Appunti Statistica Medica

PROBABILITÀ

• misura che va da 0 a 1

Def:

dato un esperimento che può avere + risultati (classica) che hanno tutti la stessa possibilità di verificarsi

la probabilità è data dal rapporto dei casi favorevoli e casi possibili

P = probabilità E = eventi

P(E = figura) = 12/40 → (3×4) TOT carte

Def frequenstista:

Se siamo nella possibilità di ripetere infinite volte un esperimento vedo quante volte esce il risultato di interesse.

→ frequenza x esperimento all'infinito

es. moneta → se bilanciata P = 0.5 P(=testa) = 0.5

Def soggettiva:

La probabilità è una valutazione soggettiva sulla possibilità che si verifichi una cosa (es.: valutazione personale)

es. voto prendere 30 P(E=30)

La che deve soddisfare degli assiomi/regole

• associare ad elementi dello spazio (Ω) → [0,1]
• probabilità dell'evento impossibile

P(∅) = 0

P(Ω) = 1

1. probabilità che non si verifichi l'evento E (non E)

P(non E) = 1 - P(E)

• regole di additività

1. regola della somma = probabilità dell'unione di eventi

Spazio degli eventi Ω

insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

1. A e B eventi disgiunti non si verificano MAI insieme
2. A e B eventi non disgiunti

P(A ∪ B) → insieme unione

Unione degli eventi → prob. che si verifichi A o B o entrambi

1. P(A ∪ B) = P(A o B) = P(A) + P(B)
2. P(A ∪ B) = P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

INTERSEZIONE = e → P(A ∩ B) = P(A e B)

es) gruppi sanguigni

• A P(A) = 0.15 = 15%
• B P(B) = 0.60 = 60%
• AB P(AB) = 0.05 = 5%
• 0 P(0) = 0.20 = 20%

A e 0 = eventi disgiunti xx non possono avvenire insieme

P(A ∪ O) = P(A o O) = P(A) + P(O) = 0.15 + 0.20 = 0.35

es) probabilità di pioggia

• P(pioggia) = 0.10
• P(sole) = 0.80

qual è la prob. che piova o ci sia il sole?

P(pioggia o sole) = P(pioggia) + P(sole) - P(pioggia e sole)

= 0.10 + 0.80 - 0.10

Come faccio a calcolare l'intersezione?

Specificità

P(+|S) = 1 - P(+|S)

Sensibilità

P(+|M) = 1 - P(-|M)

es. al medico prob. che malato abbia malattia x

prob. a priori P(M) = 20% → risulta +

qual è la prob. che sia effettivamente malato?

P(M|+) > 20%

se - - P(M|-) < 20%

Valori predittivi

P(M|+) VPP = valore predittivo positivo

P(S|-) VPN = valore predittivo negativo

es. VPP = P(M|+) = P(+|M) ⋅ P(N)

───

P(+)

VPN = P(S|-) = P(-|S) ⋅ P(S)

───

P(-)

Problemi

Prevalenza di malattia? prob. a priori

P(M) = 251/881 = 28%

prob. di beccare un malato

P(+|S) = 231/630 = 36% su 100 sani, 36 li classifica + e sbaglia

P(-|M) = 44/251 = 18%

sensibilità = P(+|M) = 207/251 = 0,82 = 82%

specificità = P(-|S) = 399/630 = 0,64 = 64%

(⁵⁄₂)¹ = ^5!⁄_{2! 3!} = ^{5 x 4 x 3 x 2}⁄_{2 x 3 x 2} = 10

x = 0 → tutte pall. bianche

x = 1 → 1 pallina rossa

x = m → tutte rosse

es. n = 3

p = 0,4 = 40%.

P(x = 0): ? → nessun successo

P(x = 0) = 1 x 0,4⁰ x 0,6³ = 0,216

P(x = 1) = ^{3 x 2 x 1}⁄_{1 x 2} x 0,4 x 0,6² = 3 x 0,4 x 0,6² = 0,432

P(x = 2) = ^{3 x 2}⁄_{2 x 1} = 8 x 0,4² x 0,6 = 0,288

P(x = 3) = 1 x 0,4³ x 0,6⁰ = 0,4³ = 0,064

La somma è sempre uguale a 1 → tutti risultati possibili

Distribuzione discreta

Somma dei valori è uguale a 1

∑_x=1^m P(x) = 1

Distribuzione simmetrica solo quando il numero di palline rosse è uguale al numero di quelle bianche.

Quanti successi mi aspetto in media?

E(x) = 0 x P(0) + 4 x P(1) + ... + m x P(m)

Valore atteso di x

Fenomeni in medicina di tipo BINARIO

• es. sano-malato, vivo-morto

Variabili di risposta QUALITATIVA → indicano il FENOMENO che vogliamo studiare

m: numero comples. di unità della pop.

es. 200 malati di diabete

f relativa = f assoluta / mtot

f % = f rel. %

f cumulata = somma delle f di tutte le modalità = quella compl.

f assoluta = n° di volte in cui una modalità è stata osserv.

NB Osservazioni:

1. modalità + frequente: MODA
   • tanti maschi diabetici su 200
   • misura di tendenza centrale
2. modalità + frequente in percentuale (%): % della frequenza
   • grado di omogeneità
   • misura di variabilità

esempio

moda = adulto (modal. + freq.)

mediana = giovane adulto