Appunti Statistica Economica II - parte 3cfu - Prof Marletta

PRODUTTIVITÀ PARZIALE

La produttività parziale generica rapporta la quantità di un solo fattore a tutta la produzione:

= =

Prodotto per unità di lavoro ; Prodotto per unità di capitale

La produttività parziale specifica rapporta la quantità di fattore impiegata alla parte di produzione che può essere

attribuita a quel solo fattore (non trattata qui).

Misure di produttività

Per costruire le varie misure di produttività è necessario misurare sia l’input che l’output.

Sarebbe corretto usare unità fisiche sia di prodotto che dei fattori produttivi, per non essere influenzati dai prezzi.

Ad esempio, in un’azienda è probabilmente possibile misurare il numero di unità fisiche prodotte per ogni ora di

lavoro effettuata.

Tuttavia, spesso le tipologie di prodotto sono diverse e la valutazione dell’ammontare di prodotto può essere

effettuata solo sommando i valori dei diversi prodotti. A maggior ragione, passando a livelli di aggregazione

maggiore, fino all’intero sistema economico, la necessità di utilizzare i valori è più stringente.

Poiché la produzione raramente può essere misurata in termini fisici, numeratore espresso in termini di valore.

E’ quindi indispensabile stimare i risultati dell’attività produttiva a prezzi costanti per evitare il coinvolgimento della

variazione dei prezzi.

Per i mezzi impiegati si deve distinguere tra capitale e lavoro, il primo richiede stime in valore, il secondo può essere

espresso anche in unità fisiche (ULA o ore lavorate).

Produttività parziale del lavoro

∑

=

=

La produttività parziale generica del lavoro è:

∑

=

con la seguente notazione:

• il generico prodotto (i = 1, 2, . . . , n)

• il valore aggiunto in termini fisici del prodotto i ottenuto nel periodo 0

0

• il prezzo del prodotto i nel periodo 0

0

• il numero di ore di lavoro effettuate nel periodo 0 per produrre il bene i

0

La sommatoria al numeratore è il valore aggiunto del periodo 0 valutato a prezzi del periodo 0 e al denominatore

c’è la quantità di lavoro impiegata per ottenerlo nel periodo 0.

∑

1 1

=1

=

Analogamente, per il periodo 1 si ha: 1

∑

1

=1

La sommatoria al numeratore è il valore aggiunto a prezzi correnti e al denominatore c’è la quantità di lavoro

impiegata per ottenerlo nel periodo 1.

∑

1 0

=1

=

Al contrario, volendo ignorare l’influenza dei prezzi per il periodo 1 si può scrivere: 1

∑

1

=1

Al numeratore compare il valore aggiunto del periodo 1 valutato a prezzi del periodo 0. Al denominatore c’è la

quantità di lavoro impiegata per ottenere il VA nel periodo 1.

Indice di produttività parziale generica del lavoro

Se l’attenzione è rivolta alla dinamica della produttività nel tempo si possono combinare gli indici della

∑ ∑

1 0 1

=1 =1

= =

produzione (o del VA) a prezzi costanti con indici del volume di lavoro impiegato :

ℎ

∑ ∑

0 0 0

=1 =1

Il rapporto che rappresenta l’indice di produttività parziale generica del lavoro è dato da:

=1 =1

∑ ∑

1 0 1

= = /

=1 =1

∑ ∑

ℎ 0 0 0

Nel breve periodo le variazioni della produttività per unità di lavoro sono influenzate dalle fluttuazioni della

produzione che sono più ampie di quelle dell’occupazione: è possibile, infatti, raggiungere un livello più alto di

produzione, entro certi limiti, solo con riorganizzazioni interne.

Al fine di limitare questa distorsione è opportuno usare come misura del lavoro le ore di lavoro e non il numero di

addetti.

Tali variazioni possono derivare da molte cause che tramite questa misura non possono essere identificate.

In particolare si devono notare la miglior qualificazione degli addetti, l’eventuale aumento di disponibilità di capitale

per unità di lavoro, la più razionale combinazione delle risorse, la disponibilità di innovazioni e molte altre cause.

Esempio

Produttività globale

Per meglio valutare le variazioni nel processo produttivo è opportuno considerare congiuntamente tutti gli input

della produzione e calcolare la produttività globale

Questa misura permette, ad esempio, di verificare gli effetti della sostituzione tra fattori produttivi

Per far ciò è però necessario costruire una misura sintetica delle risorse impiegate, ossia aggregare gli input

Questo problema viene risolto ipotizzando che il processo produttivo sia caratterizzato da una particolare

relazione tra input e output, ossia ci si riferisce ad una funzione di produzione

Produttività marginale

La produttività marginale del lavoro e del capitale è l’incremento di prodotto che si ottiene con un incremento

infinitesimale del fattore produttivo.

La produttività media, invece, coincide con il rapporto tra il prodotto totale e la quantità totale di fattore

produttivo impiegato.

Pertanto la produttività marginale del lavoro e del capitale sono:

PRODUTTIVITÀ GLOBALE secondo Solow

Considerando la funzione di produzione Cobb-Douglas la produttività globale nell’istante 0 e 1 è la seguente:

E definita la produttività parziale del capitale da:

In caso di rendimenti di scala costanti l’indice di variazione della produzione globale secondo Solow è dato da:

Esercizio

MODELLO DI KENDRICK

Oltre al modello di Solow, un’altra procedura molto utilizzata per il calcolo di un indice di variazione della

produttività globale è il metodo di Kendrick o delle variazioni relative.

Questo metodo si basa sul presupposto che i due fattori lavoro e capitale possano essere considerati come due

stock di ricchezza: il capitale materiale e il capitale umano.

Per la valutazione del capitale umano, occorre far ricorso al concetto di valore monetario del lavoratore, il quale

permette di stimare il lavoro in termini di stock.

Stima del capitale umano e capitale materiale

Per considerare il fattore lavoro come stock di capitale umano è necessario considerare il numero dei

0

lavoratori con qualifica j al tempo 0 e con il valore medio unitario dei lavoratori con tale qualifica.

0

Il valore monetario complessivo del capitale umano al tempo 0 è dato da:

Per il fattore capitale, considerando le unità di capitale del bene i e il relativo prezzo unitario, il suo valore

0 0

complessivo equivale a:

Tornando al modello di Kendrick:

Indichiamo con il prodotto al tempo 0 e con e le quote del reddito spettanti a lavoro e capitale le produttività

0

specifiche di lavoro e capitale sono rispettivamente:

Da queste si ottengono:

Al tempo 1 dovremmo ottenere:

Ma se ipotizziamo che siano costanti e e anche le produttività specifiche e , possiamo ottenere il

0 0 0 0

prodotto virtuale al tempo 1:

Nell’equazione del prodotto virtuale inseriamo nuovamente le formule delle produttività specifiche del lavoro:

semplificando:

1∗

Confrontando con si ottiene un indice di variazione della produttività globale:

1

Indice di variazione della produttività globale di Kendrick

Esempio

Misura del progresso tecnico - MODELLO DI SOLOW

Se l'obiettivo ora è identificare l'azione del progresso tecnico, il metodo di Solow (1957) è quello suggerito

= (, , )

dall'OECD. Data una funzione di produzione:

Dove si è ora introdotta la variabile tempo t, che interpreta il progresso tecnologico legato al trascorrere del

tempo.

Il progresso tecnologico si immagina Hicks-neutrale, nel senso che le sue variazioni influenzano la produzione

ottenibile con date quantità di fattori produttivi, senza far variare i tassi marginali di sostituzione tra questi.

= ()(, )

Per cui l'effetto del progresso tecnico può essere “fattorizzato”:

Una variazione nella combinazione di L e K comporta uno spostamento della produzione lungo la funzione Y (con t

costante). Il progresso tecnico comporta uno spostamento della funzione. Il termine A(t) rappresenta l'effetto

cumulato nel tempo degli spostamenti della funzione. log() = log(()) + log

((, ))

Esprimendo il modello iniziale in forma logaritmica si ha: e ricordando la

= [(); ()],

regola del calcolo differenziale in base alla quale, data una funzione composta si ha:

Ricordando, inoltre, che:

E ponendo nel seguito per semplicità di notazione:

La derivata della funzione logaritmica rispetto al tempo è:

dove

Moltiplicando e dividendo per A il secondo e terzo addendo si ottiene:

/ / ∗ (; ) =

Moltiplicando poi il secondo addendo per e il terzo addendo per e notando che si

arriva alla seguente forma:

Poiché e ricordando formule elasticità

′/,

sostituendo nell'espressione di si ottiene:

da cui si ricava l'espressione del progresso tecnico:

Si conclude, quindi, che la variazione relativa della misura della produttività totale si identifica con la differenza

tra il tasso di crescita del prodotto e la media dei tassi di crescita dei fattori produttivi, ponderata con pesi pari

alle rispettive elasticità.

Integrando tra 0 e 1 entrambi i membri ottengo :

→ quindi

IPOTESI PER IL MODELLO DI SOLOW – e altro significato delle elasticità

Solow introduce anche alcune ipotesi sul funzionamento del sistema economico:

a) La struttura del mercato è di concorrenza perfetta

b) Gli operatori hanno come obiettivo la massimizzazione dei profitti

c) Da a) e b) discende che le remunerazioni medie (i prezzi che vengono indicati con w per il lavoro e r per il

capitale) dei fattori produttivi sono uguali alle rispettive produttività marginali

I prezzi in oggetto risultano essere:

Esercizio - Progresso tecnico e stima di

Per ottenere la variazione del progresso tecnico tramite il modello di Solow