Appunti Statistica IV

Test sulla media di una popolazione distribuita normalmente, (VARIANZA NOTA)

Si consideri un campione di n osservazioni estratto da una popolazione distribuita normalmente con media e varianza nota µ.

Indicando con x la media campionaria osservata, un test con livello di significatività alfa per la verifica delle ipotesi nulla:

Ho : p ≤ µ

Contro l'ipotesi alternativa:

Ha > µ

Il test è ottenuto dalla regola di decisione:

Se z > Za, Ho SI RIFIUTA

Se z ≤ Za, Ho NON SI RIFIUTA

Dove z è il valore per il quale P(Z > z) = alfa, e Z è la variabile aleatoria normale standard.

Più è basso il livello di significatività al quale si rifiuta l'ipotesi nulla, più è elevata la convinzione che l'ipotesi nulla non sia vera.

C'è poca probabilità che venga rifiutata quando è vera.

C'è alta probabilità che venga rifiutata quando non è vera.

:*::*:÷::quando non è vera " ". .Invece di verificare le ipotesi con un livello di significatività prefissato a volte si calcolano il più piccolo livello di significatività al quale può essere rifiutata.

Livello di significatività osservato

La probabilità di ottenere un valore della statistica test uguale o più estremo del valore osservato. Calcolata pensando vera H0.

Il P VALUE è il valore a cui l'ipotesi nulla può essere rifiutata. Il p value è la probabilità, è la coda destra del valore critico che hai calcolato.

Il p value è molto usato perché non solo ci fornisce l'ESATTA PROBABILITÀ DI RIFIUTO DI H0 SE VERA, dunque stabilisce se accettare o rifiutare l'ipotesi nulla a un det livello di significatività.

Ma ci dice in qualsiasi caso (che rifiuti o accetti) quanto erovicina dall'accettare o rifiutare aiie.

Solitamente ho un'ipotesi nulla (H0: 80)/ 80.

Ho µ =:!! 0.05

nooo" n :2h80Fissò un livello per l’erroreLivello di significatività 0.05a =Il valore pr il quale lascio a dx 0.05 è z:Sto dicendo che imponendo che la probabilitàdi rifiutare H0 quando in realtà è vera è 0.05Il valore oltre il quale rifiuto H0 è zSe il risultato del mio campione standardizzato I M- 2C=supera z riufiuto H0× tHo una certa ipotesi nulla Prendendola per vera standardizzo ilche mi dice che la media valore del campione che ho trovato eassume un certo valore trovo così ZcQuesto valore Zc si lascia alla dx unaprobabilità,che prende il nome di p-valueChe è la probabilità di rifiutare H0prendendola per vera Se il campioneSe il campione ha un ha un valorevalore maggiore, rifiuto minore nonrifiutoI µ-« =÷ :*.TAVOLE 1| 1| 'li i 2L2C2C2LL’esatto valore di probabilità al qualecorrisponde una z, per il quale io rifiutoè detto P-value >

a4 PVALVEPVAIUEL """" "" " °°I 11II 1IIt' | 2a2CC Es. Le norme stabiliscono che se il peso dichiarato è di 16grammi per non incorrere in sanzioni il peso medio deve esseredi almeno 16 gBisogna trovare una forte evidenzache il peso sia INFERIORE a 16 gRifiutando H0 con questa regolaAccettiamo l ipotesi alternativaChe il peso medio siainferiore a 16 g15.8Rifiuto H0 Ipotesi alternativa BILATERALEIn alcuni problemi gli scarti troppo elevati indipendentemente dal segnosono scartatiEs. il diametro dei pistoni non può essere né troppogrande ne troppo piccoloQuindi l ipotesi nulla è pari aE l’ipotesi alternativaL ipotesi nulla è messa in discussione se lamedia campionaria è molto più grande omolto più piccola diIn questo caso il livello di significatività è divisoequamente nelle due codeTest sulla mediaVarianza nota Consideriamo una variabile casualedistribuita come una

Si estrae un campione di ampiezza n

Si fissa il livello di significatività

Test sul valore medio con varianza

Costruiamo il test sulla media nota

Abbiamo tre possibili situazioni

Vediamo come trasformare questa quantità, una volta estratto il campione, cioè quando disponiamo dell'effettivo valore della media campionaria

Può essere trasformata in

Calcolo la media sul campione

E poi sostuisco e trovo zc

Test sulla media

Varianza non nota

Dato che la varianza non è nota dovremmo usare la distribuzione T Student

Dove S è la radice quadrata della varianza campionaria corretta

Quindi non si segue più una distribuzione N(0,1) ma una distribuzione T-Student

Test sulla proporzione

Grandi campioni

Possiamo ricorrere perenne grande alla standardizzazione della proporzione campionaria che si distribuisce come una N(0,1) e quindi il test è simile a quello sulla media

Test sulla differenza tra medie

Varianze note

Estratto da due

popolazioni distribuite

Campioni indipendenti normalmente O per grandi campioni, peril teorema del limite centrale,queste considerazioni sipossono fare anche perpopolazioni non distribuitenormalmente

Dato che la differenza tra mediedella popolazione sotto l ipotesinulla è pari a zero -Test sulla differenzatra medie

Varianze non note (ma supposte uguali)Campioni indipendenti

Test sulla differenzatra proporzioniCampioni indipendenti

Si può dimostrare sotto l'ipotesi di indipendenza che:

Se n è sufficientemente grande, abbiamo: Quindi possiamo farericorso alle tavole dellanormale standardizzata

Possiamo sfruttare tutti questi risultati e costruire untesto sulla differenza proporzioni analogamente acome fatto per il testo sulla differenza tra medie

Con la statistica calcolata siprocede come in precedenza peril test sulla differenza tra mediacon varianza nota, utilizzandoquindi le tavole della distribuzionenormale standardizzata

Confrontiamo questo valore con ilvalore

calcolato per il livello alfa fissato nel problema

Test sulla PROPORZIONE (test 2 errore)

La probabilità di commettere l'errore di secondo tipo per un particolare valore della proporzione della popolazione specificato dall'ipotesi H1, p1 si trova nel modo seguente

Si individuano i valori della proporzione campionaria che determinano il non rifiuto dell'ipotesi nulla (regione di accettazione)

Utilizzando il valore P1, appartenente all'ipotesi alternativa, calcoliamo la probabilità che la proporzione campionaria appartenga alla regione di accettazione.

La probabilità di errore di secondo tipo, ovvero il mancato rifiuto dell'ipotesi nulla quando la vera proporzione della popolazione è 0.55, è pari a

Poiché l'ipotesi alternativa è bilaterale la funzione di potenza ha una forma diversa

La probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando è falsa aumenta quanto più il vero valore della proporzione della

popolazione si discosta dal valore ipotizzato

Quando rifiutiamo l'ipotesi nulla deduciamo che c'è una forte evidenza empirica a favore della nostra conclusione

Quando non riusciamo a rifiutare l'ipotesi nulla ciò può accadere per due motivi:

L'ipotesi nulla è vera

Abbiamo commesso un errore di SECONDO TIPO

Ovvero abbiamo accettato l'ipotesi nulla quando invece è vera l'ipotesi alternativa

Potenza di un test

Es. Si vuole verificare l'ipotesi nulla che il diametro medio della popolazione di cuscini sia di 5mm

Contro l'alternativa che sia superiore a 5 mm

Voglio ora determinare la probabilità di non rifiutare l'ipotesi nulla nel caso in cui il vero diametro medio della popolazione sia 5.05

Funzione di potenza

La potenza di un test è tanto maggiore quanto più la vera media è distante dalla meta ipotizzata nell'ipotesi nulla

A parità di altre condizioni più è basso il

livello di significatività (α) più è bassa la potenza

La riduzione della probabilità dell'errore di primo tipo fa aumentare la probabilità dell'errore di secondo tipo

Ma non è una relazione lineare

A parità di altre condizioni più è grande la varianza della popolazione più è bassa la potenza del test

A parità di altre condizioni più è grande l'ampiezza campionaria più è potente il test

Grandi ampiezze campionarie riducono la varianza della media campionaria e quindi aumenta la probabilità di rifiutare H0 quando non è corretta

Test non parametrici

Test che non prevedono di verificare qualcosa su un parametro della popolazione ma che riguardano altre situazioni

Test sulla bontà di adattamento

O test sull'ipotesi funzionale

È un test che parte da una supposizione

Ovvero