Appunti Statistica IV

Verifica delle ipotesi

Le tecniche della verifica di ipotesi

permettono di controllare la validità di alcune

affermazioni sulla popolazione utilizzando

dati campionari Prendere decisioni in condizioni di

incertezza fornendo un giudizio

probabilistico circa le decisioni prese

Per la verifica delle ipotesi si

utilizzano statistiche campionarie

basate su campioni casuali

Abbiamo un popolazione non conosciamo

tutti i dati della popolazione

Test parametrici : si parte da parametri della

popolazione (media, varianza, ...)

Test non parametrici: non fanno ipotesi su parametri ma

sulla forma della distribuzione

Un test è una regola istituito sullo spazio campionario

che ci permette di rifiutare o non rifiutare una ipotesi

Tale ipotesi viene detta IPOTESI NULLA

Iniziamo il processo di verifica delle

ipotesi considerando il valore di un

parametro

E formulando un’ipotesi sul

parametro, la cosiddetta

Ipotesi nulla Che verrà mantenuta a meno

che non ci sia una prova

evidente contro la sua veridicità

Se non viene mantenuta Se viene mantenuta l’ipotesi

sarà accettata una nulla non dobbiamo per forza

seconda ipotesi la concludere che sia corretta

cosiddetta

Ipotesi alternativa Se vale l una non vale l’altra

(sono esaustive e disgiunte)

Un’azienda produttrice di barrette di cioccolato afferma

che, mediamente, il peso di ogni una è di 16 g. Per

verificare l’affermazione si può estrarre un campione

casuale di barrette e calcolarne il peso medio

Ipotesi nulla L’ipotesi nulla afferma

che il parametro media

della popolazione è

uguale a 16

Ipotesi semplice

Ipotesi alternativa Ipotesi alternativa unilaterale

Ipotesi composta

Ipotesi alternativa bilaterale

Ipotesi composta

Ipotesi semplice

Ipotesi che specifica un singolo valore per il parametro

della popolazione considerata

Un’affermazione che specifica completamente la

distribuzione di probabilità

Ipotesi composta

Un’affermazione che specifica

parzialmente la distribuzione di probabilità

Ipotesi che specifica uno o più intervalli di

valori per il parametro della popolazione

considerata

Ipotesi alternativa unilaterale Ipotesi alternativa bilaterale

Ipotesi alternativa che considera Ipotesi alternativa che considera tutti i

tutti i possibili valori del possibili valori del parametro della

parametro della popolazione a popolazione diversi dal valore

destra oppure a sinistra (cioè specificato dall’ipotesi nulla semplice

maggiori o minori) rispetto a

quelli specificati dall’ipotesi nulla

Cerchiamo una regola che ci porti ad accettare o meno

l’ipotesi nulla in funzione dello spazio CAMPIONARIO

Dividiamo lo spazio campionario in due regioni

La decisione di scegliere una o all’altra delle

ipotesi segue lo schema rigoroso

Questa corrispondenza è vera ma non

una certa probabilità non è certo Accettare H0 quando è vera

Accettare H0 quando è falsa

Rifiutare H0 quando è vera

Rifiutare H0 quando è falsa

Il processo decisionale usa una STATISTICA TEST costruita a

partire dagli stimatori puntuali del parametro oggetto di studio

Dalla distribuzione della

statistica test si determinano i

valori della statistica test che Se la statistica test relativo

avrebbero una bassa al campione assume uno

probabilità di verificarsi se tra questi valori

l’ipotesi nulla fosse vera Oppure non rifiutiamo

Rifiutiamo l’ipotesi nulla l’ipotesi nulla

Accettiamo

l’ipotesi alternativa

Es. Per verificare l’ipotesi nulla che il peso

medio delle barrette sia al massimo di 16 g

estraiamo un campione casuale di barrette e

ne calcoliamo la media campionaria

Se questa è sostanzialmente superiore a 16 g

Possiamo rifiutare l’ipotesi nulla e

accettare quella alternativa

Più la media supera i 16 g più è alta la

possibilità di rifiutare l’ipotesi nulla

Sappiamo che la media campionaria non sempre

riflette la metà della popolazione

Dunque calcolando solo una

volta la media campionaria la

regola di decisione potrà

determinare conclusioni errate

Es. Per verificare l’ipotesi nulla che il peso

medio delle barrette sia al massimo di 16 g

estraiamo un campione casuale di barrette e

ne calcoliamo la media campionaria

Idealmente vorremmo ridurre il più possibile le

probabilità di entrambi gli errori

Purtroppo c’è un Trade off tra queste

due probabilità

In presenza di un particolare campione

Ogni riduzione della

probabilità del primo tipo

Determina un aumento della probabilità

dell errore di secondo tipo

La probabilità dell’errore

di primo tipo si fissa

si stabilisce la regola di

decisione

E la probabilità dell’errore di

secondo tipo viene poi determinata

di conseguenza

Potenza di un test Si calcola per particolari valori della media

che soddisfano l’ipotesi alternativa

Regola di decisione In base alla sua formulazione si rifiuta

o non si rifiuta l’ipotesi nulla sulla

base dell’evidenza campionaria

Livello di sig