maggiore ottengo la FREQUENZA

DIRISONANZA

Quindi la variazione di ampiezza di oscillazione in funzione di t (stessa cosa dire la frequenza in questo caso) corrisponde in sostanza alla FRF del sistema.

Poiché sto analizzando alle varie frequenze le ampiezze di sollecitazione del sistema, pur mantenendo l'eccitazione a valori costanti; quindi, il rapporto ampiezza su forza viene univocamente rappresentato in virtù di aver dato sempre la forza costante.

Se istante per istante fornissi un livello di forza diverso, per ottenere l'FRF dovrei rappresentare in ordinata l'ampiezza di oscillazione sulla forza, ottenendo poi un grafico del tutto analogo a quello visto (FRF).

Se confronto il grafico nel dominio del tempo, con lo spettro, come detto in precedenza ottengo la stessa informazione (per via delle condizioni di oscillazione):

Si nota dal grafico che ci sono 4 frequenze di risonanza, ognuna delle quali rappresenterà un modo di vibrare (deformarsi).

ES: mi basterebbero 3 elementi per

rappresentarla (un modello a 3 gdl)

MODO 1: in questo caso mi serve un modello ad almeno 4 gdl

MODO 3:Questi due modi rappresentano i primi due della struttura

MODI FLESSIONALIQuesti due invece rappresentano i MODI TORSIONALI

Quindi passo da una struttura ad infiniti gdl (reale), ad una struttura con un numero finito di gdl a date frequenze – tipicamente definisco una banda di frequenza di interesse dentro la quale vado ad analizzare i modi di vibrare che si manifestano.

Al crescere della frequenza nel tempo cresce anche la frequenza nello spazio, ovvero all’aumentare della frequenza aumenta anche l’articolazione del modo di vibrare

Non è possibile avere un modo di vibrare più articolato che avvenga ad una frequenza più bassa di un modo di vibrare semplice

• Se si scambiassero le frequenze, significa che sono in ALIASING

Perché non è possibile che alla frequenza più bassa io abbia il modo più complicato e viceversa?

Il modo 1

lo posso schematizzare con 3 masse, mentre il modo 3 con 5 masse• Suppongo in entrambi i casi che tutte le masse abbiano lo stesso peso, quindi nel modo 1 peseranno1/3, mentre nel modo 3 peseranno 1/5• Quindi la rigidezza nel modo 3 è maggiore rispetto il caso 1, poiché le 4 molle che collegano gli elementisono più corte. ÑÐ ÒOttengo quindi che il modo 1 avrà masse grandi e rigidezze basse -> piccolo (quindi si manifesterà aduna frequenza minore)Tra modo 2 e modo 4 è la stessa cosa, cambiano solo i momenti di inerzia e che le molle non sonoflessionali ma torsionaliCom’è la relazione tra 1 e 2? È un errore se si presenta prima 2 di 1?Il presentarsi prima del primo modo flessionale o di quello torsionale è indifferente, e non costituisce unerrore. Questo dipenderà dalla forma della trave (tozza o snella), dalle molle ecc.Ad esempio, in una trave snella (foglio di carta) trovo prima

quella flessionale (basta poco per farla manifestare)

Ho in mano il foglietto, ovvero una struttura sottile che vibra, trascurando le torsioni, quanti modi di vibrare ha?

L'oggetto è 3D, ogni molecola avrà 6 gdl. In prima battuta vanno considerati i moti rigidi, ovvero le 3 traslazioni e le 3 rotazioni, ma i moti rigidi non sono vibrazioni, quindi al momento non li considero.

Il foglio può vibrare sia perpendicolare alla sua faccia, ma anche nel piano ho delle flessionali che avvengono in tutte le direzioni (io vedo quella che si verifica alla frequenza giusta)

Nel caso del foglietto, la struttura si deformerà più facilmente lungo la direzione maggiore, ovvero con una frequenza minore; questo perché la rigidezza, essendo il lato più lungo, sarà minore.

Quanto vale la deformazione nel piano?

Nel piano ho sempre due masse, ma il momento di inerzia pesa molto nella rigidezza flessionale ed essendo funzione dello spessore, avrò una

proporzionalità in base alla terza potenza dello spessore quindi mentre nella direzione ortogonale al piano ho uno spessore piccolo, nella deformazione nella direzione del piano lo spessore è molto maggiore (in quanto in questo caso lo spessore diventa quello che prima era la base).

Quindi: in questo caso avrò poco spessore e quindi basso momento di inerzia, mentre in questo caso lo spessore è alto e aumenta il momento di inerzia.

Quindi il modo di vibrare con direzione parallela al piano avviene per rigidezze più ampie, quindi si manifesta dopo, a frequenza più alta.

Ciascuna struttura ha infinite frequenze di risonanza, questo poiché ha 6 gdl per un numero infinito di molecole.

Io sono interessato unicamente ai modi che si manifestano in un certo intervallo.

I modi di vibrare che vedo nell'articolo, non sono tutti i modi di quella struttura, ma solo quelli che si verificano nel mio campo di interesse.

Come faccio a realizzare questo test?

Vado a

Determinare la matrice, quindi caratterizzare la mia struttura debba fare 0esperimenti. Ma scrivere le FRF serve a mettere in relazione punto di eccitazione e punto di misura. Sollecitare in un punto e misurare in un altro significa vedere quanto è stato trasmesso tra i due punti. Di conseguenza posso osservare che sussistono le proprietà riflessiva, transitiva e simmetria.

• Ovvero che se ho l'eccitazione del punto 3 misurata al punto 2 quindi di come si è trasferita la sollecitazione, è la stessa cosa che misurare in 3 e sollecitare in 2.

La matrice sarà SIMMETRICA, quindi mi bastano 6 test.

Posso osservare inoltre che sussiste la PROPRIETÀ TRANSITIVA essendo in una condizione di linearità.

• Quindi quello che accade tra il punto 1 e 3 è dato dalla combinazione di ciò che accade tra 1 e 2, e tra 2 e 3.

Quindi tenendo conto della simmetria e della proprietà transitiva mi bastano 3 prove (generalizzando).

• Noto che se vado a congiungere idealmente i valori che la parte immaginaria ha alla prima frequenza, del primo, secondo e terzo elemento ottengo il primo modo di vibrare della struttura. Congiungendo i primi picchi ottengo il primo modo poiché questo si manifesta alla frequenza più bassa (analogamente nelle altre righe).